《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第二章 随机变量及其分布 2.4 连续型随机变量及其概率密度

上节内容回顾 一、分布函数的概念 定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数. 定义域（一∞，0) 二、分布函数的性质 (1)F(x)是一个不减函数 (2)0≤F(x)≤1，且 F(-oo)=lim F(x)=0 F(oo)=lim F(x)=1. x00 00 (3)F(x)处处右连续. 即limF(x)=F(xo),(-oo<x。<oo)

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 上节内容回顾 定义域（−   ， ） ( ) lim ( ) 1. x F F x →  = = （2 0 ( ) 1 ）   F x ，且 （1 ( ) ）F x 是一个不减函数. ( ) lim ( ) 0 x F F x →− − = = （3 ( ) ）F x 处处右连续. 0 0 0 lim ( ) ( ), ( ). x x F x F x x → + 即 = −    , , ( ) { } . X x F x P X x X =  定义 设 是一个随机变量 是任意实数 函数 称为 的分布函数

“离散型随机变量分布律与分布函数的关系” 分布律 Pk=P{X=x},k=1,2,. 分布函数F(x)=PX≤x=∑PX=x=∑P:(x∈R) xASx xRSx 离散型随机变量分布函数Fx)在x=x(k=1,2,.)处有跳 跃，其跳跃值为P=PX=x. 0,x<-1, ↑F(x) 1-4 1 -1≤x<2, F(x)= 4 2≤x<3, 1, x≥3. -10 23

分布函数 F x P X x ( ) { } =  分布律 { }, 1,2, . . k k p P X x k = = = “离散型随机变量分布律与分布函数的关系” ( x∈R ) { } k k k k x x x x P X x p   = = =   离散型随机变量分布函数F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,.) 处有跳 跃，其跳跃值为 pk=P{X= xk }. o x F(x) 1 -1 2 3 0, 1, 1 , 1 2, 4 ( ) 3 , 2 3, 4 1, 3. x x F x x x   −   −    =        

例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上 的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表 示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数. 解1)x<0时，F(x)=P{X≤x}=0: 2)0≤x≤2时， F(x)=P{X≤x}=P{X<O}+P{0≤X≤x} P{0≤X≤x}=x2,k是常数.取x=2, P0≤X≤2=l,得4=1，因而P0≤xs= 41 Fg=PX≤=Px<+P0sX≤=

例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上 的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶, 以X表 示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 1) 0 , x  时 2) 0 2 ,   x 时 2 P X x kx k {0 } , .   = 是常数 由P X {0 2} 1,   = 得 4 1, k = 2 {0 } . 4 x 因而P X x   = F x P X x ( ) { } 0; =  =  =  F x P X x ( ) { }=  P X{ 0}+   P X x {0 } 2 . 4 x = F x P X x ( ) { } =  =  P X{ 0} +   P X x {0 } 取 x =2

3)当≥2时， F(x)=P{X≤x}=1. F(x) 1 故X的分布函数为 0.8 0.6 0, x<0, 0.4 F(x)= 0≤x<2, 0.2 4 x≥2. -2 -1 2 其图形为一连续曲线 0<t<2, 则F()=」f)dt. 0,其它 F(x)恰是非负函数f(t)在区间（一o,x上的积分，、 此时称X为连续型随机变量 概率密度函数

3) 2 , 当 x  时 故 X 的分布函数为 2 0, 0, ( ) , 0 2, 4 1, 2. x x F x x x     =        F x P X x ( ) { } =  = 1. 其图形为一连续曲线 , 0 2, ( ) 2 0, . t t f t     =    若记 其它 ( ) ( ) d . x F x f t t − = 则  F x f t x ( ) ( ) ( , ] , 恰是非负函数 在区间 − 上的积分 此时称 X为连续型随机变量. 概率密度函数

第四节连续型随机变量及其概率密度 一、连续型随机变量及其 概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布

一、连续型随机变量及其 概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 第四节 连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量及其概率密度的概念与性质 1.定义 如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x), 使对于任意实数x有Fx)=」nfu)d, 则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率密度函数， 简称概率密度。 例如： 0,x<0, F(x)={ 40≤x<2,f0= 0<t<2, 1,x≥2. 0,其它. 说明：连续型随机变量X的分布函数F(x)是连续函数

一、连续型随机变量及其概率密度的概念与性质 1. 定义 ( ) ( ) ( ( )d , ) x X f x F x f F x x t t − =  如果对于随机变量 的分布函数 ，存在 ， 使对于任意实数 有 非负函数 , ( ) . 则称 X f 为连续型随机变量 其中 x 称为 X的概率密度 , 简称概 数 率密度 函 例如： 2 0, 0, ( ) , 0 2, 4 1, 2. x x F x x x     =        , 0 2, ( ) 2 0, . 其它 t t f t     =    说明：连续型随机变量X的分布函数F x( ) . 是连续函数

2.性质 Fx)=P{X≤x}=∫f)dt (I)f(x)≥0； 2)∫fx)dx=1 f(x)

(1) ( ) 0; f x  (2) ( )d 1 f x x  − =  2. 性质 ( ) ( )d   x F x P X x f t t − =  =  o x f x( )

2.性质 Fx)=P{X≤x}=∫f)d (1)f(x)≥0； (2)∫fx)dx=1 (3) 对于任意实数x1,x2(x1≤x2) Pxm=1-PX≤m=1-Fo)=∫f(x)dx (4)若f(x)在，点x处连续，则有F(x)=f(x) 说明：1)P{x,<X≤x2}为相应曲边梯形的面积

(1) ( ) 0; f x  (2) ( )d 1 f x x  − =  1 2 1 2 (3) , ( ) 对于任意实数 x x x x  2. 性质 1 2 P x X x { }   2 1 2 1 ( ) ( ) ( )d . x x = − = F x F x f x x  ( ) ( )d   x F x P X x f t t − =  =  证明: P X a F a { } ( )  = ( )d , a f x x − =  P X a P X a { } 1 { }  = −  = −1 ( ) F a ( )d . a f x x  =  同时得以下计算公式 (4) ( ) , 若 f x x 在点 处连续 则有 F x f x ( ) ( ). = 说明： 1 { } ）P x X x 1 2   为相应曲边梯形的面积

说明： 2)P{xP{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a≤X<b} =Pa<X<b}=∫fx)dx 概率为0的事件不一定是不可能事件。 同样，概率为1的事件也不一定是必然事件。 若为离散型随机变量， {X=}是不可能事件台P{X==0

2）P x X x x f x x x { } (   +     ) （ 很小） 3）若X 为连续型随机变量，则对任一实数 a， 有 P{X=a}=0. P a X b { }   =   P a X b { } =   P a X b { } ( )d b a = f x x  =   P a X b { } { } X a = 是不可能事件  = = P X a { } 0. 若 X为离散型随机变量， 概率为0的事件不一定是不可能事件。 同样，概率为1的事件也不一定是必然事件。 说明：

例1.设随机变量X具有概率密度 kx, 0≤x<3, -2- 3≤x≤4， 0, 其他. ()确定常数k; Q)求X的分布画数：O)求P1<Xs》 解()由∫fx)dx=l, 得心cdx+-之ar=山，解之得k=君

, 0 3, ( ) 2 , 3 4, 2 0, . 7 (1) ; (2) ; (3) {1 . 1 } 2 . X kx x x f x x k X P X      = −        设随机变量 具有概率密度 其他 确定常数 求 的分布函数 求 例 解 (1) ( )d 1, f x x  − = 由  3 4 0 3 d (2 )d 1, 2 x kx x x + − = 得   1 . 6 解之得 k =