《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第三章 多维随机变量及其分布 3.5 两个随机变量函数的分布

第五节 两个随机变量函数的分布 、 两个离散型随机变量函数的分布 二、两个连续型随机变量函数的分布 (一)Z=X+Y的分布 (=)Z=及Z=Xy的分布 三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

第五节 两个随机变量函数的分布 Y Z Z XY X （二） = = 及 的分布 （一）Z X Y = + 的分布 M X Y N X Y = = max( , ) min( , ) 及 的分布 一、两个离散型随机变量函数的分布 二、两个连续型随机变量函数的分布 三

复习：一维离散型随机变量的函数的分布律 如果X是离散型随机变量，则Y=g(X)也是离散型随机变量. 若X的分布律为 X x1七2. Xk Pk 则Y=g(X)的分布律为 Y=g(X) g(c1)g(c2).g(xx). P& P P2 Pk 注：若g(x)中有值相同的，应将相应的P合并

如果 X 是离散型随机变量， X k p 1 2 k x x x 1 2 k p p p 则Y g X = ( )的分布律为 k p Y g X = ( ) p p p 1 2 k 1 2 ( ) ( ) ( ) k g x g x g x ( ) , . k k 注：若 g x p 中有值相同的 应将相应的 合并 若 X 的分布律为 则Y g X = ( ) . 也是离散型随机变量 复习：一维离散型随机变量的函数的分布律

一、两个离散型随机变量函数的分布 补例.设两个独立的随机变量X与Y的分布律为 X 3 Y 2 4 P 0.3 0.7 Py 0.6 0.4 求随机变量Z=X+Y的分布律： 解因为X与Y相互独立，所以 P(X=x,Y=y}=P(X=x)P(Y=y) 得联合分布律 24 0.180.12 3 0.42 0.28

一、两个离散型随机变量函数的分布 补例. 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为 X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4 求随机变量Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 { , } { } { }, P X x Y y P X x P Y y = = = = = i j i j Y X 2 4 1 3 0.18 0.12 0.42 0.28 得联合分布律

可得 (X,Y) (1,2)(1,4)(3,2)3,4) Z=X+Y 3 557 P 0.180.120.420.28 所以Z=X+Y的分布律为 Z=X+Y 357 P 0.180.540.42

可得 0.18 0.12 0.42 0.28 (1,2) (1,4) (3,2) (3,4) 3 5 5 7 ( , ) X YP Z X Y = + 所以Z=X+Y 的分布律为 Pk Z X Y = + 0.18 0.54 0.42 3 5 7

注：两个离散型随机变量函数的分布 若二维离散型随机变量的联合分布律为 P{X=x,Y=y}=p,i,j=1,2, 则随机变量函数Z=g(X,Y)的分布律为 P(Z=2)=PIg(X,Y)=)=Pi g(xiyj)=Zk k=g(x,y)3k=1,2

若二维离散型随机变量的联合分布律为 则随机变量函数 Z g X Y = ( , )的分布律为 注：两个离散型随机变量函数的分布 { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij { } { ( , ) } P Z z P g X Y z = = = k k ( , ) i j k ij g x y z p = =  ( , ), 1,2, . k i j z g x y k = =

P33离散型随机变量的卷积公式 定理：设X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P{X=k}=Pk,k=0,1,2, P{Y=r}=qr,r=0,1,2. 则Z=X+的分布律为 P{z=}-之P9ki=01,2 注：当X,Y相互独立时， P834(1)若X~π(2)，Y~π(22)，则X+Y~π(2+22) Pss35 (2)b(n,p),Y ~b(n2,p),X+Y-b(n+n,p)

定理：设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 88 P 34 88 P 35 1 2 1 2 （1）若X Y X Y ~ ( ), ~ ( ) ~ ( ).        ，则 + + 1 2 1 2 （2）若X b n p Y b n p X Y b n n p ~ ( , ), ~ ( , ) ~ ( , ). ，则 + + 注：当X Y, 相互独立时，   , 0,1,2 , P X k p k = = = k   , 0,1,2 . P Y r q r = = = r 则Z X Y = + 的分布律为   0 , 0,1,2 . i k i k k P Z i p q i − = = = =  88 P 33 离散型随机变量的卷积公式

复习：一维连续型随机变量的函数的密度函数 问题：已知X的密度fx(x),求Y=g(X)的密度f,(y) 方法1 F,(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y} =∫sfx(x)dx,（-o∞0(<0), x=h(y)是g(x)的反函数，a<y<B(是y=g(x)的值域)

复习：一维连续型随机变量的函数的密度函数 ( ) { } { ( ) } F y P Y y P g X y Y =  =  ( ) ( )d , ( ), X g x y f x x x  = −     方法1 方法2 [ ( )] ( ) , , ( ) 0, . X Y f h y h y y f y       =   其它 ( ) ( ) ( ) 问题：已知X f x Y g X f y 的密度 X Y ，求 = 的密度 [ ( ) ] ( ) F y f y Y y Y  = ( ) ( ) 0( 0), ( ) ( ) , ( ( ) ) y g x g x x h y g x y y g x   =    =   = 处处可导，且恒有 是 的反函数 是 的值域

二、两个连续型随机变量函数的分布 (一)Z=X+Y的分布 一本节重点 定理：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y), 边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则 Z=X+Y为一维连续型随机变量，其概率密度函数为 f(a)=∫」f?-y,y)dy =J」"fx,z-x)dx X,Y独立时， (2)=fx(z-y)f(y)dy fx和的卷积公式 =J」fx(xf-dx

二、两个连续型随机变量函数的分布 （一）Z X Y = + 的分布 —— 本节重点 Z X Y = + 为一维连续型随机变量，其概率密度函数为 f x z x x ( , )d  − = −  f z f z y y y Z ( ) ( , )d  − = −  X, Y 独立时, f x f z x x X Y ( ) ( )d  − = −  f z f z y f y y Z X Y ( ) ( ) ( )d  − = −  f f X Y 和 的 卷积公式 (X Y) ( , ) ( ) ( ) 设二维连续型随机变量 , 的概率密度为 ， 边缘概率密度分别为 X Y ， ，则 f x y f x f y 定理：

证明：设(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则Z=X+Y的分布函数为 Fz()=P{Z≤z}=P{X+Y≤z =J∬fx,y)dxdy x+y≤x fx.)dxldy x+y= x-1-) f(u-y:duldyo =∫∫fu-y,y)dyldu. 由此可得：f()=fz-ydy 同理可得：2(a)=∫fx,z-x)dx

证明：设( , ) ( , ), X Y f x y 的概率密度为 ( , )d d x y z f x y x y +  =  x y O x y z + = [ ( , )d ] d z y f x y x y  − − − =   x u y = − [ ( , )d ]d z f u y y u y  − − −   [ ( , )d ]d . z f u y y y u  − − = −   f z f z y y y Z ( ) ( , )d  − = − 由此可得：  ( ) { } F z P Z z Z =  则Z X Y = + 的分布函数为 = +  P X Y z { } f z f x z x x Z ( ) ( , )d  − = − 同理可得： 

f()-Jf(z-y.ydy-Jf(x.:-x)dx X,Y独立时， f2(a)=∫/xa-)f0)dy L(2)-Jfx(x)f(z-x)dx 这两个公式称为f和f,的卷积公式，记为∫x*f,即： Ix*f=Jfx(z-y)S(y)dy=ffv(x)/(z-x)dx

X, Y 独立时, f f f z y f y y X Y X Y * ( ) ( )d  − = −  ( ) ( )d . X Y f x f z x x  − = −  f z f z y y y f x z x x Z ( ) ( , )d ( , )d   − − = − = −   f z f z y f y y Z X Y ( ) ( ) ( )d  − = −  f z f x f z x x Z X Y ( ) ( ) ( )d  − = −  这两个公式称为 X Y f f X Y 和 的 卷积公式, 记为 f f  ，即：