《数学建模与数学实验》教学教学资源（PPT课件）第7讲 微分方程

数学建模与数学实验 微分方程

数学建模与数学实验 微 分 方 程

实验目的 1.学会用MATLAB:求简单微分方程的解析解。 2.学会用MATLAB求微分方程的数值解. 实验内容 1.求简单微分方程的解析解： 2.求微分方程的数值解. 3.数学建模实例 4.实验作业

实验目的 实验内容 2．学会用MATLAB求微分方程的数值解． 1．学会用MATLAB求简单微分方程的解析解． 1．求简单微分方程的解析解． 4．实验作业． 2．求微分方程的数值解． 3． 数学建模实例．

求微分方程的数值解 (一)常微分方程数值解的定义 (二)建立数值解法的一些途径 (三)用MATLAB软件求常微分方程的数值解 返回

求微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 （二）建立数值解法的一些途径 （三）用MATLAB软件求常微分方程的数值解 返 回

数学建模实例 1.目标跟踪问题一：导弹追踪问题 2.目标跟踪问题二：慢跑者与狗 3.地中海鲨鱼问题 返回

1．目标跟踪问题一：导弹追踪问题 2．目标跟踪问题二：慢跑者与狗 3．地中海鲨鱼问题 返 回 数学建模实例

微分方程的解析解 求微分方程（组）解析解的命令： dso1ve(方程1'，方程2'，.，方程n',初始条件’，自变量’ 记号：在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等 表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为缺省 例如，微分方程 d'y dx2 =0应表达为：D2y-0, 例1求 du=1+u 的通解 解 输入命令：dso1ve('Du=1+u^2','t') 结果：u=tg(t-c) To MATLAB (ffl

微分方程的解析解 求微分方程（组）解析解的命令: dsolve(‘方程1’ , ‘方程2’ ,., ‘方程n’ , ‘初始条件’ , ‘自变量’) 结 果：u = tg(t-c) To MATLAB（ff1）

例2求微分方程的特解， dy+4y+29y=0 dx2 dx y(0)=0,y'(0)=15 解输入命令： y=dso1ve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x To MATLAB (ff2) 结果为：y=3e2xsin(5x)

解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0' , 'y(0)=0,Dy(0)=15' , 'x') 结 果 为 : y =3e -2xsin（5x） To MATLAB（ff2）

例3求微分方程组的通解 dx =2x-3y+3z dt dy=4x-5y+3 di dz 4x-4y+2z dr 解输入命令： [x,y,z]=dsolve ('Dx=2*x-3*y+3*z', 'Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t); x=simple(x) 号将x化简 y=simple(y) To MATLAB (ff3 z=simple(z) 结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-31-C3e-30e2 y=-C1e4+c2e-4+c2e-31-c3e-3+c1-c2+c3)e21 z=(-c1e-41+c2e-41+C1-C2+c3）e21 返回

解 输入命令 ： [x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z' , 'Dy=4*x-5*y+3*z' , 'Dz=4*x-4*y+2*z' , 't')； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z) 结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e -3t)e 2t y = -c1e -4t+c2e -4t+c2e -3t-c3e -3t+c1-c2+c3)e 2t z = (-c1e -4t+c2e -4t+c1-c2+c3)e 2t To MATLAB（ff3） 返 回

微分方程的数值解 (一)常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂，且大 多得不出一般解.而实际中的对初值问题，一般是要求 得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得 到一个满足精确度要求的便于计算的表达式. 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的. 对常微分方程： y=x,》,其数值解是指由初始点x,开始 y(x)=% 的若干离散的x处的值，即对x,<x<x2<.<x,求出准确值(x), y(x2),.,y(xn)的相应近似值，y,.,yn 返 回

微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大 多得不出一般解．而实际中的对初值问题，一般是要求 得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得 到一个满足精确度要求的便于计算的表达式． 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的． 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 ' ( , ) ( ) ( ), ( ), , ( ) , , , . n n n y f x y x y x y x x x x x y x y x y x y y y            对常微分方程 ： ，其数值解是指由初始点 开始 的若干离散的 处的值，即对 ，求出准确值 的相应近似值 返 回

(二)建立数值解法的一些途径 设x+1-x=h,i=0,1,2,.,n-1,则可用以下离散化方法求解 微分方程 [y'=f(x,y) y(xo)=yo 1.用差商代替导数 若步长h较小，则有 y(x)-(x) h 故有公式： =y+hf() 5。=x) 1=01,2,.,n-1 此即欧拉法

（二）建立数值解法的一些途径 1 0 0 , 0,1,2, , 1, ' ( , ) ( ) i i x x h i n y f x y y x y           设  则可用以下离散化方法求解 微分方程 1．用差商代替导数 若步长h较小，则有 h y x h y x y x ( ) ( ) '( )    故有公式： 1 0 0 ( , ) 0,1,2, , -1 ( ) i i i i y y hf x y i n y y x          此即欧拉法．

2.使用数值积分 对方程y'x,y),两边由x,到x+1积分，并利用梯形公式，有： y(x)-y(x,)=∫f,y()d1 f(y())+f(x.() 2 故有公式： ya=y+2fxy+f0xn】 yo=y(xo) 实际应用时，与欧拉公式结合使用： y=y+hf(x) 哈=y+,y)+x唱I=0,2, 对于已给的精确度ε>0，当满足-<ε时，取1="， 然后继续下一步y2的计算. 此即改进的欧拉法

2．使用数值积分 对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有： 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( )) [ ( , ( )) ( , ( ))] 2 i i x i i x i i i i i i y x y x f t y t d t x x f x y x f x y x            实际应用时，与欧拉公式结合使用：                [ ( , ) ( , )] 0,1,2, 2 ( , ) ( ) 1 1 ( 1) 1 (0) 1 f x y f x y k h y y y y hf x y k i i i i i k i i i i i ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 2 0 k k k i i i i i y y y y y              对于已给的精确度 ，当满足 时，取 （ ） ， 然后继续下一步 的计算． 此即改进的欧拉法． 故有公式：            ( ) [ ( , ) ( , )] 2 0 0 1 1 1 y y x f x y f x y h y y i i i i i i