《数学建模与数学实验》教学教学资源（PPT课件）第12讲 插值

数学建模与数学实验 插值

数学建模与数学实验 插 值

实验目的 1.了解插值的基本内容， 实验内容 [1]一维插值 [2]二维插值 「3]实验作业

实验目的 实验内容 1．了解插值的基本内容． [1]一维插值 [2]二维插值 [3]实验作业

一维插值 一、插值的定义 二、插值的方法 拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 三、用MATLAB解插值问题 返回

拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用MATLAB解插值问题 返回

二维插值 一、 二维插值定义 二、网格节点插值法 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值 三、用MATLAB:解插值问题 网格节点数据的插值 散点数据的插值 返回

返回 二维插值 一、二维插值定义 二、网格节点插值法 三、用MATLAB解插值问题 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值 网格节点数据的插值 散点数据的插值

一维插值的定义 已知n+1个节点(x1,y)(j=0,1,.,n,其中xj 互不相同，不妨设a=X0<X1<<Xn=b), 求任一插值点X(卡X)处的插值y, 节点可视为由 1 y=8(x)产生， 8表达式复杂， Yo 或无封闭形式， 或末知 XO Xx Xn

一维插值的定义 已知 n+1个节点 ( , ) ( 0,1, , , j j x y j n = 其中 j x 互不相同，不妨设 ), 0 1 a x x x b =   n = 求任一插值点 ( ) * j x  x 处的插值 . * y • • • • • 0 x 1 x n x 0 y 1 y 节点可视为由 y = g(x) 产生, g 表达式复杂, 或无封闭形式, 或未知. ◆ * x * y

构造一个（相对简单的）函数y=f(x),通过全部节点，即 f(x,)=y,（j=0,1,.,n) 再用f(x)计算插值，即y=f(x). Yo Xo Xx 返回

构造一个(相对简单的)函数 y = f (x), 通过全部节点, 即 ( ) ( 0,1, , ) j j f x y j n = = 再用 f (x) 计算插值，即 ( ). * * y = f x • • • • • 0 x 1 x n x 0 y 1 y ◆ * x * y 返回

拉格朗日Lagrange)插值 已知函数孔x)在n+1个点x0x1,x,处的函数值为 01,yn,求一n次多项式函数P),使其满足： Px)y,=0,1,.,n 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 P.(w)=∑L()y i=0 其中L(x)为n次多项式： L)=x-x=x)-x-)x- (x-xox-x).(x-xx,-x1)(x-xn） 称为拉格朗日插值基函数

称为拉格朗日插值基函数． 0 ( ) ( ) n n i i i P x L x y = =   已知函数f(x)在n+1个点x0 ,x1 ,.,xn处的函数值为 y0 ,y1 ,.,yn ．求一n次多项式函数Pn (x)，使其满足： Pn (xi )=yi ,i=0,1,.,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li (x) 为n次多项式： 0 1 1 1 0 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x − + − + − − − − − = − − − − − 拉格朗日(Lagrange)插值

拉格朗日(Lagrange)插值 特别地： 两点一次（线性）插值多项式： L(x)=xx x0-x1 X1-X0 三点二次（抛物）插值多项式： 4) (-x小-x)。(x-x)-).(x-x) 民)民-+-6为属-店- 直接验证可知，L(x)满足插值条件

拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: ( ) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 y x x x x y x x x x L x − − + − − = 三点二次(抛物)插值多项式: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 2 1 2 2 y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L x −  − −  − + −  − −  − + −  − −  − = 直接验证可知, . L x n ( )满足插值条件

例 )=F5≤x≤图 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点n+1个，其中n为插值多项式的次数，当n分 别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形 To MATLAB 1ch(1arg1) 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现承叫Runge现象 返回

拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 , 5 5 1 1 ( ) 2 −   + = x x g x 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点n+1个，其中n为插值多项式的次数，当n分 别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 返回 To MATLAB lch(larg1)

分段线性插值 Xo X1为X+1xn L.x)=之y,x) 0 计算量与n无关； X=X1L,x≤x≤x x1-x- n越大，误差越小 1,(x)= x-xH,x,≤x≤x1 x,-x11 lim L(x)=g(x),x≤x≤xm 其他 n-→oo 02

分段线性插值 0 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , ( ) , 0, n n j j j j j j j j j j j j j j L x y l x x x x x x x x x x l x x x x x x = − − − + + + =  −    −    − =    −      其他 计算量与n无关; n越大，误差越小. n n n L x = g x x  x  x → 0 lim ( ) ( ), • • • • • • Ｏ x0 xj-1 xj xj+1 xn x y