《数学建模与数学实验》教学教学资源（案例）交通网络流量分析问题

交通网络流量分析问题 城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善 城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置 单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 图1某地交通实况 纬六路高架柄 车站街 站前路 001 图2某城市单行线示意图 【模型准备】某城市单行线如下图所示，其中的数字表示该路段每小时按箭头 方向行驶的车流量（单位：辆）

交通网络流量分析问题 城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善 城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置 单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 图 1 某地交通实况 图 2 某城市单行线示意图 【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头 方向行驶的车流量(单位: 辆)

500(1 300 1003) 4300 200 图3某城市单行线车流量 (1)建立确定每条道路流量的线性方程组 (2)为了唯一确定未知流量，还需要增添哪几条道路的流量统计？ 日著”州股动才合即 (3)当4=350时， 【模型假设】(1)每条道路都是单行线.(2)每个交叉路口进入和离开的车辆数 目相等 【模型建立】根据图3和上述假设，在①，②，③，④四个路口进出车辆数目分 别满足 500=x1+x2 ① 400+=+300 2+=100+200 x4=X3+300 ②国4 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组 x+x2 =500 -x,=-100 =300 -5+x=300 其增广矩阵 50 -100 (A,b)= 0 0 初等行变族 600 869 886d-0 -300 由此可得 -x=-100 x2+x=600 53-x=-300 即

图 3 某城市单行线车流量 (1) 建立确定每条道路流量的线性方程组. (2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当 x4 = 350 时, 确定 x1, x2, x3 的值. (4) 若 x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理? 【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数 目相等. 【模型建立】 根据图 3 和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分 别满足 500 = x1 + x2 ① 400 + x1 = x4 + 300 ② x2 + x3 = 100 + 200 ③ x4 = x3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组 1 2 1 4 2 3 3 4 500 100 300 300 x x x x x x x x  + =   − = −  + =    − + = 其增广矩阵 (A, b) = 1 1 0 0 500 1 0 0 1 100 0 1 1 0 300 0 0 1 1 300     − −       − ⎯⎯⎯⎯→ 初等行变换 1 0 0 1 100 0 1 0 1 600 0 0 1 1 300 0 0 0 0 0   − −     − −     由此可得 1 4 2 4 3 4 100 600 300 x x x x x x  − = −   + =   − = − 即 500 1 2 3 4 400 300 100 200 300 x1 x2 x3

名=，-100 3=-x+600 =x-300 为了唯一确定未知流量，只要增添4统计的值即可 当x4=350时，确定x1=250,x2=250,x3=50. 若4=200，则x1=100,2=400,3=-100<0.这表明单行线“③←④”应该改 为“③④”才合理 【模型分析】(1)由(4，b)的行最简形可见，上述方程组中的最后一个方程是多余 的.这意味着最后 一个方程中的数据“300”可以不用统计 x=x4-100 x2=-x+500 x=-x2+500 x=x3+200 (2)由 =-x+600可得{x=x-200 x=-x2+300 =-x3+300,这 x3=x4-300 x,=x+100 x,=-x+600 x.=x+300 就是说x1,x2,3,4这四个未知量中，任意 一个未知量的值统计出来之后都可以确 定出其他三个未知量的值 参考文献 陈怀琛，高淑萍，杨威，工程线性代数，北京：电子工业出版社，2007.页码： 16-17. Matlab实验题 某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小 时的车流量图中的数字表示该条路段的车流数如果每个交义路口避入和离 的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等 220 300 180 300 9十 X4 350 01 X5 6 150 160 150 290 图4某城市单行线车流量 ()建立确定每条道路流量的线性方程组 (2)分析哪些流量数据是多余的. (3)为了唯一确定未知流量，需要增添哪几条道路的流量统计

1 4 2 4 3 4 100 600 300 x x x x x x  = −   = − +   = − . 为了唯一确定未知流量, 只要增添 x4 统计的值即可. 当 x4 = 350 时, 确定 x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50. 若 x4 = 200, 则 x1 = 100, x2 = 400, x3 = −100 < 0. 这表明单行线“③④”应该改 为“③→④”才合理. 【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余 的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计. (2) 由 1 4 2 4 3 4 100 600 300 x x x x x x  = −   = − +   = − 可得 2 1 3 1 4 1 500 200 100 x x x x x x  = − +   = −   = + , 1 2 3 2 4 2 500 300 600 x x x x x x  = − +   = − +   = − + , 1 3 2 3 4 3 200 300 300 x x x x x x  = +   = − +   = + , 这 就是说x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确 定出其他三个未知量的值. 参考文献 陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17. Matlab 实验题 某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小 时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开 的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等. 图 4 某城市单行线车流量 (1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2)分析哪些流量数据是多余的. (3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计. 300 500 150 180 350 160 220 300 100 150 400 290 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12