《数学建模与数学实验》教学教学资源（案例）平板的稳态温度分布问题

平板的稳态温度分布问题 在热传导的研究中，一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布.根 据.定律，只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度 1197 190 80 1170 160- <11590 图8一块平板的温度分布图 【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面.已知四周8个节点处的 温度（单位℃），求中间4个点处的温度T,T2,T,T4. 100 80 90 T 60 80 50 0/ 50 图9一块平板的温度分布图 【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导，并且每个节点的温度等于 与它相邻的四个节点温度的平均值， 【模型建立】根据已知条件和上述假设，有如下线性方程组 Z=90+100+3+) 7=(80+60+I+T) T=4(80+60+T+T,) T=(50+50+T)+T) 【模型求解】将上述线性方程组整理得

平板的稳态温度分布问题 在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根 据.定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度. 图 8 一块平板的温度分布图 【模型准备】如图 9 所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周 8 个节点处的 温度(单位°C), 求中间 4 个点处的温度 T1, T2, T3, T4. 图 9 一块平板的温度分布图 【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于 与它相邻的四个节点温度的平均值. 【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组 1 2 3 2 1 4 3 1 4 4 2 3 1 (90 100 ) 4 1 (80 60 ) 4 1 (80 60 ) 4 1 (50 50 ) 4 T T T T T T T T T T T T  = + + +    = + + +    = + + +   = + + +   【模型求解】将上述线性方程组整理得 T1 T2 T3 T4 100 80 90 80 60 50 60 50

4T-T-T =190 -T+4, -7,=140 -T+4T3-T=140 -T2-T+4T4=100 在Matlab命令窗口输入以下命令 >A=[4,-1,-1,0:-1,4,0,-1;-1,0,4,-1:0,-1,-1,4]:b=[190:140:140:100]; >>x A\b;x' Matlab执行后得 ans 82.916770.833370.833360.4167 可见T1=82.9167,72=70.8333.T3=70.8333.T4=60.4167 参考文献 陈怀琛，高淑萍，杨威，工程线性代数，北京：电子工业出版社，2007.页码： 15-16. Matlab实验题 假定下图中的平板代表一条金属梁的截面，并忽略垂直于该截面方向上的 热传导.已知平板内部有30个节点，每个节点的温度近似等于与它相邻的四个 节点温度的平均值.设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍 例如学号为16308209的同学计算本题时，选择T=40,Tu=10,T,=0,Ta=45. Tu Tu T T T T T T27 Tr T T30 T Ta Ta 图10一块平板的温度分布图 ()建立可以确定平板内节点温度的线性方程组 (2)用Matlab软件求解该线性方程组 (3)用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 4 190 4 140 4 140 4 100 T T T T T T T T T T T T  − − = − + − =  − + − =   − − + = . 在 Matlab 命令窗口输入以下命令 >> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100]; >> x = A\b; x’ Matlab 执行后得 ans = 82.9167 70.8333 70.8333 60.4167 可见 T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167. 参考文献 陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16. Matlab 实验题 假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的 热传导. 已知平板内部有 30 个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个 节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为 16308209 的同学计算本题时, 选择 Tl = 40, Tu = 10, Tr = 0, Td = 45. 图 10 一块平板的温度分布图 (1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组. (2) 用 Matlab 软件求解该线性方程组. (3) 用 Matlab 中的函数 mesh 绘制三维平板温度分布图. Tu T1 T5 Tl Tl Td T2 T6 T7 T10 Tr Tr Tu T26 T30 Td T27 Tu Tr Td Tl