《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第4章 向量组的线性相关性 4.4 向量空间

向量狼的孩健相采烟 第四节 向量空间 向量空间的概念 子空间 三 向量空间的基与维数 四、小结 思考题 带助

一、向量空间的概念 定义1设V为n维向量的集合，如果集合非空， 且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间 说明 1.集合V对于加法及数乘两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则a+B∈V; 若a∈V,2∈R,则a∈V. 2.n维向量的集合是一个向量空间，记作R:

说明 若 V,  R, 则  V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 +  V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指

例13维向量的全体R3,是一个向量空间 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数 乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3. 类似地，n维向量的全体R",也是一个向量空 间. 回

3 , . 例1 维向量的全体R 3 是一个向量空间 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数  . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空

例2判别下列集合是否为向量空间， Y={=(0,x2,xn)x2,xn∈R} 解 V是向量空间. 因为对于V的任意两个元素 a=(0,a2,an),B=(0,b2,bn)'∈y, 有 a+B=(0,a2 +b2:,a+b)EV a=(0,2,nn）'∈y

例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 ,  , n 2 ,  ,  解 V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T  = 0,a2 ,  ,an ,  = 0,b2 ,  ,b V ,  1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有  +  = +  n + n  (0, , , ) . a2 a V1 T  =    n 

例3判别下列集合是否为向量空间. V==(I2,R 解V,不是向量空间. 因为若a=(,2,an'∈V2, 则2a=(2,2a2,.,2an）'e'2 上页 区回

例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 ,  , n 2 ,  ,  解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则  =  n  V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 =  n 

例4设a,b为两个已知的n维向量，集合 V={x=2a+b,u∈R} 试判断集合是否为向量空间. 解V是一个向量空间因为若1=a+4b x2=2a+42b,则有 x1+x2=(21+22)M+(41+2)b∈V, kc1=(k2)a+(ku)b∈V. 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空 间

例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b,  R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1a + 1b x2 = 2a +  2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 +  2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空

般地，由向量组a1,2,m所生成的向量空 间为 V={=元a1+3a2+.+namh1,n∈R 例5 设向量组a1,am与向量组b1,b,等价， 记 V1={x=九a1+22+.+m0m21,2,m∈R} V2=c=41b1+42b2+.+4,b,1,42,4∈R 试证：V1=V2

V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++  m m 1 ,2 ,  , m  间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为     . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + +  = = + + +  试证： 记 设向量组 与向量组 等价，                 例 5  

证设x∈Y,则x可由a,am线性表示 因a1,am可由b1,b,线性表示，故x可由b1, b,线性表示，所以x∈V 这就是说，若x∈V,则x∈V2, 因此VcV2 类似地可证：若x∈V2,则x∈Y, 因此y,cy 因为VcV2,2cy,所以V=Vz

, , . 证 设xV1，则x可由a1  am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1  V2，V2  V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1  1  1  . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1  V2 . 因此V2  V1

二、子空间 定义2设有向量空间V,及V,若向量空间V1cV2, 就说V,是V,的子空间. 实例 设V是由n维向量所组成的向量空间， 显然VcR” 所以V总是R"的子空间. 回

定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间． V1  V2 V1 V1 V2 V2 实例 V R n 显然  所以V总是R 的子空间. n 二、子空间 设 V 是由 n 维向量所组成的向量空间

三、向量空间的基与维数 定义3设V是向量空间，如果r个向量( 13C2 ,a,e⅓且满足 (1)a1,2,a,线性无关 (2)中任一向量都可由1,2，0，线性表示 那末，向量组a1,a2,.,a,就称为向量V的一个 基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量 空间

(1) , , , ; 1  2   r线性无关 (2) , , , . V中任一向量都可由1  2   r线性表示 那末，向量组 1 , 2 ,  , r 就称为向量 V 的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． r V V r 三、向量空间的基与维数 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 r , , V 1  2  , r V