《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第1章 行列式 1.4 对换

行列式 第四节对换 对换的定义 对换与排列的奇偶性的关系 三、小结 思考题 返西

一、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换. 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换」 例如 aa ab b.bm bbbe.e aa babybm arabbbacyc 上页 回

一、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． a1 al a b b1 bm 例如 a b a1 al bbaa b1 bm l m n a a a b b b c c 1 1 1 l m n a a b b b a c c 1 1 1 b a a b

二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性. 证明 设排列为 A4b6b对换n与nb加6-b。 除α，b外，其它元素的逆序数不改变

二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为 a1 al ab b1 bm 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm 除 a,b 外，其它元素的逆序数不改变. ab ba

当ab时， 经对换后M的逆序数不变，b的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性， 设排列为a,.,ab,.b.be.c 现来对换a与b. 回

当 a  b 时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 经对换后 a 的逆序数不变 ， b 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 l m n a a ab b bc c 1 1 1 当 a  b 时， 现来对换 a 与 b

m次相邻对换 a1.ab.bc1.Cn m+1次相邻对换 a1.a,bb.bac1-cn a1ab1.bmbC1.Cn) 2m+1次相邻对换 a1.a,bh,-bmaG.cn, 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性

m 次相邻对换 l m n a a ab b  b c c 1 1 1 m + 1 次相邻对换 l m n a a b b b a c c 1 1 1 , 1 l 1 m 1 n  a a ab b bc c 2m +1 次相邻对换 , 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. ab l m n a a a b b b c c 1 a 1 b 1 b a

推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 王王王王王王王王王 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此 知推论成立. 定理2 n阶行列式也可定义为 D=∑(-ヅ10p,2-0pn 其中t为行标排列PP2·P的逆序数 证明 按行列式定义有 回

推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. ( ) p p p n t n D a 1a 2 a 1 2 =  − 1 定理2 n 阶行列式也可定义为 其中 t 为行标排列 p1 p2  pn 的逆序数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 证明 按行列式定义有

王王王王王王王王王 D=∑(aupp 记D=∑（旷an14p20pm 对于D中任意一项（1)an2p,0m., 总有且仅有D,中的某一项（-1)0,14g,20gn 与之对应并相等；反之，对于D中任意一项 (ヅ0,14p,2.0pn,也总有且仅有D中的某一项 (-1)'a22am.,与之对应并相等，于是D与D 中的项可以一一对应并相等，从而 D=D

( ) p p npn t D a a a 1 1 2 2 =  −1 ( ) p p p n t n D1 a 1a 2 a 1 2 记 =  −1 对于D中任意一项 ( 1) , 1 p1 2 p2 npn t − a a a 总有且仅有 D1 中的某一项 ( 1) , q11 q2 2 q n s n − a a a 与之对应并相等;反之, 对于 D1 中任意一项 ( 1) , p11 p2 2 p n t n − a a a 也总有且仅有D中的某一项 ( 1) , 1q1 2q2 nqn s − a a a 与之对应并相等, 于是D与 D1 中的项可以一一对应并相等, 从而 . D = D1

定理3n阶行列式也可定义为 D=∑(-1pg0p2apa 王王王 其中P1P2“Pm,qI2q是两个级排列，t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 例1试判断1423314425665和一32434144512s466 是否都是六阶行列式中的项. 解 414234314424s665下标的逆序数为 t(431265=0+1+2+2+0+1=6 所以凸144234310425665是六阶行列式中的项

定理3 n 阶行列式也可定义为 ( ) p q p q pnqn t D a a a 1 1 2 2 =  − 1 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. n q q qn p1 p2  p , 1 2  n t 例1 试判断 a14a23a31a42a56a65 和− a32a43a14a51a25a66 是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为 t(431265) = 0 + 1+ 2 + 2 + 0 + 1 = 6 所以 14 23 31 42 56 65 是六阶行列式中的项. a a a a a a

一3204341445125466下标的逆序数为 t(452316=8 所以一3243144512566不是六阶行列式中的项！ 上页

− a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为 t(452316) = 8 所以 32 43 14 51 25 66 不是六阶行列式中的项. − a a a a a a

例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号 (1) L23a310420s6414l65; (2) 43204301405166L25 解 (1)0234310420s6014065→414423431042ls6L65, 431265的逆序数为 t=1+0+2+2+1+0=6, 所以234310424s641405前边应带正号. 这回

例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. (1) ; a23a31a42a56a14a65 (2) . a32a43a14a51a66a25 解 23 31 42 56 14 65 (1) a a a a a a 431265的逆序数为 t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6, 所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号. , → a14a23a31a42a56a65