《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题六（解答）

《线性代数B》强化训练题三解答 一、填空题 1.-2；2.-3: 3.a+b≠0；4.0；5.-1： 6.-5； 7.-1: 8.a,(1,1,.,1);9.(1,+o) 二、单项选择题 1.B 2.C 3.B 4.D 5.c x+1-11 -1 1x-11-1 三、计算行列式D= 1-1x+1-1 1 -11x-1 解：将第2列到第4列全部加到第1列，并从第1列中提出公因子x得到 1-11-1 1x-11-1 D=1-1x+1-1 1-11x-1 再将以上行列式第1列分别加到第2,4列，以及第1列乘-1加到第3列，得到 11000 1x00 D=x1 0 x 0 =x4 100x (2000 四、求解矩阵方程3AX4=16XA+E,其中A= 1200 1120 1112 解：4=16，A=A4=164 方程变为16'(3E-A)XA=E,从而X=16(3E-A). 1

- 1 - 《线性代数 B》强化训练题三解答 一、填空题 1. −2 ; 2. −3 ; 3. a b +  0 ; 4. 0 ; 5. − 1 ; 6. −5 ; 7. −1 ; 8. , (1,1, ,1)T a ; 9. (1, ) + 二、单项选择题 1. B; 2. C; 3. B; 4. D; 5. C 三、计算行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x D x x + − − − − = − + − − − 解：将第 2 列到第 4 列全部加到第 1 列, 并从第 1 列中提出公因子 x 得到 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 x D x x x − − − − = − + − − − 再将以上行列式第 1 列分别加到第 2, 4 列, 以及第 1 列乘−1 加到第 3 列, 得到 4 1 0 0 0 1 0 0 . 1 0 0 1 0 0 x D x x x x = = 四、求解矩阵方程 * 3 16 , A XA XA E = + 其中 2 0 0 0 1 2 0 0 . 1 1 2 0 1 1 1 2 A       =       解： A =16, * 1 1 A A A A 16 , − − = = 方程变为 1 16 (3 ) , A E A XA E − − = 从而 1 1 X E A 16 (3 ) . − − = −

(1000 -1100 由于3E-A= -1-110P -1-1-11 10 001000 (10001000 (3E-A,E)= -11000100 01001100 -1-1100010 00102110 -1-1-110001 (00014211 1 00 0 16 (1000 00 所以X=16X= 11100 16 16 162110 1 1 0 4211 16 16 8 16 16 五、求向量组a=(1,25)',a,=(0,2,-1),4=(-1,4,2)',a=(0,3.-2)的秩和它的 一个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表示 10-10)10-10 解：记A=(a,a,4,44)=2243→0263 5-12-20-17-2 10-10)10-10 →0-17-2→01330 (0020-1(00-201 秩r(a,43,a4)=3 极大无关组为4,4，a4;且43=-4，+3302-20a4 X+x2+x3+x4=0 六、讨论当a,b分别取何值时，线性方程组 53+2x3+2x4=b 玉+仔-a压+3x=2无解、有唯一解和 3x+2x2+x3+a4=-1 -2

- 2 - 由于 1 0 0 0 1 1 0 0 3 , 1 1 1 0 1 1 1 1 E A     −   − =   − −     −−− 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 (3 , ) , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 2 1 1 E A E         −     − = →     − −         −−− 所以 1 X 16− = 1 000 16 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 16 16 . 16 2 1 1 0 1 1 1 0 4 2 1 1 8 16 16 1111 4 8 16 16 X                 = =                   五、求向量组 1 2 3 4 (1,2,5) , (0,2, 1) , ( 1,4,2) , (0,3, 2) T T T T a a a a = = − = − = − 的秩和它的 一个极大无关组, 并将其它向量用此极大无关组线性表示. 解：记 1 2 3 4 1 0 1 0 1 0 1 0 ( , , , ) 2 2 4 3 0 2 6 3 5 1 2 2 0 1 7 2 A     − −     = = →             − − − − a a a a 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 7 2 0 1 33 0 , 0 0 20 1 0 0 20 1     − −     → − − →             − − 秩 1 2 3 4 r( , , , ) 3; a a a a = 极大无关组为 1 2 4 a a a , , ; 且 3 1 2 4 a a a a = − + − 33 20 . 六、讨论当 a b, 分别取何值时, 线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2 (3 ) 3 2 3 2 1 x x x x x x x b x a x x x x x ax  + + + =   + + =  + − + =    + + + = − 无解、有唯一解和

有无穷多解，并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解 (11110）(1111 0 解：B= 0122b 0122 6 013-a32 013-a3 2 321a-1(0-1-2a-3-1 (1111 0) 0122b → 001-a12-b (000a-1b-1 当a=1且b≠1时，3=R(4)≠R(B)=4,方程组无解 当a≠1时，R(A)=R(B)=4,方程组有唯一解 当a=1且b=1时，R(4)=R(B)=3<4,方程组有无穷多解，此时 11110 (10-100 01221 0120-1 B= 00011 00011 00000 (00000 通解x=c(1,-2,1,0)了+(0，-1,0,1)，其中c是任意常数. 七、用正交变换化二次型∫=x+2x+x-2xx为标准形，并写出所用的正交变换 (10-1 解：二次型矩阵A=020 -101 |2-101 |E-A=01-20=(-2)}2=0 10-1 得到A的特征值入=0，入=入=2 -3

- 3 - 有无穷多解, 并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解. 解： 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 3 3 2 0 1 3 3 2 3 2 1 1 0 1 2 3 1 b b B a a a a             = →     − −         − − − − − 1 1 1 1 0 0 1 2 2 , 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 b a b a b     →     − −     − − 当 a =1 且 b 1 时, 3 ( ) ( ) 4 =  = R A R B , 方程组无解; 当 a 1 时, R A R B ( ) ( ) 4 = = , 方程组有唯一解; 当 a =1 且 b =1 时, R A R B ( ) ( ) 3 4 = =  , 方程组有无穷多解, 此时 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 2 1 0 1 2 0 1 , 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B     −     −     = →             通解 (1, 2,1,0) (0, 1,0,1) , T T x = − + − c 其中 c 是任意常数. 七、用正交变换化二次型 2 2 2 1 2 3 1 3 f x x x x x = + + − 2 2 为标准形, 并写出所用的正交变换. 解：二次型矩阵 1 0 1 0 2 0 . 1 0 1 A   −   =       − 2 1 0 1 0 2 0 ( 2) 0, 1 0 1 E A − − = − = − = −       得到 A 的特征值 1 2 3    = = = 0, 2

10-1(10-1 1 由A-0E=020→010 得对应入的气=0 -101000 -10-101 由A-2E= 000 →000，得对应元，元的5 =15= 0 -10-1000 (0/ 1 标准形为∫-2+2 10-1 正度换为x=0共种0方0万0 1 101 八、证明题 设，乃是A的两个不同特征值，x,x是A的对应于入的两个线性无关的特征向量， 而x,x,是A的对应于2的两个线性无关的特征向量.试证明x,x2,x,x,线性无关. 证：考虑kx+kx2+kx3+kx4=0, () 用A左乘()，并利用特征值特征向量定义所满足的关系得到 (kx+kx2)+(kx+k4x4)=0,($) 综合有工+5，k式+kx2F0 刻跑在上式两八翻 1) 注意到入，入互不相同时， (kx+kx2,kx+kx)=(0,0), 即k出+kx=0以及kx+kx=0,分别利用x,x以及x,x线性无关推得 k=k3=0和k=k=0,这就证明了x,X2,x,x,线性无关 -4-

- 4 - 由 1 0 1 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 , 1 0 1 0 0 0 A E     − −     − = →             − 得对应 1 的 1 1 0 , 1      =       由 1 0 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 , 1 0 1 0 0 0 A E     − −     − = →             − − 得对应 2 3  , 的 2 3 0 1 1 , 0 , 0 1       −     = =             标准形为 2 2 2 3 f y y = + 2 2 . 正交变换为 x y = Q , 其中 1 0 1 1 0 2 0 . 2 1 0 1 Q   −   =       八、证明题 设 1 2  , 是 A 的两个不同特征值, 1 2 x x, 是 A 的对应于 1 的两个线性无关的特征向量, 而 3 4 x x, 是 A 的对应于 2 的两个线性无关的特征向量. 试证明 1 2 3 4 x x x x , , , 线性无关. 证：考虑 1 1 2 2 3 3 4 4 k k k k x x x x + + + = 0, (*) 用 A 左乘(*), 并利用特征值特征向量定义所满足的关系得到 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4   ( ) ( ) , k k k k x x x x + + + = 0 (**) 综合(*), (**)有 1 1 1 2 2 3 3 4 4 2 1 ( , ) ( , ), 1 k k k k   + + =     0 0   x x x x 注意到 1 2  , 互不相同时, 1 2 1 1         可逆, 在上式两端右乘 1 1 2 1 , 1 −         得到 1 1 2 2 3 3 4 4 ( , ) ( , ), k k k k x x x x + + = 0 0 即 1 1 2 2 k k x x + = 0 以及 3 3 4 4 k k x x + = 0, 分别利用 1 2 x x, 以及 3 4 x x, 线性无关推得 1 2 k k = = 0 和 3 4 k k = = 0, 这就证明了 1 2 3 4 x x x x , , , 线性无关