《线性代数》课程教学资源（学习指导）矩阵及其初等变换

线性代数学习指导 矩阵及其初等变换 内容提要 一，矩阵的概念 定义由m×n个数a,-1,2,.,mj=l,2,)排成的m行n列的数表 a1a2. aa.an」 称为m行n列矩阵简称mxn矩阵记为Aa、(a,）。、A、(a,) 当m=1时，Am=(a马2.a)称为行矩阵（行向量： 当n=1时，Bna 称为列矩阵列向量)； 当m=n时，Anm=An称为n阶方阵（矩阵）. 二.特殊矩阵 1.零矩阵元素全为零的矩阵记为0或0 [10.0] 2.单位矩阵：E。=E- 01.0 00.1 k 3.数量（纯量）矩阵：kE= . 4.对角矩阵：A= =diag1,2,.,nl. 5.上（下）三角矩阵 -1-

线性代数学习指导 - 1 - 矩阵及其初等变换 内容提要 一.矩阵的概念 定义 由 m n 个数 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i m j n = = 排成的 m 行 n 列的数表 11 12 1 21 22 2 31 32 3 n n n a a a a a a a a a             称为 m 行 n 列矩阵,简称 m n 矩阵.记为 A m n 、( ij)m n a  、 A 、(aij) . 当 m =1 时, A a a a 1 1 2 n n = ( ) 称为行矩阵(行向量); 当 n =1 时, 1 2 m 1 n b b B b        =       称为列矩阵(列向量); 当 m n = 时, A A n n n  = 称为 n 阶方阵(矩阵). 二.特殊矩阵 1.零矩阵:元素全为零的矩阵.记为 Om n 或 O. 2.单位矩阵: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E E n     = =         . 3.数量(纯量)矩阵: k k kE k     =         . 4.对角矩阵: 1 2 1 2 [ , , , ] n n diag            = =         . 5.上(下)三角矩阵:

线性代数学习指导 a1a2.am an .g 上三角矩阵 下三角矩阵 三.负矩阵：设A=(ag）n则-A=（-a） 四.同型矩阵：设A=(a,）B=(色，)如果m=5n=1则称A与B为同型矩阵 五.矩阵的相等：设A=(a,）,B=(亿，)n则 A=B台a,=b,6=12.,mj=12,.,m) 注意]不同型的零矩阵与单位矩阵都不相等 六.矩阵的基本运算及其性质 1加（减法 1设A=(a,),B=(6,)则A仕B=(a,±b）) [注意]】不同型的矩阵不能相加（减 (2)性质： ①A+B=B+A: ②(A+B+C=A+(B+C): ③A+0=A,A+(-A)=0. 2,数乘 (1设A=(a,)k是任意常数则M=(仙，) [注意]数乘矩阵与数乘行列式的区别： 数乘矩阵是用数K去乘以矩阵A的每一行（成列），数乘行列式是用数去乘以行列式的 某一行成列). (2)性质： .2

线性代数学习指导 - 2 - 11 12 1 22 2 n n nn a a a a a a             11 21 22 n n nn 1 2 a a a a a a             上三角矩阵 下三角矩阵 三.负矩阵:设 ( ij)m n A a  = ,则 ( ij)m n A a  − = − . 四.同型矩阵:设 ( ij)m n A a  = , ( ij)s t B b  = .如果 m s n t = = , ,则称 A 与 B 为同型矩阵. 五.矩阵的相等:设 ( ij)m n A a  = , ( ij)m n B b  = ,则 ,( 1,2, , ; 1,2, , ) A B a b i m j n =  = = = ij ij . [注意] 不同型的零矩阵与单位矩阵都不相等. 六.矩阵的基本运算及其性质 1.加(减)法 (1)设 ( ij)m n A a  = , ( ij)m n B b  = ,则 ( ij ij)m n A B a b   =  . [注意] 不同型的矩阵不能相加(减). (2)性质: ① A B B A + = + ; ② ( ) ( ) A B C A B C + + = + + ; ③ A O A A A O + = + − = , ( ) . 2.数乘 (1)设 ( ij)m n A a  = , k 是任意常数,则 ( ij)m n kA ka  = . [注意] 数乘矩阵与数乘行列式的区别: 数乘矩阵是用数 k 去乘以矩阵 A 的每一行(或列);数乘行列式是用数 k 去乘以行列式的 某一行(或列). (2)性质:

线性代数学习指导 (k+D)A=kA+IA; ②(A+B)=kA+kB; ③k(UA)=(k0A=I(k4): ④0A=O,k0=O,(-1)A=-A. 3乘法 (1)设A=(a）,B=(b)则 AB=C=(C） 其钟C,=ay+a,b,+.+abg,=12,.,mj=L2.,m） 注意制 @只有左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数AB才有意义： ②AB的行数=左矩阵A的行数AB的列数=右矩阵B的列数 ③AB的第1行第j列的元素=左矩阵A的第i行与右矩阵B的第列对应元素乘积之 ④两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵 ⑤矩阵的乘法不满足交换律，即一般地AB≠BA (2)性质： (AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC.(B+C)A=BA+CA. ③(k0B=k(AB)=AkB). A0=0A=0,AE=EA=A. (3)方阵的幂 设A为n阶矩阵，则 3

线性代数学习指导 - 3 - ① ( ) k l A kA lA + = + ; ② k A B kA kB ( ) +=+ ; ③ k lA kl A l kA ( ) ( ) ( ) = = ; ④ 0 , ,( 1) A O kO O A A = = − = − . 3.乘法 (1)设 ( ij)m s A a  = , ( ij)s n B b  = ,则 ( ij)m n AB C c  = = 其中 1 1 2 2 ,( 1,2, , ; 1,2, , ) ij i j i j is sj c a b a b a b i m j n = + + + = = . [注意] ①只有左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数, AB 才有意义; ② AB 的行数=左矩阵 A 的行数, AB 的列数=右矩阵 B 的列数; ③ AB 的第 i 行第 j 列的元素=左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之 和. ④两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵. ⑤矩阵的乘法不满足交换律，即一般地 AB  BA. (2)性质: ① (AB)C = A(BC). ② (A + B)C = AC + BC,(B + C)A = BA + CA. ③ (kA)B = k(AB) = A(kB). ④ A0 = 0A = 0, AE = EA = A. (3)方阵的幂 设 A 为 n 阶矩阵，则

线性代数学习指导 A'=A.A=A'A=AA.A=A+-A=4A.d kEN 4矩阵的转置 (1)设A=(a)n,则A的转置矩阵A=(a)m (2)性质 ①(A士B)=A±B: @(k0=kA: ③(AB)T=BA'(但(AB)T≠AB): ④(A)=A. (3)对称矩阵与反对称矩阵 设A为n阶矩阵，如果①A「=A,则称A为对称矩阵：②A「=-A,则称A为反对称矩 定理2.1n阶矩阵A为对称矩阵a,=amj=L2,.,n 5.方阵的行列式 (1)设A=(a,)nn则A的行列式4=det(a). (2)性质 @k4=k4(但k4≠4： @A,B=4=B4(虽然一般地AB≠BA)特别地4=4： ®4=4 三.逆矩阵 1设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的，B是A的 逆矩阵记为A,即A=B 2.伴随矩阵及其性质 .4

线性代数学习指导 - 4 - A A A A A AA A A A AA A k N k k k = = = = =  −   1 2 1 1 , , , 4.矩阵的转置 (1)设 A = aij mn ( ) ，则 A 的转置矩阵 ji n m T A = a  ( ) . (2)性质: ① T T T (A B) = A  B ; ② T T (kA) = kA ; ③ T T T (AB) = B A (但 T T T (AB)  A B ); ④ A A T T ( ) = . (3)对称矩阵与反对称矩阵 设 A 为 n 阶矩阵,如果① A A T = ,则称 A 为对称矩阵;② A A T = − ,则称 A 为反对称矩 阵. 定理 2.1 n 阶矩阵 A 为对称矩阵  aij = a ji，i, j = 1,2,  ,n . 5.方阵的行列式 (1)设 A = aij nn ( ) ,则 A 的行列式 det( ) A = aij . (2)性质: ① kA k A n n = (但 kA  k A ); ② AnBn = A  B = BA (虽然一般地 AB  BA );特别地: k k A = A ; ③ A A T = . 三.逆矩阵 1.设 A 为 n 阶矩阵,若存在 n 阶矩阵 B ,使得 AB = BA = E ,则称 A 是可逆的, B 是 A 的 逆矩阵,记为 −1 A ,即 A = B −1 . 2.伴随矩阵及其性质

线性代数学习指导 设A=(a,)m,则称A=(4)'=(4)= 为矩阵A的伴随矩 AnAn.Anm 阵其中A,为个中元素a,的代数余子式 [注意]A的构造：A的第j(U=,2,川）列元素是4中第j行元素的代数余子式 定理2.2设A为矩阵A的伴随矩阵则AA=AA=AE. 3,矩阵可逆的判别定理及求逆公式 定2.3n附超4同定e420且r=不 推论2.1若n阶矩阵A、B满足AB=E(成BA=E),则A可逆，且A1=B。 4.性质 (1)(k40=k-A,k≠0： (2)(AB)=BA(但(AB)≠AB): (3)(A)=(): (4)(A)=A: r c d 4=4当可时测=4 (8)如果A=PAP-(或PAP=A,此时称A与A相以)，则 A=PAP-,k∈N -般地，设p(x)=anx"+.+a,x+a把p()=anA+.+a,A+aE称为矩阵A的 .5-

线性代数学习指导 - 5 - 设 A = aij nn ( ) ,则称               = = = n n nn n n ji T ij A A A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1 * ( ) ( ) 为矩阵 A 的伴随矩 阵.其中 Aij 为 A 中元素 ij a 的代数余子式. [注意] * A 的构造: * A 的第 j ( 1,2, , ) j n = 列元素是 A 中第 j 行元素的代数余子式. 定理 2.2 设 * A 为矩阵 A 的伴随矩阵,则 AA = A A = AE * * . 3.矩阵可逆的判别定理及求逆公式 定理 2.3 n 阶矩阵 A 可逆  A  0 .且 1 1 * A A A = − . 推论 2.1 若 n 阶矩阵 A 、 B 满足 AB = E (或 BA = E ),则 A 可逆,且 A = B −1 . 4.性质 (1) ( ) 0 1 1 1 =  − − − kA k A ，k ; (2) 1 1 1 ( ) − − − AB = B A (但 1 1 1 ( ) − − − AB  A B ); (3) T T (A ) (A ) −1 −1 = ; (4) A = A −1 −1 ( ) ; (5) A A 1 1 = − ; (6) 1 d b a b c a c d a b c d −   −       − =     ; (7) 1 * − = n A A .当 A 可逆时,则 A A A = A A A = * −1 * −1 ，( ) ; (8)如果 −1 A = PP (或 =  − P AP 1 ,此时称 A 与  相似),则 A P P k N k k =   −1 ， . 一般地,设 1 0 (x) a x a x a m  = m ++ + ,把 A a A a A a E m m 1 0 ( ) = ++ + 称为矩阵 A 的

线性代数学习指导 多项式有p(A)=Pp(A)P- 四.分块矩阵 1用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小块，称为柜阵的子块以子块为元素形式上的炬 阵称为分块矩阵 2.分块矩阵的运算 (1)加（减）法 设m×n矩阵A、B按相同的分块法分成， A±B.A土B 则A士B= （A±B.A±Bn (2)数乘 设m×n矩阵A分成A= :,k∈R,则4= 4.A (3)乘法 设A为m×I矩阵，B为n矩阵按A的列的分法与B的行的分法相同分成 A1A）B.B】 A= (4.An（B.B 则AB=C=(C,)其中 Cg=AB,+A2B2+.+AB,i=1,2.,rj=1,2,., (4转者 3.分块对角矩阵 -6

线性代数学习指导 - 6 - 多项式.有 1 ( ) ( ) −  A = P  P . 四.分块矩阵 1.用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小块,称为矩阵的子块;以子块为元素形式上的矩 阵称为分块矩阵. 2.分块矩阵的运算 (1)加(减)法 设 mn 矩阵 A、B 按相同的分块法分成 11 1 11 1 1 1 , s s r rs r rs A A B B A B A A B B         = =             , 则 11 11 1 1 1 1 s s r r rs rs A B A B A B A B A B        =         . (2)数乘 设 mn 矩阵 A 分成 11 1 1 s r rs A A A A A     =       , k R,则 11 1 1 s r rs kA kA kA kA kA     =       . (3)乘法 设 A 为 ml 矩阵, B 为 l n 矩阵.按 A 的列的分法与 B 的行的分法相同分成 11 1 11 1 1 1 , t s r rt t ts A A B B A B A A B B         = =             , 则 AB = C = Cij rs ( ) ,其中 C A B A B A B i r j s ij i j i j it tj 1,2, , ; 1,2, , = 1 1 + 2 2 ++ =  =  . (4)转置 设 11 1 1 s r rs A A A A A     =       ,则 11 1 1 T T r T T T s rs A A A A A     =       . 3.分块对角矩阵

线性代数学习指导 (A (1形如A= 的分块矩阵称为分块对角矩阵（或准对角矩阵），其中 。 A0=1,2,.,r）为方阵 (2)性质 )4=444 (2)A= A A (3)若4,=1,2，.，r）都可逆则A= 注意] A 4-1 五。矩阵的初等变换 定义1下面对矩阵的三种变换称为矩阵的初等行（或列）变换： (1)对调矩阵任意两行（或列）：（分别简记为，）”：C)C,) (2)以数k≠0乘矩阵某一行（或列）中所有元素；（分别简记为，×k:C,×k) （3)将矩阵的某一行（或列）乘以数k加到另一行（或列）上去。（分别简记为 万+5×k:G+C,×k) 矩阵的初等行与列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换都是可逆的，且其逆变换为同 类的初等变换。 定义2若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B则称矩阵A与B等价记作A→B。 .7-

线性代数学习指导 - 7 - (1)形如               = Ar A A A  2 1 的分块矩阵称为分块对角矩阵(或准对角矩阵),其中 A (i 1,2, ,r) i =  为方阵. (2)性质 (1) A A1 A2  Ar =  ; (2)               = k r k k k A A A A  2 1 ; (3)若 A (i 1,2, ,r) i =  都可逆,则               = − − − − 1 1 2 1 1 1 Ar A A A  . [注意]               =               − − − − 1 1 1 2 1 1 2 1 A A A A A A r r   . 五．矩阵的初等变换 定义 1 下面对矩阵的三种变换称为矩阵的初等行（或列）变换： （1）对调矩阵任意两行（或列）；（分别简记为 ; i j i j r r c c   ） （2）以数 k  0 乘矩阵某一行（或列）中所有元素；（分别简记为 ; i j r k c k   ） （3）将矩阵的某一行（或列）乘以数 k 加到另一行（或列）上去。(分别简记为 ; i j i j r r k c c k +  +  ) 矩阵的初等行与列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换都是可逆的，且其逆变换为同 类的初等变换。 定义2 若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与 B等价，记作 A→ B

线性代数学习指导 矩阵等价具有反身性、对称性及传递性 定义3若矩阵非零行的第一个非零元素的列标随若行标的增加而严格增加，称该矩阵 为行阶梯形矩阵。注意矩阵的行阶梯形矩阵不唯一， 若行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元素为1，而该元素所在列的其他元素全为0，称 该矩阵为行最简形矩阵。注意矩阵的行最简形矩阵是唯一的。 物合8）的E芬为泥的际准联生套妇库的你准彩是鞋的。 定理1任何一个矩阵经有限次初等行变换可以变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；再 经过有限次初等列变换可化成标准形。 六。初等矩阵 1.初等矩阵的概念与基本性质 定义4由单位矩阵E经过一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。共有三类初等 矩阵：E(,八、E(k)、E,jk). 定理2(1)初等矩阵均可逆，且其逆矩阵为同类的初等矩阵，即 E亿，)=E,）,E(k》=E(》,E-,k)》=E6,-k)》. (2)在A的左（或右)边乘以一个m(或n)阶的初等矩阵，相当于对A作相 应的初等行（或列）变换。 2.重要结论 定理3An→Bn一存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得B=PAQ。 定理4n阶矩阵A可逆一A可表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A=PB.P 其中P0=1,2,.,s)为初等矩阵。 推论n阶矩阵A可逆台A→E(或AE .8-

线性代数学习指导 - 8 - 矩阵等价具有反身性、对称性及传递性。 定义 3 若矩阵非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增加，称该矩阵 为行阶梯形矩阵。注意矩阵的行阶梯形矩阵不唯一。 若行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元素为 1，而该元素所在列的其他元素全为 0，称 该矩阵为行最简形矩阵。注意矩阵的行最简形矩阵是唯一的。 形如 E O r O O       的矩阵称为矩阵的标准形。注意矩阵的标准形是唯一的。 定理 1 任何一个矩阵经有限次初等行变换可以变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；再 经过有限次初等列变换可化成标准形。 六．初等矩阵 1.初等矩阵的概念与基本性质 定义 4 由单位矩阵 E 经过一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。共有三类初等 矩阵： E(i, j)、 E(i(k)) 、 E i j k ( , ( )) 。 定理 2 （1）初等矩阵均可逆，且其逆矩阵为同类的初等矩阵，即 ( , ) ( , ) 1 E i j = E i j − ， )) 1 ( ( )) ( ( 1 k E i k = E i − ， ( , ( )) ( , ( )) 1 E i j k = E i j −k − 。 （2）在 Amn 的左（或右）边乘以一个 m （或 n ）阶的初等矩阵，相当于对 Amn 作相 应的初等行（或列）变换。 2.重要结论 定理 3 Amn → Bmn  存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q ，使得 B = PAQ 。 定理 4 n 阶矩阵 A 可逆  A 可表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A = P1P2 Ps 其中 P (i 1,2, ,s) i =  为初等矩阵。 推论 n 阶矩阵 A 可逆  A E r → （或 A E c → ）

线性代数学习指导 3.初等行变换的应用—求可逆矩阵的逆矩阵及解矩阵方程 1设n阶矩阵A可逆，求A的逆矩阵A'的方法是： (4E)E) 即利用初等行变换将矩阵(AE)变成行最简形，则E的位首就是A~ 2.设n阶矩阵A可逆，求解矩阵方程AX=B的方法是 (A|B)(E1X) 即利用初等行变换将矩阵(A|B)变成行最简形，则B的位置就是X。 七。矩阵的秩 1.基本概念 定义5在A,中任取k行k列(k≤mn{m,m)交叉处的k2个元素，不改变原来 的顺序所构成的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式。 定义6若矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式（如果存在的话） 全为零，则该不为零的r阶子式称为矩阵A的最高阶非要子式：矩阵A的最高阶非零子式 的阶数称为矩阵A的秩，记为R(A),规定零矩阵的秩为零，即R(O)=0, 定义7设A为n阶矩阵，若R(A)=n,则称A为满秩阵；若R(A)<n,则称A为降 秩阵。 显然A为可逆矩阵一A为非奇异矩阵一A为满秩矩阵。 2.矩阵秩的计算 求R(A)的方法： A→行阶梯形矩阵 则R(A)=行阶梯形矩阵B的非零行的行数 3.矩阵秩的性质 下面是矩阵秩的一些常用性质： .9

线性代数学习指导 - 9 - 3.初等行变换的应用——求可逆矩阵的逆矩阵及解矩阵方程 1.设 n 阶矩阵 A 可逆，求 A 的逆矩阵 1 A − 的方法是： 1 ( | ) ( | ) r A E E A n n → − 即利用初等行变换将矩阵 (A | E) 变成行最简形，则 E 的位置就是 −1 A 。 2.设 n 阶矩阵 A 可逆，求解矩阵方程 AX = B 的方法是： (A | B) (E | X ) r → 即利用初等行变换将矩阵 (A | B) 变成行最简形，则 B 的位置就是 X 。 七．矩阵的秩 1．基本概念 定义 5 在 Amn 中任取 k 行 k 列（ k  min{ m,n} ）交叉处的 2 k 个元素，不改变原来 的顺序所构成的 k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式。 定义 6 若矩阵 A 中存在一个 r 阶子式不为零，而所有的 r +1 阶子式（如果存在的话） 全为零，则该不为零的 r 阶子式称为矩阵 A 的最高阶非零子式；矩阵 A 的最高阶非零子式 的阶数称为矩阵 A 的秩，记为 R(A) 。规定零矩阵的秩为零，即 R O( ) 0 = 。 定义 7 设 A 为 n 阶矩阵，若 R A n ( ) = ，则称 A 为满秩阵；若 R A n ( )  ，则称 A 为降 秩阵。 显然 A 为可逆矩阵  A 为非奇异矩阵  A 为满秩矩阵。 2．矩阵秩的计算 求 R(A) 的方法： A r → 行阶梯形矩阵 B 则 R(A) = 行阶梯形矩阵 B 的非零行的行数。 3．矩阵秩的性质 下面是矩阵秩的一些常用性质：

线性代数学习指导 性质10≤R(Ana)≤min{m,n。 性质2R(A)=R(A). 性质3设k为常数，则R化=0k=0 R(A),k≠0 性质4若A→B,则R(A)=R(B). 性质5设A为mxn矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则 R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAO). 性质6mx{R(A),R(B)}≤R(A|B)≤R(A)+R(B):特别地，若b为列矩阵，则 R(4A)≤R(A|b)≤R(A)+I. 性质7R(A±B)≤R(A)+R(B)。 性质8R(AB)≤min(R(A),R(B)}. 性质9如果ABn=0,则R(4)+R(B)≤s. 「n,若R(4)=n 性质10设A为n阶矩阵，则R(A)=1,若R()=n-1 0.若R(A)<n-1 典型例题精解 期21设子H日 -1,求AB与BA 【思路分析】用定义计算 解B=231 1×1+2×(-1)+3×1「2] 245 1) 2×1+4×(-1)+5×1厂3 因为B的列数不等于A的行数，所以BA无意义 .10

线性代数学习指导 - 10 - 性质 1 0 ( ) min{ , }   R A m n m n 。 性质 2 R(A ) R(A) T = 。 性质 3 设 k 为常数，则 0, 0 ( ) ( ), 0 k R kA R A k  = =    。 性质 4 若 A→ B ，则 R(A) = R(B) 。 性质 5 设 A 为 m n 矩阵， P 为 m 阶可逆矩阵， Q 为 n 阶可逆矩阵，则 R A R PA R AQ R PAQ ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 。 性质 6 max{R(A), R(B)}  R(A | B)  R(A) + R(B) ；特别地，若 b 为列矩阵，则 R(A)  R(A | b)  R(A) +1。 性质 7 R(A  B)  R(A) + R(B) 。 性质 8 R(AB)  min{ R(A), R(B)}。 性质 9 如果 AmsBsn = 0 ，则 R(A) + R(B)  s 。 性质 10 设 A 为 n 阶矩阵，则 * , ( ) ( ) 1, ( ) 1 0, ( ) 1 n R A n R A R A n R A n  =  = = −    −  若 若 若 典型例题精解 例 2.1 设 1 1 2 3 1 2 4 5 1      −         ,求 AB 与 BA . 【思路分析】用定义计算. 解 1 1 2 3 1 1 2 ( 1) 3 1 2 1 2 4 5 2 1 4 ( 1) 5 1 3 1 AB            +  − +  = − = =                +  − +      . 因为 B 的列数不等于 A 的行数,所以 BA 无意义