《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题九（习题）

《线性代数D》强化训练题三 一、填空题 3-20 1.已知A=5-30 008 2.设A为三阶方阵，且A=2,则3A1-2A= 3.已知向量组A:a,a2,.,C,B:B,B,.,B,的秩分别为r,5,并且A中每一个 向量都可由B线性表示，则：与5的关系是 4.己知三阶矩阵A的特征值为-1,2,4，又设B=A2-2A,则B的特征值是 5.当k的取值范围为 时，二次型f=3x+(k-3)x3+(k-5)x正定 二、单项选择题 1.下列n(n>2)阶行列式的值必为零的有( A.行列式主对角线上的元素全为零 B.行列式的次对角线上的元素全为零 C.行列式零元素的个数多于n个 D.行列式非零元素的个数小于n个 2.设A是m×n矩阵，C~En,B=AC.若R(A)=r,R(B)=r,则一定有() A.r>万B.r<万C.r=rD.r与r的关系由C确定 3.设是A红=b的一个解，气，52，.，5是A红=0的基础解系，则有() A.,5,52,.,5线性无关 B.7,5,52,.,5线性相关 C.,5,52,.,5的线性组合都是非齐次方程组A化=b的解 D.,东，5，.，专的线性组合都是齐次方程组A代=0的解 4.阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是() -1-

- 1 - 《线性代数 D》强化训练题三 一、填空题 1. 已知 3 2 0 5 3 0 , 0 0 8 A   −   = −       则 1 A − = _. 2. 设 A 为三阶方阵, 且 A = 2, 则 1 * 3 2 A A − − = _. 3. 已知向量组 1 2 : , , , A   s , 1 2 : , , , B   t 的秩分别为 1 2 r r, , 并且 A 中每一个 向量都可由 B 线性表示, 则 1 r 与 2 r 的关系是_. 4. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 −1, 2, 4, 又设 2 B A A = − 2 , 则 B 的特征值是_. 5. 当 k 的取值范围为_时, 二次型 2 2 2 1 2 3 f x k x k x = + − + − 3 ( 3) ( 5) 正定. 二、单项选择题 1. 下列 n n( 2)  阶行列式的值必为零的有( ) A. 行列式主对角线上的元素全为零 B. 行列式的次对角线上的元素全为零 C. 行列式零元素的个数多于 n 个 D. 行列式非零元素的个数小于 n 个 2. 设 A 是 m n 矩阵, C E ~ n , B AC = . 若 1 R A r R B r ( ) , ( ) , = = 则一定有( ) A. 1 r r  B. 1 r r  C. 1 r r = D. r 与 1 r 的关系由 C 确定 3. 设 0 是 Ax b = 的一个解, 1 2 , , , r    是 Ax = 0 的基础解系, 则有( ) A. 0 1 2 , , , ,     r 线性无关 B. 0 1 2 , , , ,     r 线性相关 C. 0 1 2 , , , ,     r 的线性组合都是非齐次方程组 Ax b = 的解 D. 0 1 2 , , , ,     r 的线性组合都是齐次方程组 Ax = 0 的解 4. n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充要条件是( )

A.A有n个互不相同的特征值 B.A有n个非零的特征值 C.4≠0 D.A有n个线性无关的特征向量 kx+=0 5.设非齐次线性方程组2x+y+z=1有唯一解，则() x-2y+z=1 A.k≠0 B.k≠-1C.k≠2D.k≠-2 三、计算题 1111 1234 1.设D= a b c d 求元素a,b的代数余子式的值. 141020 2.计算行列式的值 -aa0.00 0-a44 .00 00-4.00 . 00 0.-anan 1 11 1 1 10-1 -210 3.设A=210B=031 (32-1 002 求(I)AB(2)AB:(3)B-(4)满足BX=A的矩阵X 2x+x2-3x=-5 4.问入为何值时，方程组{x+3x2-x=入有解，无解，有解时求全部解。 -7x-11x2+9x=2 .2-

- 2 - A. A 有 n 个互不相同的特征值 B. A 有 n 个非零的特征值 C. A  0 D. A 有 n 个线性无关的特征向量 5. 设非齐次线性方程组 0 2 1 2 1 kx z x ky z kx y z  + =   + + =   − + = 有唯一解, 则( ) A. k  0 B. k −1 C. k  2 D. k −2 三、计算题 1. 设 1 1 1 1 1 2 3 4 , 1 4 10 20 D a b c d = 求元素 a b, 的代数余子式的值. 2. 计算行列式的值 1 1 2 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 n n n a a a a a D a a + − − − = − 3. 设 1 0 1 2 1 0 2 1 0 , 0 3 1 . 3 2 1 0 0 2 A B     − −     = =             − 求 (1) AB; (2) AB ; (3) 1 B ; − (4) 满足 BX A = 的矩阵 X. 4. 问  为何值时, 方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 3 5 3 7 11 9 x x x x x x x x x    + − = −   + − =  − − + = 有解, 无解, 有解时求全部解

四、简答题 1.设A,B均为n阶对称阵，问AB是否也是对称阵？你能否给出AB也是对称阵的充要 条件 2.问空间R中的平面2x-3y+:=0是否构成R3中的子空间？若是，求该子空间的基 与维数，若不是，则说出理由 五、已知二次型∫-2x+3x+3x+2a2x(a>0)可通过正交变换化为标准形 f=片+23+5y 1.写出二次型∫=2x+3x号+3x+2ax,x(a>0)的矩阵A和标准形 ∫=片+2+5好的矩阵B: 2.由A与B的关系求A的特征值和参数a的值 3.求正交变换矩阵P 六、证明题 1.已知a,a,a是线性空间V的一个基，设 月=a+2a%+a,月=2a+3a+3a,月=3a+7%-a 证明月，月，月也是'的一个基，并求基4，a%2,a到基月，B,月的过渡矩阵 2.设n阶非零矩阵A,A满足A=A(i=1,2)。且AA=O, (1)证明：A(=L,2)的特征值入不是0就是1. (2)证明：A属于入=1的特征向量x就是4属于入=0的特征向量 (3)x,分别是A属于入=1的特征向量（亿=1,2），证明x,x线性无关 -3

- 3 - 四、简答题 1. 设 A B, 均为 n 阶对称阵, 问 AB 是否也是对称阵? 你能否给出 AB 也是对称阵的充要 条件. 2. 问空间 3 R 中的平面 2 3 0 x y z − + = 是否构成 3 R 中的子空间? 若是, 求该子空间的基 与维数, 若不是, 则说出理由. 五、已知二次型 222 1 2 3 2 3 f x x x ax x a = + + +  2 3 3 2 ( 0) 可通过正交变换化为标准形 2 2 2 1 2 3 f y y y = + + 2 5 . 1. 写出二次型 222 1 2 3 2 3 f x x x ax x a = + + +  2 3 3 2 ( 0) 的矩阵 A 和标准形 2 2 2 1 2 3 f y y y = + + 2 5 的矩阵 B; 2. 由 A 与 B 的关系求 A 的特征值和参数 a 的值; 3. 求正交变换矩阵 P. 六、证明题 1. 已知 1 2 3    , , 是线性空间 V 的一个基, 设 1 1 2 3     = + + 2 , 2 1 2 3     = + + 2 3 3 , 3 1 2 3     = + − 3 7 . 证明 1 2 3    , , 也是 V 的一个基, 并求基 1 2 3    , , 到基 1 2 3    , , 的过渡矩阵. 2. 设 n 阶非零矩阵 1 2 A A, 满足 2 ( 1, 2), A A i i i = = 且 2 1 A A O= , (1) 证明: ( 1,2) A i i = 的特征值  不是 0 就是 1. (2) 证明: A1 属于  =1 的特征向量 x 就是 A2 属于  = 0 的特征向量. (3) i x 分别是 Ai 属于  =1 的特征向量 ( 1, 2) i = , 证明 1 2 x x, 线性无关