《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题二（习题）

《线性代数A》强化训练题二 一、填空题 1.排列246.(2n)135.(2n-1)的逆序数为 1000a, 2.四阶行列式 0040 04300 a4000 3.若四阶行列式的第1行元素依次为1,2,3,4，第2行元素的代数余子式依次为 x,2,x,1,那么x= 4.设A和B都是n阶方阵，且A≠0.若AB-A=E,则= 5.设A为n阶方阵，若R(A)<n-1,则R(A)=」 110 6.若A是秩为1的三阶方阵，B=011,且AB=O,则Ax=0的通解 110 为一 7.当a= 时，向量(-3,4，a,1)与向量(-1,3,2,5)正交 8.可逆方阵A有特征值入，则A+2E有特征值 9.如果A为n阶正交矩阵，而且4=1，则4+A=_ (211 10.设A=110 ,如果A正定，则1的取值范围是 10t 二、单项选择题 1.设A和B都是n阶可逆矩阵，下列错误的是() -1-

- 1 - 《线性代数 A》强化训练题二 一、填空题 1. 排列 246 (2 )135 (2 1) n n − 的逆序数为 . 2.四阶行列式 1 2 3 4 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a = . 3. 若四阶行列式的第 1 行元素依次为 1,2,3,4, 第 2 行元素的代数余子式依次为 x x ,2, ,1, 那么 x = . 4. 设 A 和 B 都是 n 阶方阵, 且 A  0. 若 AB A E − = , 则 1 A − = . 5. 设 A 为 n 阶方阵, 若 R A n ( ) 1,  − 则 * R A( ) = . 6. 若 A 是秩为 1 的 三 阶方 阵, 1 1 0 0 1 1 , 1 1 0 B     =       且 AB O= , 则 Ax = 0 的通解 为 . 7. 当 a = 时, 向量 ( 3, 4, ,1) − a 与向量 ( 1,3, 2,5) − 正交. 8. 可逆方阵 A 有特征值 , 则 1 A E2 − + 有特征值 . 9. 如果 A 为 n 阶正交矩阵, 而且 A =1, 则 T * A A + = . 10. 设 2 1 1 1 1 0 , 1 0 A t     =       如果 A 正定, 则 t 的取值范围是 . 二、单项选择题 1. 设 A 和 B 都是 n 阶可逆矩阵, 下列错误的是 ( )

A.(A+B)=4+BT B.(A+B)=A-+B- C.AB=BA D.(A)1=() 2.设A为n阶矩阵，且A=0,则A中() A.任意一列向量是其余列向量的线性组合 B.必有一列元素全为零 C.必有一列向量是其余列向量的线性组合 D.必有两列元素对应成比例 (303) 3.设0是矩阵A=010的特征值，则a=() 30a A.3 B.1 c.0 D.-1 4.若n阶矩阵A与B相似，则(） AA与B都相似于同一个对角阵 B.A与B有相同的特征多项式和特征向量 C.A与B有相同的特征值和特征向量 D.A与B有相同的特征多项式和特征值 5.设A是m×n矩阵，=b是非齐次线性方程组，以下判断正确的是() Ax=0只有零解，则=b有唯一解 B.Ar=0有非零解，则Ar=b有唯一解 C.化=b有唯一解，则红=0只有零解 D.A红=b无解，则A红=0只有零解 三、行列式计算 2-512 1 4-612

- 2 - A. ( )T T T A B A B + = + B. 1 1 1 ( ) A B A B − − − + = + C. AB BA = D. 1 1 ( ) ( ) T T A A − − = 2. 设 A 为 n 阶矩阵, 且 A = 0, 则 A 中 ( ) A. 任意一列向量是其余列向量的线性组合 B. 必有一列元素全为零 C. 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D. 必有两列元素对应成比例 3. 设 0 是矩阵 3 0 3 0 1 0 3 0 A a     =       的特征值, 则 a = ( ) A. 3 B. 1 C. 0 D. −1 4. 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似, 则 ( ) A. A 与 B 都相似于同一个对角阵 B. A 与 B 有相同的特征多项式和特征向量 C. A 与 B 有相同的特征值和特征向量 D. A 与 B 有相同的特征多项式和特征值 5. 设 A 是 m n 矩阵, Ax b = 是非齐次线性方程组, 以下判断正确的是 ( ) A. Ax = 0 只有零解, 则 Ax b = 有唯一解 B. Ax = 0 有非零解, 则 Ax b = 有唯一解 C. Ax b = 有唯一解, 则 Ax = 0 只有零解 D. Ax b = 无解, 则 Ax = 0 只有零解 三、行列式计算 1. 2 5 1 2 3 7 1 4 5 9 2 7 4 6 1 2 D − − − = − −

xaa3a.an a1xa2a3.an 2.Dn=a42xa3an . a1a2a3a4. 1000 四、已知(A-E)= 1100 且AXA=AX+E,求A和X 1110 1111 x+x2+x3+x4=0 五、讨论当a,6分别取何值时，线性方程组凸+2%+2x=b 无解、有唯一解和 +(3-a)x+3x=2 3x+2x2+x3+m4=-1 有无穷多解，并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解。 100x 六、已知二次型fx,2,x3)=(x,x 013x 0-11八x ()求与二次型对应的实对称矩阵A (2)用正交变换将二次型化为标准形 七、设4,2，44是列向量组，若4,2线性无关，4,0，也线性无关，且内积 [a,a]=0,(=1,2j=3,4),试证明a,42,4,44一定线性无关 .3

- 3 - 2. 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 4 . n n n n x a a a a a x a a a D a a x a a a a a a x + = 四、已知 1 1 0 0 0 1 1 0 0 ( ) , 1 1 1 0 1 1 1 1 A E −       − =       且 1 1 A X A A X E, − − = + 求 A 和 X. 五、讨论当 a b, 分别取何值时, 线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2 (3 ) 3 2 3 2 1 x x x x x x x b x a x x x x x ax  + + + =   + + =  + − + =    + + + = − 无解、有唯一解和 有无穷多解, 并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解. 六、已知二次型 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 3 , 0 1 1 x f x x x x x x x x       =         −   (1) 求与二次型对应的实对称矩阵 A; (2) 用正交变换将二次型化为标准形. 七、设 1 2 3 4 a a a a , , , 是列向量组, 若 1 2 a a, 线性无关, 3 4 a a, 也线性无关, 且内积 [ , ] 0, i j a a = ( 1, 2; 3,4), i j = = 试证明 1 2 3 4 a a a a , , , 一定线性无关