《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题一（习题）

《线性代数A》强化训练题一 一、填空题 1.在六阶行列式a,中，此项"a1446a2asa4"的符号为 号 2.己知4阶行列式D中第3列元素依次是：-1,2,0,1，它们的余子式依次是 5,3,-7,4,则D- 3.若方阵A可逆，且行列式A=m,数k不等于0，则行列式(k4)= 4.设方阵A满足方程2+b4+cE=0(c≠0)，则A=_ 5.若A为n阶可逆矩阵且4=2，A为其伴随矩阵，则A= (100 6.设矩阵A=010,则A的全部特征值为 (100 二、是非题（用YN选答） 1.若向量a,a,a,a,线性无关，则a,a2,a也线性无关(). 2.设矩阵A,B,C满足AB=CB,则A=C() 3.对任意m×n矩阵A,则A4和AA均为对称矩阵() 4.n阶非零矩阵A,B满足AB-O,则秩r(A)<n(). 5.正交变换保持向量的内积和长度不变() (210 三、设矩阵A=120,矩阵B满足ABA=2BA+E,其中A为A的伴随矩阵， (001 E是单位矩阵，求B。 1

- 1 - 《线性代数 A》强化训练题一 一、填空题 1. 在六阶行列式 ij a 中, 此项 21 53 16 42 65 34 " " a a a a a a 的符号为 号. 2. 已知 4 阶行列式 D 中第 3 列元素依次是: −1, 2, 0, 1, 它们的余子式依次是 5, 3, 7, 4, − 则 D = . 3. 若方阵 A 可逆, 且行列式 A m= , 数 k 不等于 0, 则行列式 1 ( ) kA − = . 4. 设方阵 A 满足方程 2 A bA cE O c + + =  ( 0), 则 = −1 A . 5. 若 A 为 n 阶可逆矩阵且 A = 2, * A 为其伴随矩阵, 则 * A = . 6. 设矩阵 1 0 0 0 1 0 , 1 0 0 A     =       则 A 的全部特征值为  二、是非题 (用 Y/N 选答) 1. 若向量 1 2 3 4     , , , 线性无关 则 1 2 3    , , 也线性无关( ) 2. 设矩阵 A B C , , 满足 AB CB = , 则 A C= ( ). 3. 对任意 m n 矩阵 A , 则 T AA 和 T A A 均为对称矩阵( ). 4. n 阶非零矩阵 A B, 满足 AB O= , 则秩 r A n ( )  ( ) 5. 正交变换保持向量的内积和长度不变( ). 三、设矩阵 2 1 0 1 2 0 , 0 0 1 A     =       矩阵 B 满足 * * ABA BA E = + 2 , 其中 * A 为 A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 求 B

(12000 25000 四、证明矩阵A=00300可逆，并求其逆矩阵 00010 (00001 0-10Y 五、设A=100,B=PAP,其中P为3阶可逆矩阵，求B204-24 00-1 2-1-112 六、设矩阵A= 11-214 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把 4-62-24 36-979 不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示 x+x2+x=1, 七、入取何值时，方程组{x+元x,+x=入 (+3+x=2 (1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解，并求解 八、试求一个正交变换P,把下列二次型化为标准形 f(x,x2,x3)=2x2+x2-4xx2-4x2x3 九、设入，是n阶矩阵A的两个不同的特征值，a,a4,分别是A的属于，入的特征 向量，证明4+%不是A的特征向量 十、设月=a,B=4+心，.，B=a+a2++心，且向量组，a2,.,C,线 性无关，证明向量组月，B,.,月线性无关 .2

- 2 - 四、证明矩阵 1 2 0 0 0 2 5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 A       =           可逆, 并求其逆矩阵. 五、设 0 1 0 1 0 0 , 0 0 1 A   −   =       − 1 B P AP, − = 其中 P 为 3 阶可逆矩阵, 求 2004 2 B A − 2 . 六、设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 , 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 A   − −   −   =   − −     − 求矩阵 A 的列向量组的一个极大无关组, 并把 不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示. 七、  取何值时, 方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1, , . x x x x x x x x x       + + =   + + =   + + = (1) 有惟一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解, 并求解. 八、试求一个正交变换 P, 把下列二次型化为标准形 2 2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 4 4 . = + − − 九、 设 1 2  , 是 n 阶矩阵 A 的两个不同的特征值, 1 2  , 分别是 A 的属于 1 2  , 的特征 向量, 证明   1 2 + 不是 A 的特征向量. 十、 设 1 1 2 1 2 1 2          , , , , = = + = + + + r r 且向量组 1 2    , , , r 线 性无关, 证明向量组 1 2    , , , r 线性无关