《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题七（习题）

《线性代数D》强化训练题一 一、填空题 1.当1=时，向量组=(2,0,4),a2=(0,-2,4),%=(4,6,21）线性相关 2.A,B都是n阶方阵，且4≠0，AB-A=E,则A1=_ 3.设A为三阶方阵且A+2E=0,A-3E=0,A+E=0,则4=」 (2-20)100 4.己知矩阵-21-2与矩阵0y0相似则y= （0-22(00-2 5.二阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和数乘构成一个线性空间，它的一个基 为 二、选择题 1.A是三阶方阵且4=2，则(3A)=() A32×23 23 B. C.2'x3 D.2x3 2.设%，a,a可由月，月2线性表示，则a,2,a是() A.线性无关的 B.线性相关的 C.线性相关与线性无关都有可能且与月，B,的线性相关性有关 D.线性相关与线性无关都有可能且与B,B的线性相关性无关 3.若n阶方阵A与B相似，则() AA与B有相同的特征值和特征向量 B.A与B有相同的特征多项式和特征向量 C.A与B有相同的特征多项式和特征值 D.A与B都可相似于同一个对角阵 4.设A是n×m阶矩阵，则方程组A=0有无穷解的充要条件是() -1-

- 1 - 《线性代数 D》强化训练题一 一、填空题 1. 当 t = _时, 向量组 1 2 3    = = − = (2,0,4), (0, 2,4), (4,6,2 )t 线性相关. 2. A , B 都是 n 阶方阵, 且 A  0 , AB A E − = , 则 1 A − = . 3. 设 A 为三阶方阵, 且 A E A E A E + = − = + = 2 0, 3 0, 0, 则 A = . 4. 已知矩阵           − − − − 0 2 2 2 1 2 2 2 0 与矩阵           0 0 − 2 0 0 1 0 0 y 相似, 则 y = . 5. 二阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和数乘构成一个线性空间, 它的一个基 为 . 二、选择题 1. A 是三阶方阵且 A = 2, 则 = − A A * 1 (3 ) ( ) A. 3 3 3  2 B. 3 3 3 2 C. 3 3 2 3 1  D. 3 2 3 1  2. 设 1 2 3    , , 可由 1 2  , 线性表示, 则 1 2 3    , , 是( ) A. 线性无关的 B. 线性相关的 C. 线性相关与线性无关都有可能且与 1 2  , 的线性相关性有关 D. 线性相关与线性无关都有可能且与 1 2  , 的线性相关性无关 3. 若 n 阶方阵 A 与 B 相似, 则( ) A. A 与 B 有相同的特征值和特征向量 B. A 与 B 有相同的特征多项式和特征向量 C. A 与 B 有相同的特征多项式和特征值 D. A 与 B 都可相似于同一个对角阵 4. 设 A 是 n m 阶矩阵, 则方程组 Ax = 0 有无穷解的充要条件是( )

AA的行向量组线性无关 B.A的列向量组线性无关 C.A的行向量组线性相关 D.A的列向量组线性相关 5.设a是一单位向量，a与B正交，则内积[a+BB,2ag]的值是() A.1 B.2 C.3D.4 三、计算题 1.计算行列式的值 12-23 -1-24-2 (1)D= 012-1 23-310 a+b ab 00.0 0 1 a+b ab 0 . 0 0 0 1 a+b ab . 0 0 (2)D.= . . . . . . 0 0 0.a+b ab 0 0 00.1a+b 12-2 2.设矩阵A,B满足ABA=2BA-8E,其中A=0-24 A是A的伴随矩阵， (00 求B. 四、解答题 1.请叙述向量组线性无关的三种判别方法. 2

- 2 - A. A 的行向量组线性无关 B. A 的列向量组线性无关 C. A 的行向量组线性相关 D. A 的列向量组线性相关 5. 设  是一单位向量,  与  正交, 则内积 2 [ , 2 ]     + 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、计算题 1. 计算行列式的值 (1) 1 2 2 3 1 2 4 2 0 1 2 1 2 3 3 10 D − − − − = − − 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 (2) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 n a b ab a b ab a b ab D a b ab a b + + + = + + 2. 设矩阵 A B, 满足 * A BA BA E = − 2 8 , 其中 1 2 2 0 2 4 , 0 0 1 A   −   = −       * A 是 A 的伴随矩阵, 求 B. 四、解答题 1. 请叙述向量组线性无关的三种判别方法

1 2 5 2.求向量组a= -3 2 a= -1的秩和一个最大线性无关 5 2 1 6 4 7 组 五、当b为何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解并在无穷多解的情况下求 其通解 +2+3+x4=1 x3-x+2x4=1 2x+3x2+x3+4x4=b 3x+5x,+x,+7x4=5 大、求一正交变换把二次型f3,x,)=5x+5x+3x-2x出+6x-6x,x化为 标准形，并判定该二次型是否是正定的 七、证明题 1.已知A是正交阵，证明A也是正交阵 2.设向量组a4,%2,.,a(m>1)线性无关，且B=a+a2++am,证明向量组 B-a,B-,.,B-Cn也线性无关

- 3 - 2. 求向量组 1 2 3 4 1 2 1 2 2 3 3 5 3 1 2 1 5 2 1 6 4 5 3 7                             = = = =         − −                         ， ， ， 的秩和一个最大线性无关 组. 五、当 b 为何值时, 下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解, 并在无穷多解的情况下求 其通解. 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 5 7 5 x x x x x x x x x x x b x x x x  + + + =   − + =  + + + =    + + + = 六、求一正交变换把二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 5 5 3 2 6 6 = + + − + − 化为 标准形, 并判定该二次型是否是正定的. 七、证明题 1. 已知 A 是正交阵, 证明 * A 也是正交阵. 2. 设向量组 1 2 , , , ( 1)    m m  线性无关, 且 1 2 ,     = + + + m 证明向量组 1 2 , , ,       − − − m 也线性无关