《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题一（解答）

《线性代数A》强化训练题一解答 一、填充题 1正2-3,3动4-44E,52r:61l0 c 二、是非题 1.Y:2.N3.Y:4.Y5.Y. (210 三、设矩阵A=120,矩阵B满足ABA=2BA+E,其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩 (001 阵，求E 解：由于AA=AA=AE,且易知A=3,用A右乘矩阵方程的两端，有 3AB=6B+A,即3(A-2E)B=A,所以3A-2EE=4=3, 10101 又因为4-2=001故1回-兮 00-1 12000 25000 四、证明矩阵A=00300可逆，并求其逆矩阵 00010 00001 解：对A微如下分块4气0么) A O 其中 12) 300 4=010 001 因|4=44=3≠0，因此A可逆 4,4的逆矩阵分别为 -1-

- 1 - 《线性代数 A》强化训练题一解答 一、填充题 1. 正; 2. −3 ; 3. 1 km ; 4. A bE c + − ; 5. 1 2 n− ; 6. 1,1, 0. 二、是非题 1. Y; 2. N; 3. Y; 4. Y; 5. Y. 三、设矩阵 2 1 0 1 2 0 , 0 0 1 A     =       矩阵 B 满足 * * ABA BA E = + 2 , 其中 * A 为 A 的伴随矩阵, E 是单位矩 阵, 求 B . 解: 由于 * * AA A A A E = = , 且易知 A = 3, 用 A 右乘矩阵方程的两端, 有 3 6 , AB B A = + 即 3( 2 ) , A E B A − = 所以 3 3 2 3, A E B A − = = 又因为 0 1 0 2 1 0 0 1, 0 0 1 A E − = = − 故 1 . 9 B = 四、证明矩阵 1 2 0 0 0 2 5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 A       =           可逆, 并求其逆矩阵. 解: 对 A 做如下分块 1 2 , A O A O A   =     其中 1 2 3 0 0 1 2 ; 0 1 0 , 2 5 0 0 1 A A       = =           因 1 2 A A A = = 3 0, 因此 A 可逆. 1 2 A A, 的逆矩阵分别为

1/300 (3 ￡=010 (001 所以A逆阵为 (5-2000 -21000 - 00010 00001 (0-10 五、设A=100 B=PAP,其中P为3阶可逆矩阵，求B20-2A (00-1 8-08-日 利用分块矩阵的方幂 66 0-102(-1001 易知2=100 0-10 00-1001 从而A4=(4)2=E, 则由B=PAP有 B2=(P-APXP-AP)=P-A(PP-)AP=P-A2P, 因此 B2004=P-1A2004 P=P-IEP=E, 100(-100300 B204-22=010-20-10=030 (001001(00-1 2-1-112 六、设矩阵A= 11-214 ,求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大 4-62-24 (36-979 -2

- 2 - 1 1 1 2 1/ 3 0 0 5 2 ; 0 1 0 , 2 1 0 0 1 A A − −     −   = =       −     所以 A 逆阵为 1 1 1 1 2 5 2 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 . 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 A O A O A − − −   −   −       = =               五、设 0 1 0 1 0 0 , 0 0 1 A   −   =       − 1 B P AP, − = 其中 P 为 3 阶可逆矩阵, 求 2004 2 B A − 2 . 解: 因为 2 0 1 0 1 0 1 1 0 , 1 0 1 0 1 0 0 1        − − − −        = =        − 利用分块矩阵的方幂 , n n n A O A O O B O B       =       易知 2 2 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 , 0 0 1 0 0 1 A     − −     = = −             − 从而 2004 2 1002 A A E = = ( ) , 则由 1 B P AP − = 有 2 1 1 1 1 1 2 B P AP P AP P A PP AP P A P ( )( ) ( ) , − − − − − = = = 因此 2004 1 2004 1 B P A P P EP E, − − = = = 故 2004 2 1 0 0 1 0 0 3 0 0 2 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 B A       −       − = − − =                   − 六、设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 , 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 A   − −   −   =   − −     − 求矩阵 A 的列向量组的一个极大无关组, 并把不属于极大

无关组的列向量用极大无关组线性表示. 解：首先，对A作行初等变换化为行最简形矩阵 2-1-112)10-104 0001-3 (36-979(00000 知秩(4)=3，因此列向量组的极大无关组含有3个向量 而三个非零行的非零首元在1,2,4列，也即a,a2,a为一个极大无关组。由A的行最简形矩阵，有 a=-a-a,a=4a+3a-3a [2x+x+x=1, 七、元取何值时，方程组x+x2+x=入 +3+x=积 ()有惟一解；(2)无解(3)有无穷多解并求解 解：方程组的系数矩阵和增广矩阵为 (211) 21111Y A=1216B=1元1 (11 1122 14=(2-1)(a+2, (I)当元≠1且1≠-2时，A≠0，R(A0=R(B)=3, 所以方程组有惟一解 品= (a+1 (2)当元=-2时， -2111)（1-21-2 B=1-21-25→-2111 （11-24 11-24 (1-21-2）1-21-2 器0-33-30-33-3 (03-36(0003 R(A)≠R(B),所以方程组无解 (3)当元=1时 -3

- 3 - 无关组的列向量用极大无关组线性表示. 解: 首先, 对 A 作行初等变换化为行最简形矩阵: 2 1 1 1 2 1 0 1 0 4 1 1 2 1 4 0 1 1 0 3 , 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 A     − − −     − −     = →     − − −         − 知秩 r A( ) 3, = 因此列向量组的极大无关组含有 3 个向量. 而三个非零行的非零首元在 1, 2, 4 列, 也即 1 2 4    , , 为一个极大无关组. 由 A 的行最简形矩阵, 有 3 1 2    = − − , 5 1 2 4     = + − 4 3 3 . 七、  取何值时, 方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1, , . x x x x x x x x x       + + =   + + =   + + = (1) 有惟一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解, 并求解. 解: 方程组的系数矩阵和增广矩阵为 2 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 , 1 1 1 1 A B                 = =             2 A = − + ( 1) ( 2),   . (1) 当  1 且  −2 时, A  0, R A R B ( ) ( ) 3, = = 所以方程组有惟一解 2 1 2 3 1 1 ( 1) , , . 2 2 ( 2) x x x      − − + = = = + + + (2) 当  =−2 时, 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 4 1 1 2 4 r r B      − − −     = − − ⎯⎯⎯→ −             − − 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 3 3 3 0 3 3 3 , 0 3 3 6 0 0 0 3 r r r r − +     − − − −     ⎯⎯⎯→ − − → − −             − R A R B ( ) ( ),  所以方程组无解. (3) 当  =1 时

11111111 B=11110000 111 0000 R()=R(B)<3,方程组有无穷解。 得同解方程组 x=-x2-x3+1 x=x. ,=x 所以得通解为 k,k∈R 八、试求一个正交变换P,把下列二次型化为标准形 f(3,2,x3)=2x+x-4x2-4x2x3 (2-20） 2-1-20 解：A=-21-2 4-E=-21-元-2=(1-1-41+2)=0, 0-20 0 -2-1 得1=-2，元=1,23=4， 4-20 1 (1/3 名=-2时，A-E=-23-2 X=2 P= 2/3 0-22 2 2/3 1-20 (213 元=1时，A-1E=-20-2 X=1 P=1/3 -2-1 -2 -213 2 213 入3=4时，A-E 3 X= P=-2/3 0-2-4 1 1/3 122 -200 P=(,P2,乃) 1-2 P-AP= 010 2-21 004 作正交变换x=,则∫=-2+乃+4 -4-

- 4 - 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 , 1 1 1 1 0 0 0 0 r r r r B − −         = ⎯⎯⎯→             R A R B ( ) ( ) 3, =  方程组有无穷解. 得同解方程组 1 2 3 2 2 3 3. 1, , x x x x x x x  = − − +   =   = 所以得通解为 1 2 1 2 1 2 3 1 1 1 1 0 0 , , R. 0 1 0 x x k k k k x         − −         = + +                          八、试求一个正交变换 P, 把下列二次型化为标准形 2 2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 4 4 . = + − − 解: 2 2 0 2 1 2 , 0 2 0 A   −   = − −       − 2 2 0 2 1 2 (1 )( 4)( 2) 0, 0 2 A E        − − − = − − − = − − + = − − 得 1 2 3    = − = = 2, 1, 4, 1  = −2 时, 1 4 2 0 1 1/ 3 2 3 2 , 2 , 2 / 3 , 0 2 2 2 2 / 3 A E X        −       − = − − = =                   − p 2  =1 时, 2 1 2 0 2 2 / 3 2 0 2 , 1 , 1/ 3 , 0 2 1 2 2 / 3 A E X        −       − = − − = =                   − − − − p 3  = 4 时, 3 2 2 0 2 2 / 3 2 3 2 , 2 , 2 / 3 , 0 2 4 1 1/ 3 A E X        − −       − = − − − = − = −                   − − p 1 1 2 3 1 2 2 2 0 0 1 ( , , ) 2 1 2 , 0 1 0 . 3 2 2 1 0 0 4 P P AP −     −     = = − =             − p p p 作正交变换 x y = P , 则 2 2 2 1 2 3 f y y y = − + + 2 4

九、设入，入是n阶矩阵A的两个不同的特征值，a,a,分别是A的属于，的特征向量，证明 4+a不是A的特征向量 证：假设a+a,是A的属于特征值入的特征向量，则 A(a+a)=2(a+a)=a+a A(a+a)=Aa Aa=ha+ha 于是有 (2-2)a+(2-2)a=0, 由于1≠2，所以a与a2线性无关，故1-入=元-2=0，从而入=2，与入≠入2矛盾. 故a+凸，不是A的特征向量 十、设月=a,月=+a,.,月=a+a++a,且向量组,a,a,线性无关，证明 向量组B,B2,.,B线性无关 证：设x月+x月+.+x,B=0,将月(=1,2，.，r）的表示式代入，即 xa+x(a+a)+.+x,(a+a2+.+a)=0 (x+x2+.+x)a+(x2+x3++x,)a2+.+x,a,=0, 因为4，a,.,a,线性无关，故有 x+x32+.+x,=0, 为+.+x,=0, x=0. 显然，x=x2=.=x,=0,故月，月2，.，月，线性无关 -5

- 5 - 九、 设 1 2  , 是 n 阶矩阵 A 的两个不同的特征值, 1 2  , 分别是 A 的属于 1 2  , 的特征向量, 证明   1 2 + 不是 A 的特征向量. 证：假设   1 2 + 是 A 的属于特征值  的特征向量, 则 1 2 1 2 1 2 A( ) ( ) ,       + = + = +    又 1 2 1 2 1 1 2 2 A A A ( ) ,       + = + = +   于是有 1 1 2 2 ( ) ( ) ,     − + − =   0 由于 1 2    , 所以 1 与 2 线性无关, 故 1 2     − = − = 0, 从而   1 2 = , 与   1 2  矛盾. 故   1 2 + 不是 A 的特征向量. 十、设 1 1 2 1 2 1 2          , , , , = = + = + + + r r 且向量组 1 2    , , , r 线性无关, 证明 向量组 1 2    , , , r 线性无关. 证：设 1 1 2 2 , r r x x x    + + + = 0 将  ( 1,2, , ) i i r = 的表示式代入, 即 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , r r x x x       + + + + + + + = 0 1 2 1 2 3 2 ( ) ( ) , r r r r x x x x x x x + + + + + + + + + =    0 因为 1 2    , , , r 线性无关, 故有 1 2 2 0, 0, 0. r r r x x x x x x  + + + =   + + =     = 显然, 1 2 0, r x x x = = = = 故 1 2    , , , r 线性无关