《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题五（解答）

《线性代数B》强化训练题二解答 一、填空题 284980 (101 001 1.nl;2.2; 101 -110 5.x=c1+ 6.-2；7.1-1；8.2 01 9.-2"；10.(1,2) 二、单项选择题 1.D2.B 3.C4.C5.A 2-512 -37-11 三、计算行列式D= 5-927 3-612 |2-512| 解：D= 2312313-3. 11031132i- -1203 1-100 1-100-10 2000 四、求解矩阵方程16=X1+6,其中4！？00 1120 1112 解：4=16，A=4=16A, 方程变为16'(A-E)XA=E,从而X=16(A-E) 1

- 1 - 《线性代数 B》强化训练题二解答 一、填空题 1. n! ; 2. 2 ; 3. 99 1 0 1 2 2 0 2 1 0 1           ; 4. 0 0 1 1 0 0 1 1 0           − ; 5. 1 2 1 1 1 1 0 1 c c         = +             x ; 6. −2 ; 7. 1  1 − − ; 8. 2 ; 9. n − 2 ; 10. (1, 2) 二、单项选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 三、计算行列式 2 5 1 2 3 7 1 1 5 9 2 7 3 6 1 2 D − − − = − − 解： 2 5 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 0 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3. 1 1 0 3 2 3 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 D − − − = = = = = − − − − 四、求解矩阵方程 * 16 , XA A XA E = + 其中 2 0 0 0 1 2 0 0 . 1 1 2 0 1 1 1 2 A       =       解： A =16, * 1 1 A A A A 16 , − − = = 方程变为 1 16 ( ) , A A E XA E − − = 从而 1 1 X A E 16 ( ) . − − = −

(1000 由于A-E=A-E=i110 1100 1111 10001000 10001000 (A-E,E)= 11000100 0100-1100 11100010 →00100-110 11110001 (000100-11 (1000 所以X=16 -1100 -110 (0 0 -11 五、求向量组4=(1,2,5)'，42=(0,2,1)，4=(-1,4,2)'，a4=(0,4,-2)的秩和它的 一个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表示 (10-10)10-10)(10-10 解：记A=(a,42,4,44)=2244~0264~017-2 512-2017-200-88 10-10 0150 00-11 秩r(a1,2,a,a4)=3 极大无关组为a1,a2,a4,且43=-41+502-a4 x+x2+x3+x4=1 六、设线性方程组2x+3x2+4x-x=3有解，而且其系数矩阵秩为2.求a,b,c的 x+2x2+ax;+bx=c 值和该方程组的通解。 解：因为有解，所以()=r(B)=2, .2

- 2 - 由于 A E− = 1 0 0 0 1 1 0 0 , 1 1 1 0 1 1 1 1 A E       − =       1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 ( , ) , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 A E E         −     − = →     −         − 所以 1 1 0 0 0 1 1 0 0 16 . 0 1 1 0 0 0 1 1 X −     −   =   −     − 五、 求向量组 1 2 3 4 (1,2,5) , (0,2,1) , ( 1,4,2) , (0,4, 2) T T T T a a a a = = = − = − 的秩和它的 一个极大无关组, 并将其它向量用此极大无关组线性表示. 解：记 1 2 3 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ( , , , ) 2 2 4 4 ~ 0 2 6 4 ~ 0 1 7 2 5 1 2 2 0 1 7 2 0 0 8 8 A       − − −       = = −                   − − − a a a a 1 0 1 0 ~ 0 1 5 0 , 0 0 1 1   −         − 秩 1 2 3 4 r( , , , ) 3; a a a a = 极大无关组为 1 2 4 a a a , 且 3 1 2 4 a a a a = − + − 5 . 六、设线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 x x x x x x x x x x ax bx c  + + + =   + + − =   + + + = 有解, 而且其系数矩阵秩为 2 . 求 abc , , 的 值和该方程组的通解. 解：因为有解, 所以 r A r B ( ) ( ) 2, = =

而增广矩阵B的前两行不成比例意味着线性无关，故B的第三行可由前两行线性表示 令(1,2，a,b,c)=k(1,1,1,1,1)+k(2,3,4,-1,3) 利用前两个分量得 k+2k=1 解得k=-1,k=1 k+3k=2 所以a=-1+4=3,b=-1-1=-2,c=-1+3=2. 11111)11111)10-140 B→234-13→012-31→012-31 (0000000000(00000 -40 -2 3 通解 =c1 +C2 0 0 0 (0 七、用正交变换化二次型∫=x+x+2xx+x为标准形，并写出所用的正交变换 100 解：二次型矩阵A=011 011 |2-100 2E-A=02-1-1=(2-102-2)=0, 0-1元-1 得到A的特征值入=0，入=1入=2. 100)100 0 由A-0E=011→011，得对应2的气= 1 011000 -1 (000)010 1Y 由A-E=001→001，得对应2的5 (010(000 -3

- 3 - 而增广矩阵 B 的前两行不成比例意味着线性无关, 故 B 的第三行可由前两行线性表示. 令 1 2 (1,2, , , ) (1,1,1,1,1) (2,3,4, 1,3), a b c k k = + − 利用前两个分量得 1 2 1 2 2 1 3 2 k k k k  + =   + = , 解得 1 2 k k = − = 1, 1, 所以 a b c = − + = = − − = − = − + = 1 4 3, 1 1 2, 1 3 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 4 0 2 3 4 1 3 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B       −       → − → − → −                   通解 1 2 1 2 3 4 1 4 0 2 3 1 . 1 0 0 0 1 0 x x c c x x         −         −         = + +                           七、用正交变换化二次型 2 2 2 1 2 2 3 3 f x x x x x = + + + 2 为标准形, 并写出所用的正交变换. 解：二次型矩阵 1 0 0 0 1 1 ; 0 1 1 A     =       1 0 0 0 1 1 ( 1)( 2) 0, 0 1 1 E A        − − = − − = − − = − − 得到 A 的特征值 1 2 3    = = = 0, 1, 2. 由 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 , 0 1 1 0 0 0 A E         − = →             得对应 1 的 1 0 1 ; 1      =       − 由 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 , 0 1 0 0 0 0 A E         − = →             得对应 2 的 2 1 0 ; 0      =      

-100100 由A-2E=0-11→01-1 得对应无的5= 01-1000 1 050 1 101 -101 在正交变换x=Py下，标准形∫=+2 八、设a,42,43是线性无关向量组，若记月=4-4，月2=42-4，月=4-4，试 判断向量组月，B,B的线性相关性，并给出依据 解：向量组B,B,B线性相关 考虑kB+kB2+k月=0， 即k(a-a2)+k(a2-a3)+k(a3-a)=0 也即(k-k)a1+(-k+k)a2+(-k3+k)a3=0, k-k=0 由条件4,42,4，线性无关知-k+k=0 () -k+k=0 10-1 其系数行列式-110=0. 0-11 故(*)有非零解，从而月，B2,月线性相关 4

- 4 - 由 1 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 1 1 , 0 1 1 0 0 0 A E     −     − = − → −             − 得对应 3 的 3 0 1 . 1      =       取正交阵 1 2 3 0 2 0 1 1 1 , , 1 0 1 , 2 2 2 1 0 1 P          = =         −   在正交变换 x y = P 下, 标准形 2 2 2 3 f y y = + 2 . 八、 设 1 2 3 a a a , , 是线性无关向量组, 若记 1 1 2 2 2 3 3 3 1    = − = − = − a a a a a a , , , 试 判断向量组 1 2 3    , , 的线性相关性, 并给出依据. 解：向量组 1 2 3    , , 线性相关. 考虑 1 1 2 2 3 3 k k k    + + = 0, 即 1 1 2 2 2 3 3 3 1 k k k ( ) ( ) ( ) , a a a a a a − + − + − = 0 也即 1 3 1 1 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) , k k k k k k − + − + + − + = a a a 0 由条件 1 2 3 a a a , , 线性无关知 1 3 1 2 2 3 0 0 0 k k k k k k  − =  − + =  − + = (*) 其系数行列式 1 0 1 1 1 0 0, 0 1 1 − − = − 故(*)有非零解, 从而 1 2 3    , , 线性相关