《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题八（解答）

《线性代数D》强化训练题二解答 一、填空题 1. 2. 2 4.10 3 51 22J 010001(000 5.-100 000 001 000 (-1000-10 二、单项选择题 1.D: 2.B: 3.D 4.A: 5.B 三、计算下列行列式 1102-1 D=13158 2976 1541 11000 5177-01779/21072-9210=265. -113177 解：D= 1522 5220021-1-5 (2-10 四、A=02-1，且X=4A+2E+2X,其中A为A的伴随矩阵，E 002 是三阶单位矩阵，求X 解：AMX-2AX=4E+2A,(AE-240X=4E+2A 420 因为4=8，所以(AE-2A)=8E-2A=042 (004 -1-

- 1 - 《线性代数 D》强化训练题二解答 一、填空题 1． 11 3 ; 2． 1 3 2 2 3 1 2 2           −   ; 3． 1 8 − ; 4．1, 0 ; 5． 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0             −                   − − 二、单项选择题 1．D； 2．B； 3．D； 4．A； 5．B； 三、计算下列行列式 1 0 2 1 1 13 15 8 2 9 7 6 1 5 4 1 D − − = 解： 1 0 0 0 13 17 7 9 2 10 7 1 13 17 7 9 2 10 9 3 8 11 5 8 2 265. 2 9 3 8 11 5 5 2 2 0 0 2 1 5 2 2 D − − − = = = − − = = − − 四、 2 1 0 0 2 1 , 0 0 2 A   −   = −       且 * 1 A X A E X 4 2 2 , − = + + 其中 * A 为 A 的伴随矩阵, E 是三阶单位矩阵, 求 X. 解： * AA X AX E A A E A X E A − = + − = + 2 4 2 , ( 2 ) 4 2 , 因为 A = 8, 所以 4 2 0 ( 2 ) 8 2 0 4 2 , 0 0 4 A E A E A     − = − =      

420) 则(4E-240=042 0 、1 004 0 0 故X=(4E-24)'(4E+240 4 816 8-20）(2-3/23/4 0 1 8 8 -2=01/2-3/2 00800 2 00 4 [x+x+x3+x=0 五、已知齐次线性方程组{4x+3x+5x-x=0的通解为x=c5+C252,G,9为 ax+x,+3x,-bx,=0 书+x+5+x=-1 任意常数，求非齐次线性方程组4x+3x,+5x3-x4=-1的通解 ax+x3+3x3-bx1=1 1111 解：由条件知齐次方程组的系数矩阵A=435-1的秩为2 a13-b (1111)1111 而435-10-11-5 (a13-b(01-a3-a-b-a 则-0-3-a=-b=0,即a=2,b=3 1 1 -5 1111-1)102-42 此时非齐次方程组的增广矩阵B=435-1-1~01-15-3 (213-3100000 (2) -2) 4 则非齐次方程组的通解为x= 0 +k 1 +k 其中k,飞为任意常数 0 0 3

- 2 - 则 1 1 1 1 1 4 8 16 4 2 0 1 1 ( 2 ) 0 4 2 0 , 4 8 0 0 4 1 0 0 4 A E A − −   −           − = = −                 故 1 X A E A E A ( 2 ) (4 2 ) − = − + 1 1 1 4 8 16 8 2 0 2 3 2 3 4 1 1 0 0 8 2 0 1 2 3 2 . 4 8 0 0 8 0 0 2 1 0 0 4   −        − −      = − − = −                     五、已知齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 4 3 5 0 3 0 x x x x x x x x ax x x bx  + + + =   + + − =   + + − = 的通解为 1 1 2 2 x = + c c   , 1 2 c c, 为 任意常数, 求非齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x ax x x bx  + + + = −   + + − = −   + + − = 的通解. 解：由条件知齐次方程组的系数矩阵 1 1 1 1 4 3 5 1 1 3 A a b     = −       − 的秩为 2 , 而 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 5 1 ~ 0 1 1 5 , a b a a b a 1 3 0 1 3         − − −             − − − − − 则 1 3 , 1 1 5 − − − − a a b a = = − − 即 a b = = 2, 3; 此时非齐次方程组的增广矩阵 1 1 1 1 1 1 0 2 4 2 4 3 5 1 1 ~ 0 1 1 5 3 , 2 1 3 3 1 0 0 0 0 0 B     − −     = − − − −             − 则非齐次方程组的通解为 1 2 2 2 4 3 1 5 , 0 1 0 0 0 1 k k       −       − −       = + +                   x 其中 1 2 k k , 为任意常数

六、设二次型f(x,x,x)=ax+2x号-2x+2bxx(b>0),其中二次型矩阵A 的特征值之和为L,特征值之积为-12 (1)求ab的值： (2)求一正交变换把二次型f(x,x,x)化成标准型（需写出正交变换及标准型）. a o b 解：()二次型的矩阵为A=020 b0-2 设A的特征值为2,2，则有+2+3=a+2+(-2)=1 a o b 元23=020 -4a-262=-12 b0-2 解得a=1,b=2 |2-10-2 2)|E-A=0-20 =(-2)2(+3)=0， -201+2 得A的特征值入=入=2，元3=-3 (10-2)10-2 对于特征值2=乙，=2,1E-A=000~000 -204000 故相应的特征向量为5=(0,1,0)了，52=(2,0，)， 展箱正文化东气得n=010以，乃=（石0方了 (-40-2 10》 对于特征值1，=-3，元E-A=0-50-010 -20-1000 故相应的特征向量为5=(1,0，-2) -3

- 3 - 六、 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 f x x x ax x x bx x b ( , , ) 2 2 2 ( 0), = + − +  其中二次型矩阵 A 的特征值之和为 1, 特征值之积为 −12. (1) 求 a b, 的值; (2) 求一正交变换把二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 化成标准型(需写出正交变换及标准型). 解：(1) 二次型的矩阵为 0 0 2 0 , 0 2 a b A b     =       − 设 A 的特征值为 1 2 3    , , , 则有 1 2 3    + + = + + − = a 2 ( 2) 1, 2 1 2 3 0 0 2 0 4 2 12, 0 2 a b a b b = = − − = − −    解得 a b = = 1, 2. (2) 由 2 1 0 2 0 2 0 ( 2) ( 3) 0, 2 0 2 E A − − − = − = − + = − +       得 A 的特征值 1 2 3    = = = − 2, 3. 对于特征值 1 2   = = 2, 1 0 2 1 0 2 0 0 0 ~ 0 0 0 , 2 0 4 0 0 0 E A     − −     − =             −  故相应的特征向量为 1 2 (0, 1, 0) , (2, 0, 1) , T T   = = 规范正交化 1 2   , 得 1 2 2 1 (0, 1, 0) , ( , 0, ) , 5 5 T T   = = 对于特征值 3  = −3, 1 1 0 4 0 2 2 0 5 0 ~ 0 1 0 , 2 0 1 0 0 0 E A   − −         − = −           − −      故相应的特征向量为 3 (1, 0, 2) , T  = − 单位化得 3 1 2 ( , 0, ) , 5 5 T  = −

令P=(m,n2,n)=10 0 0 5 则P即为所求矩阵，所求变换为x=Py,即y=Px, 出=5 即仍=店2x+) =5g-2x) 相应的二次型的标准形为f0,为)=2+2乃-3% 七、 1.设V是次数不超过3的实多项式全体构成的实数域上的线性空间 A:1,x,x2,x3;B:1,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x是'的两个基.分别求 f(x)=4+x+2x2+x2在这两个基下的坐标 (1111) 解：L,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x2)=0,x,x2,x) 0111 0011 (0001 4 fx)=4+x+2x2+x2=(0,x2,x2) 2 1 1111(4 =0,1+x,1+x+x2,1+x+x2 +x 0111 0011 (000 1-10 04 01 =0,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x 00 12 00 0 1 1

- 4 - 令 1 2 3 2 1 0 5 5 ( , , ) 1 0 0 . 1 2 0 5 5 P          = =       −     则 P 即为所求矩阵, 所求变换为 x y = P , 即 T y x = P , 即 1 2 2 1 3 3 1 3 1 (2 ) 5 1 ( 2 ) 5 y x y x x y x x   =    = +    = −  相应的二次型的标准形为 2 2 2 1 2 3 1 2 3 f y y y y y y ( , , ) 2 2 3 . = + − 七、 1．设 V 是次数不超过 3 的实多项式全体构成的实数域上的线性空间, 2 3 2 2 3 A x x x B x x x x x x : 1, , , ; : 1, 1 , 1 , 1 + + + + + + 是 V 的两个基. 分别求 2 3 f x x x x ( ) 4 2 = + + + 在这两个基下的坐标. 解： 2 2 3 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 (1, 1 , 1 , 1 ) (1, , , ) 0 0 1 1 0 0 0 1 x x x x x x x x x       + + + + + + =       , 2 3 2 3 4 1 ( ) 4 2 (1, , , ) 2 1 f x x x x x x x       = + + + =       1 2 2 3 1 1 1 1 4 0 1 1 1 1 (1, 1 , 1 , 1 ) 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 x x x x x x −             = + + + + + +             2 2 3 1 1 0 0 4 0 1 1 0 1 (1, 1 , 1 , 1 ) 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 x x x x x x     −     −     = + + + + + +     −        

3 =(1,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x3) 1 1 则f(x)在这两个基下的坐标分别为4,1,2,1和3，-1,1,1. 0 8 2.设(,x,x,x)是向量a关于基a .a-i.a-1.a.- 下的坐 标O以，乃2，片，y4)是a关于基B.BB,B,下的坐标，且y=x,为=x2-x 为=-x,=x4-x,求基BB,BB。 (x （八 解：a=(a1,a2,a3,a,） (BBB X y4 1000 -1100x2 0-110 =B y0-101八xx 所以(a1,a2,a3,a4)=(B,B2,P,4)B, (10001000 BB月B=aa,aa,gr020 01100 01121110 1011八1101 (1000) =3200 4412 3211 0 0 2 0 即B 0 B.- 2 5

- 5 - 2 2 3 3 1 (1, 1 , 1 , 1 ) . 1 1 x x x x x x     −   = + + + + + +       则 f x( ) 在这两个基下的坐标分别为 4,1, 2,1 和 3, 1,1,1. − 2．设 1 2 3 4 ( , , , ) x x x x 是向量  关于基 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 0 0 , , , 0 1 1 2 1 0 1 1                             = = = =                         下的坐 标, 1 2 3 4 ( , , , ) y y y y 是  关于基 1 2 3 4     , , , 下的坐标, 且 1 1 2 2 1 y x y x x = = − , , 3 3 2 4 4 2 y x x y x x = − = − , , 求基 1 2 3 4     , , , . 解： 1 1 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 3 3 4 4 ( , , , ) ( , , , ) x y x y x y x y                      = =             且 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 0 0 0 1 1 0 0 , 0 1 1 0 0 1 0 1 y x x y x x B y x x y x x                 −         = =         −                 − 所以 1 2 3 4 1 2 3 4 ( , , , ) ( , , , ) ,         = B 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 0 ( , , , ) ( , , , ) 0 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1         B −          = =          1 0 0 0 2 2 0 0 . 4 4 1 2 3 2 1 1       =       即 1 2 3 4 1 0 0 0 2 2 0 0 , , , . 4 4 1 2 3 2 1 1                             = = = =                        

八、证明题 1.已知B,=a,B2=a1+a。.,Bn=a1+a2++an,且已知B1,B2,Bn线 性无关，证明ana2,an也线性无关 (1111 011.1 证：(B1,B2,.,Bn）=(a1,a2.,an)001.1=(a1,a2.,an)4 000.1 因为A=1≠0，所以A可逆， 则向量组B,B2,.,Bn与a,a2.,an具有相同的秩， 又B,B,Bn线性无关，故其秩为n 所以a,a.,an的秩也为n,故ac,C2,.,cn也线性无关 2.设B=(传，5)，且5，.，5m是x=0的基础解系，P是m阶可逆方阵， (PB)了=（们。，n,证明7.，n.也是r=0的基础解系 证：(，n)=(PB=Bp=(5，,5)P, 由P可逆知nn,nnm与5n.,5秩相等， 因为5，5是A化=0的基础解系，所以A=0的基础解系中含有m个解向量 且5，.，5.线性无关，其秩为m, 故np.,7n的秩也为m,则刀p.,刀n也线性无关 且47，1)=4(5，.，5n)P=0,即71，.，7n均为K=0的解向量 所以刀.，nn也是A=0的基础解系 -6-

- 6 - 八、证明题 1．已知 1 1 2 1 2 1 2 , , , ,          = = + = + + + n n 且已知 1 2 , , ,    n 线 性无关, 证明 1 2 , , ,    n 也线性无关. 证： 1 2 1 2 1 2 1 1 1 . 1 0 1 1 . 1 ( , ,., ) ( , ,., ) ( , ,., ) , 0 0 1 . 1 . . . . . 0 0 0 . 1          n n n A       = =           因为 A = 1 0, 所以 A 可逆, 则向量组 1 2 , , ,    n 与 1 2 , , ,    n 具有相同的秩, 又 1 2 , , ,    n 线性无关, 故其秩为 n, 所以 1 2 , , ,    n 的秩也为 n, 故 1 2 , , ,    n 也线性无关. 2．设 1 ( , , ), T B m =   且 1 , , m   是 Ax = 0 的基础解系, P 是 m 阶可逆方阵, 1 ( ) ( , , ), T PB =   m 证明 1 , ,   m 也是 Ax = 0 的基础解系. 证： 1 1 ( , ., ) ( ) ( , ., ) , T T T T     m m = = = PB B P P 由 P 可逆知 1 , ,   m 与 1 , , m   秩相等, 因为 1 , , m   是 Ax = 0 的基础解系, 所以 Ax = 0 的基础解系中含有 m 个解向量, 且 1 , , m   线性无关, 其秩为 m, 故 1 , ,   m 的秩也为 m, 则 1 , ,   m 也线性无关, 且 1 1 ( , ., ) ( , ., ) , T A A P     m m = = 0 即 1 , .,   m 均为 Ax = 0 的解向量, 所以 1 , ,   m 也是 Ax = 0 的基础解系