《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第1章 行列式 1.5 行列式的性质

行列式 第五节 行列式的性质 行列式的性质 应用举例 三、小结思考题 带助式

一、行列式的性质 王二二主二二主二二二二主王主 记 411 12 411 21 D a21 22 DT 412 22 An .Lm .m 行列式D'称为行列式D的转置行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等

一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a  22 11    n n a a a 2 12 1   1 2 21 n n a a a D =    2 21 1 n n a a a   n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a  22 11

证明 记D=dt(a,的转置行列式 b11 b12 DT= b21b2 bn2 即b=0(6,j=1,2,n,按定义 D'=∑(-ヅbbn.bp.=∑(-y0n14p2r 又因为行列式D可表示为 D=∑(1ヅan14p,2-0pn 回

证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D     = ( , 1, 2, , ,) ij ji 即b a i j n = = 按定义 ( 1) ( 1) . =  − 1 1 2 2 =  − p11 p2 2 p n t p p np T t n n D b b b a a a 又因为行列式D可表示为 ( 1) . =  − p11 p2 2 p n t n D a a a

故 D=DT. 证毕 说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号 证明 设行列式 b b12 bin D1= bat b22 ba bn2.bm 是由行列式D=dt(a,)变换i,j两行得到的

故 . T D = D 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D     = 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 D = det(aij) 变换 两行得到的, i, j

即当k≠i,j时，bo=p当k=i,j时， bo aj'bip ap, 于是 D,=∑(yDnb,bn-bg =∑（ヅApapaaw. =∑(1yan.0p,pam. 其中1.i.j.n为自然排列 为排列pPp.Pn的逆序数 设排列p1.ppPn的逆序数为t1, 则有 回

于是 ( ) i j npn p ip jp t D b b b b 1 1 1 =  − 1 ( ) i j npn p ip jp t a a a a 1 1 =  − 1 ( 1) , 1 1 j i npn p ip jp t =  − a a a a 其中1i jn为自然排列, . t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数 , 1 1 p p p p t 设排列  i  j  n 的逆序数为 则有 即当 时, k  i, j ; bkp = akp 当 k i j 时, = , , , bip = ajp bjp = aip

(-1=-(-1, 故D,=-∑(1ya,p,am0p. =一D证毕 例如 7 5 175 17 715 6 62=-358 66 2=-662. 3 58 66 2 35 8 53 8 推论 如果行列式有两行（列) 完全相同，则 此行列式为零 证明 互换相同的两行，有D=一D, .%D=0. 上页

例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有  D = 0. D = −D, ( 1) ( 1) , 1 t t − = − − 故 ( 1) . 1 1 D1 a1 a a a D j i npn p ip jp t = − −    = − 证毕 , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 11 12 Cyn 01112 kai kai2 kain =k1 Qi2 Qin An2 An\ . 推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面. 回

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a      1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k      1 2 1 2 11 12 1 = 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．

性质4行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零. 证明 11 L12 Cin 011 L12 n L 2 Cin ai2 Cin =k =0. kaiv kai2 kain ai Ai2 . Cin Ani An2 Anl An2

性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a        1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k        1 2 1 2 1 2 11 12 1 = = 0

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和 11 012. (au+au) . Cin 例如 D- 021422 (a2i+2i) 02n .(0m+ani) . An 则D等于下列两个行列式之和： 11 Avi .l1n 1 au .1n D- L21 Azi .l2n L21 dz .l2n + An . Ani .anm 回

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D           ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 +  +  +  = 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D                        = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 例如

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行 列式不变. 11 j 例如 2 Azj An Anj 411 (a1:+k1） arj 21 (azi+kazj) +krj Uzj (am+kau）

性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． n ni nj nj i j j i j n a a a a a a a a a a a a              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nj i j j j i j j n i j a a ka a a a a ka a a a a ka a a r kr              ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + k  例如