《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第4章 向量组的线性相关性 4.2 向量组的线性相关性

向量组的孩恨相关性 第二节向量组的线性相关性 向量 向量组与矩阵 线性相关性的概念 三 线性相关性的判定 四、小结思考题 返

二、线性相关性的概念 定义3给定向量组4：a1,a2,am,如果存在不 全为零的数k1,k2,.,km使 kja+kzaz+.+kmam =0 则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. 注意 1.若a1,a2,.,xn线性无关，则只有当 1=.=2n=0时，才有 21a1+2a2+.+nan-0成立. 2.对于任一向量组，不是线性无关就是 线性相关. 上页 区回

0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A          全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n               . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义３ 二、线性相关性的概念 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．

3.向量组只包含一个向量a时，若a=0则说a 线性相关，若a≠0，则说α线性无关. 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的， 5对于含有两个向量的向量组，它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面

, 0, . 3. , 0 线性相关 若 则说 线性无关 向量组只包含一个向量 时 若 则说       = 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. . 5. , 量共面 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 对于含有两个向量的向量组 它线性相关的

三、线性相关性的判定 定理向量组1，Q2,a(当m≥时)线性相关 的充分必要条件是01,2，.，Qm中至少有一个向 量可由其余m-1个向量线性表示. 证明 充分性 工王王王王王 设L1,2,4m中有一个向量（比如0m) 能由其余向量线性表示.即有 am=2a1+22a2+·+九m-1am-1

定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示．    m , , , 1 2  m  2    m , , , 1 2  m − 1 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示. a a a m , , , 1 2  m a 即有 a m = 11 + 2 2 ++  m−1 m−1 三、线性相关性的判定

故 a+,a2+.+九m-1am-1+(-1)hn=0 因，2，2n1,(1)这m个数不全为0， 故 1,02,.,0线性相关 必要性设a1,a2,am线性相关， 则有不全为0的数k1,k2,km,使 ka1+k2a2+.+ka=0

故 11 + 2 2 ++  m−1 m−1 + (− 1)a m = 0 因 1 ,2 ,  , m−1 ,(− 1) 这 m 个数不全为0， 故    m 线性相关. , , , 1 2  必要性 设 1 , 2 ,  , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 ,k2 ,  ,km , 使 0. k11 + k2 2 ++ k m  m =

因k,k2,kn中至少有一个不为0， 不妨设k+0则有 a会+* 即a能由其余向量线性表示 证毕 上页 区回

因 k1 , k2 ,  , k m 中至少有一个不为0， 不妨设 k1  0, 则有 . 1 3 1 3 2 1 2 1 m m k k k k k k           + + −       + −      = −  即  1 能由其余向量线性表示. 证毕

线性相关性在线性方程组中的应用 主主王王王王王王王王 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程)是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立). 结论向量组A线性相关就是齐次线性方程组 七C1+x202+.+xmam=0,即Ax=0 有非零解.其中A=(a1,a2,.am)

. 性独立） 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 线性相关性在线性方程组中的应用 . ( , , ). 0, A 0 1 2 1 1 2 2 m m m A x x x x A         = + + + = = 有非零解 其中 即 结论 向量组 线性相关就是齐次线性方程组

定理2向量组a1,a2,am线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,am)的秩小 于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m. 证明 （略) 下面举例说明定理的应用： 上页 这回

( ) . ; ( , , , ) , , , 1 2 1 2 R A m m A m m = = 于向量个数 向量组线性无关的充分必要条件是 条件是它所构成的矩 阵 的秩小 向量组 线性相关的充分必要        定理2  下面举例说明定理的应用. 证明 （略）

例1n维向量组 e1=(1,0,.,0),e2=(0,1,.,0),en=(0,0,10 称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性 解n维单位坐标向量组构成的矩阵 E=(e1,e2,en) 是n阶单位矩阵.由E=1≠0，知R(E)=n. 即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理2知此 向量组是线性无关的

n 维向量组 ( ) ( ) ( )T n T T e 1,0, ,0 ,e 0,1, ,0 , e 0,0, ,1 1 =  2 =  ， =  称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 . ( , , , ) 1 2 是 阶单位矩阵 维单位坐标向量组构成的矩阵 n E e e e n =  n 由E = 1  0，知R(E) = n. . ( ) 2 向量组是线性无关的 即R E 等于向量组中向量个数，故由定理 知此 例１

例2 已知 a1= ? 247 试讨论向量组a1,a2,a3及a1,a的线性相关性 解 分析 对矩阵（a,a2,a3),施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵（a1,a2,3) 及(a,a2)的秩，利用定理2即可得出结论. 上页 回

， ， ，           =           =           = 7 4 2 5 2 0 1 1 1 1  2  3 . 试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性 解 2 . , 1 2 1 2 3 1 2 3 及（ ， ）的秩，利用定理 即可得出结论 成行阶梯形矩阵 可同时看出矩阵（ ， ， ） 对矩阵（ ， ， ），施行初等行变换变         例２ 已知 分析