《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.3 矩阵的秩

柜阵的动等变换与孩性方程组 第二节 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 矩阵秩的求法 三、小结思考题 带助 四

一、矩阵秩的概念 任何矩阵Amxn,总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的.矩阵的秩 定义1在m×n矩阵A中任取k行k列(k≤m, k≤n),位于这些行列交叉处的个k2元素，不改 变它们在A中所处的位置次序而得的阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式

. , 数是唯一确定的 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行变换 . , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式， ），位于这些行列交叉处的个 元 素 不 改 定 义 在 矩 阵 中任取 行 列 （ A k A k k n k m n A k k k m    一、矩阵秩的概念 矩阵的秩

Aijz Ariz (2.13) 若(2.13)等于零，称其为k阶零子式： 若(2.13)不等于零，称其为k阶非零子式； 若(2.13)中，i1j,i2=j2,ikj 称其为k阶主子式

1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 . . (2.13) . . . . . (2.13) (2.13) (2.13) , ,., , k k k k k k i j i j i j i j i j i j i j i j i j k k a a a a a a a a a 若 等于零，称其为k阶零子式； 若 不等于零，称其为k阶非零子式； 若 中，i =j i =j i =j 称其为k阶主子式

m×n矩阵A的k阶子式共有Ck●C个. 定义2 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等 于O,那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩 等于零 上页

. ( ). 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 A R A D A r D r A r + 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm •C

注： (1)m×n矩阵A的秩R(A)是A中不等于零的 子式的最高阶数 (2)0≤R(A)≤min{m,n} (3)对于A,有R(A)=R(A) (4)n阶矩阵A,若A≠0，则R(A)=n,(满秩) 若A=O,则R(A)<n.(降秩) 上页 这回

. 1 ( ) 子式的最高阶数 注： （）mn 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 R(A ) R(A). T 有 = （2 0 ( ) min{ , }. ）   R A m n （3）对于 A T ， 4 A A 0 ( ) ;( ) A =0 ( ) . R A n R A n  =  （ ） n阶矩阵 ，若 ，则 满秩 若 ，则 （降秩）

1 2 3 例1 求矩阵A= 2 3 -5 的秩 47 1 解 又.·A的3阶子式只有一个A且A=0, ∴.R(A=2. 上页

例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩   A = − 解 在 A中， 又  A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A = 0 ，  R ( A ) = 2

3-2 1 例2求矩阵B= -2 004-3 的秩 0 0 00 0 0 解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， B的所有4阶子式全为零. 2-13 而03 -2≠0， R(B)=3. 0 0 4 上页 区回

例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩   − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3−  − 而  R(B) = 3

例3 f 求该矩阵的秩 解 02 =2≠0，计算A的3阶子式， 1 3 -21323-22 1 -2 2 0 2 -1=0023=D,-13=0g -1 3= 0 -2 0 1-2 05015 -2 1 5 =0. .R(A)=2

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3  =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = 0, = 0, = = = 0.  R(A) = 2

13 -22 另解对矩阵A 0 2 -1 3 做初等变换， -201 5 00 显然，非零行的行数为2， .R(A)=2. 此方法简单！ 上页 回

对矩阵 做初等变换，           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2           − −           − − −  显然，非零行的行数为2，  R(A) = 2. 此方法简单！

二、矩阵秩的求法 因为对于任何矩阵Axm,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定理1若A~B,则R(A)=R(B), 证先证明：若A经一次初等行变换变为B, 则R(A)≤R(B). 设R(A)=r,且A的某个r阶子式D,≠0

. , 等行变换把他变为行阶梯形 因为对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定 理1 若 A ~ B,则 R(A) = R(B). 证 二、矩阵秩的求法 ( ) ( ). R A R B A B 则  先证明：若 经一次初等行变换变为 ， ( ) =  0. Dr 设 R A r，且 A的某个r 阶子式