《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题四（解答）

《线性代数B》强化训练题一解答 一、单项选择题 1.D2.D3.A4.C5.B 二、填空题 1 ，2.13.相关；4.21=0,2=元=上5.k>1. 三、计算下列行列式 1110 1.D= 1101 1011 0111 1110 00-11 0-110-11 解日01 -101=-101=-3 0111 111012 a b c d 2.己知D c b d a d b c a 其中abcd≠0，试求A4+A24+A4+A4,其中A是元素ag的 a b d 代数余子式 解：因为b:A4+b:A24+bA4+bA4=0,又因为b≠0，所以A4+A24+A4+A4=0 (100 四、设矩阵A=0-20 矩阵B满足「BA=2BA-8E,其中A为A的伴随矩阵，E是3 001 阶单位矩阵，求B 解：由ABA=2BA-8E,得AMBA-2ABA-84,即ABA=2ABA-8A 由于A可逆，则AB=2AB-8E,所以(2A-AE)B=8E,则 B=8(2A-AE)

- 1 - 《线性代数 B》强化训练题一解答 一、单项选择题 1. D 2. D 3. A 4. C 5. B 二、填空题 1. 11 3  ; 2. 1 ; 3. 相关; 4. 1 2 3    = = = 0, 1; 5. k 1. 三、计算下列行列式 1. 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 D = 解： 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 3. 0 1 0 1 1 1 1 0 1 2 0 1 1 1 D − − − = = − = − = − − 2. 已知 , a b c d c b d a D d b c a a b d c = 其中 abcd  0, 试求 14 24 34 44 A A A A + + + , 其中 Aij 是元素 ij a 的 代数余子式. 解：因为 14 24 34 44 b A b A b A b A  +  +  +  = 0, 又因为 b  0, 所以 14 24 34 44 A A A A + + + = 0. 四、设矩阵 1 0 0 0 2 0 , 0 0 1 A     = −       矩阵 B 满足 * A BA BA E = − 2 8 , 其中 * A 为 A 的伴随矩阵, E 是 3 阶单位矩阵, 求 B. 解：由 * A BA BA E = − 2 8 , 得 * AA BA ABA A = − 2 8 , 即 A BA ABA A = − 2 8 , 由于 A 可逆, 则 A B AB E = − 2 8 , 所以 (2 ) 8 , A A E B E − = 则 1 B A A E 8(2 )− = −

001 002 (2-1-112 五、设矩阵A= 11-214 462-24 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极 36-979 大无关组的列向量用极大无关组线性表示出来 解：对A施行初等行变换化为行最简形矩阵 2-1-112)（10-104 A= 11-214 0001-3 ,知A的秩为3，故A的列向量组的极大无关 (36-979(00000 组含有3个向量，且由行最简形矩阵可得A的第一、第二、第四个列向量：，a,C,为列向量组的一个 极大无关组；此时A的第三、第五个列向量a,a,可表示为a,=-a,-a,a,=4a+302-3a4 (kx++=k-3 六、常数k取何值时，方程组x+kx,+x3=-2无解，有惟一解或有无穷多解？当方程组有无 +为+kx=-2 穷多解时求其通解， k11 解：A=1k1=(k+2k-1)2, 11k ()当k≠-2且k≠1时，≠0，由克莱姆法则知，方程组有惟一解 (②)当k=-2时，该方程组的增广矩阵为 (-211-5)11-2-2 B=1-21-201-14 (11-2-2(0001 2

- 2 - 1 1 1 0 0 4 2 0 0 2 0 0 4 0 0 2 0 0 1 8 0 4 0 0 2 0 8 0 2 0 8 0 0 0 4 0 . 2 0 0 2 0 0 2 0 0 4 0 0 2 1 0 0 4 − −                             = − + = − = − = −                                 五、设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 , 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 A   − −   −   =   − −     − 求矩阵 A 的列向量组的一个极大无关组, 并把不属于极 大无关组的列向量用极大无关组线性表示出来. 解：对 A 施行初等行变换化为行最简形矩阵: 2 1 1 1 2 1 0 1 0 4 1 1 2 1 4 0 1 1 0 3 ~ , 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 A     − − −     − −     =     − − −         − 知 A 的秩为 3 , 故 A 的列向量组的极大无关 组含有 3 个向量, 且由行最简形矩阵可得 A 的第一、第二、第四个列向量 1 2 4    , , 为列向量组的一个 极大无关组; 此时 A 的第三、第五个列向量 3 5  , 可表示为 3 1 2 5 1 2 4        = − − = + − , 4 3 3 . 六、常数 k 取何值时, 方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 2 k x x x k x k x x x x k x  + + = −   + + = −   + + = − 无解, 有惟一解或有无穷多解? 当方程组有无 穷多解时求其通解. 解： 2 1 1 1 1 ( 2)( 1) , 1 1 k A k k k k = = + − (1) 当 k −2 且 k 1 时, A  0 , 由克莱姆法则知, 方程组有惟一解; (2) 当 k =−2 时, 该方程组的增广矩阵为 2 1 1 5 1 1 2 2 1 2 1 2 ~ 0 1 1 4 , 1 1 2 2 0 0 0 1 B     − − − −     = − − −             − −

因为R(A)=2,R(B)=3,所以方程组无解： (3)当k=1时，该方程组的增广矩阵为 111-2)111-2 B=111-2~0000 111-20000 因为R(A)=R(B)=10),其中二次型矩降A的特征值之和 为1，特征值之积为-12. ()求a,b的值 (2)求一正交变换把二次型f(x,x2,x)化成标准型（需写出正交变换及标准型）. a o b 解：()二次型的矩阵为A=020 (60-2 设A的特征值为元，元2，入，则有

- 3 - 因为 R A R B ( ) 2, ( ) 3, = = 所以方程组无解; (3) 当 k =1 时, 该方程组的增广矩阵为 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ~ 0 0 0 0 , 1 1 1 2 0 0 0 0 B     − −     = −             − 因为 R A R B ( ) ( ) 1 3, = =  所以方程组有无穷多解; 其通解由上面的行最简形矩阵应得 1 2 2 1 1 0 1 0 , 0 0 1 k k       − − −       = + +                   x 其中 1 2 k k , 为任意常数. 七、设 1 4 5 3 , 3 0 a A b a   −   =       − − 且 A =1, 又设 1 A − 有特征值  且属于  的特征向量为  ( 1, 1, 1)T = − − , 试求 a 和 b 及  的值. 解：由于 1 A   , − = 故   = A , 即 1 ( 1 4) 1 ( 5 3) 1 (3 ) a b a    − = − + +  − = − − +   = − , 解得  = − = = − 1, 4, 3. a b 此时, 显然有 A =1. 八、设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 f x x x ax x x bx x b ( , , ) 2 2 2 ( 0), = + − +  其中二次型矩阵 A 的特征值之和 为 1, 特征值之积为 −12. (1) 求 a b, 的值; (2) 求一正交变换把二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 化成标准型(需写出正交变换及标准型). 解：(1) 二次型的矩阵为 0 0 2 0 , 0 2 a b A b     =       − 设 A 的特征值为 1 2 3    , , , 则有

元1+元2+元3=a+2+(-2)=1, a o b ,23=020=-4a-2b2=-12, b0-2 解得a=1,b=2: 2-10-2 (2E-4=02-20=(-22+3》得A的特征值元，==2，名=-3， -20元+2 10-210-2 对于特征值1=2=2， AE- 000 000 -204000 故相应的特征向量为5=(01,0)，52=(2,0,1)， 规范正化员得=@,0，=（0 (-40-2) 10 对于特征值3=-3，E-A=0-50010 -20-1000 故相应的特征向量为5=(1,0，-2) 单位化得，=（0 2 02 令P=(n,n2n)= 则P即为所求矩阵，所求变换为 0 1 5 -4

- 4 - 1 2 3    + + = + + − = a 2 ( 2) 1, 2 1 2 3 0 0 2 0 4 2 12, 0 2 a b a b b    = = − − = − − 解得 a b = = 1, 2; (2) 由 2 1 0 2 0 2 0 ( 2) ( 3), 2 0 2 E A       − − − = − = − + − + 得 A 的特征值 1 2 3    = = = − 2, 3, 对于特征值 1 2   = = 2, 1 0 2 1 0 2 0 0 0 ~ 0 0 0 , 2 0 4 0 0 0 E A     − −     − =             − 故相应的特征向量为 1 2   (0, 1, 0) , (2, 0, 1) , T T = = 规范正交化 1 2   , 得 1 2 2 1 (0, 1, 0) , ( , 0, ) , 5 5   T T = = 对于特征值 3  = −3, 1 1 0 4 0 2 2 0 5 0 ~ 0 1 0 , 2 0 1 0 0 0 E A   − −         − = −           − −     故相应的特征向量为 3  (1, 0, 2) , T = − 单位化得 3 1 2 ( , 0, ) , 5 5  T = − 令 1 2 3 2 1 0 5 5 ( , , ) 1 0 0 , 1 2 0 5 5 P          = =       −     则 P 即为所求矩阵, 所求变换为

=3 =你即-P.即方2+ 相应的二次型的标准形为f0y,片2，y)=2+2好-3 九、证明思 1.设向量组A:a,a,a线性无关，向量B,可由向量组A线性表示，而向量B,不能由向量组 A线性表示，证明m+1个向量a1,c2.,am,月，+月2必线性无关 证：设有m+l个数k,k2,.,kn,k,使得kC+ka2++knam+k(B,+B2)=0, 因为向量B,可由向量组A线性表示，所以存在m个数1,1，.，l,使得B,=a+a+.+1a 则有(k+k+1)a+(k+kl2)a2+.+(kn+kmln)am+kB2=0, 如k1≠0，则B2可由向量组A线性表示，矛盾1故k1=0,则有ka1+kC+.+knam=0, 又由于向量组A:,a2,.,a线性无关，所以k,=k,=.=k=0, 则m+1个向量a,a.,cm,B1+B2线性无关 (1-221 2.设矩阵A= -2 B是4阶非零矩阵，且满足AB=O,证明矩阵B的秩 1-34-1 R(B)=1. 1-221 证：因为A= 01-22 0001 所以R(A)=3, -3 4-1(0000 则四元齐次线性方程组杠=0的基础解系中含有4-3=1个解向量，而矩阵B的列向量均为A=0 的解向量，则B的列向量组的秩为1，即矩阵B的秩为1，即R(B)=1

- 5 - x y = P , 即 , T y x = P , 即 1 2 2 1 3 3 1 3 1 (2 ) 5 1 ( 2 ) 5 y x y x x y x x   =    = +    = −  相应的二次型的标准形为 2 2 2 1 2 3 1 2 3 f y y y y y y ( , , ) 2 2 3 . = + − 九、证明题 1．设向量组 1 2 A: , , ,    m 线性无关, 向量  1 可由向量组 A 线性表示, 而向量  2 不能由向量组 A 线性表示, 证明 m+1 个向量 1 2 1 2      , , , , m + 必线性无关. 证：设有 m+1 个数 1 2 1 , , , , , m m k k k k + 使得 1 1 2 2 1 1 2      ( ) , 0 m m m k k k k + + + + + = + 因为向量  1 可由向量组 A 线性表示, 所以存在 m 个数 1 2 , , , , m l l l 使得 1 1 1 2 2     , m m = + + + l l l 则有 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ,     0 m m m m m m m k k l k k l k k l k + + + + + + + = + + + + 如 1 0, m k +  则  2 可由向量组 A 线性表示, 矛盾! 故 1 0, m k + = 则有 1 1 2 2    0, m m k k k + + + = 又由于向量组 1 2 A: , , ,    m 线性无关, 所以 1 2 0, m k k k = = = = 则 m+1 个向量 1 2 1 2      , , , , m + 线性无关. 2．设矩阵 1 2 2 1 2 6 8 2 , 3 0 6 5 1 3 4 1 A   −   − −   =   −     − − B 是 4 阶非零矩阵, 且满足 AB O= , 证明矩阵 B 的秩 R B( ) 1 = . 证：因为 1 2 2 1 1 2 2 1 2 6 8 2 0 1 2 2 ~ , 3 0 6 5 0 0 0 1 1 3 4 1 0 0 0 0 A     − −     − − −     =     −         − − 所以 R A( ) 3, = 则四元齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中含有 4 3 1 − = 个解向量, 而矩阵 B 的列向量均为 Ax = 0 的解向量, 则 B 的列向量组的秩为 1, 即矩阵 B 的秩为 1, 即 R B( ) 1. =