《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题二（解答）

《线性代数A》强化训练题二解答 一、填空题 1.nn+1) 2 2.aaaa4:3.-2:4.B-E;5.0: 1) (个 6.x=c0+c21 7.-10;8.元l+2；9.2"；10.L,+m) 二、单项选择题 1.B: 3.A 4.D5.C 三、行列式计算 |2-512 -37-14 1D5-927 4-612 12-512 2-512 -37-14蝴-1206 -126 326 解：D= -92 71103 113 313 4-6122-100 2-10 0-10 36 33 =9-18=-9 xaa3a.a axaa.an 2.Dn1=aaxa3.an aaaa4.x 解：将第2列到第n+1列全部加到第1列，并从第1列中提出公因子得到 |1aa2a3.an 1xaa3.a D=x+2a1ax4.a . 1a4a.x 1-

- 1 - 《线性代数 A》强化训练题二解答 一、填空题 1. ( 1) 2 n n + ; 2. 1 2 3 4 a a a a ; 3. −2 ; 4. B E− ; 5. 0 ; 6. 1 2 1 1 0 1 1 1 x c c         = +             ; 7. −10 ; 8. 1  2 − + ; 9. 2 n ; 10. (1, ) + 二、单项选择题 1. B; 2. C; 3. A; 4. D; 5. C 三、行列式计算 1. 2 5 1 2 3 7 1 4 5 9 2 7 4 6 1 2 D − − − = − − 解： 2 1 3 1 1 2 4 1 2 2 2 5 1 2 2 5 1 2 1 2 6 3 2 6 3 7 1 4 1 2 0 6 1 1 3 3 1 3 5 9 2 7 1 1 0 3 2 1 0 0 1 0 4 6 1 2 2 1 0 0 r r r r c c r r D + − + − − − − − − − = === = === − − − − − 3 6 9 18 9. 3 3 = = − = − 2. 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 4 . n n n n x a a a a a x a a a D a a x a a a a a a x + = 解：将第 2 列到第 n+1 列全部加到第 1 列, 并从第 1 列中提出公因子得到 1 2 3 2 3 1 2 3 1 234 1 . 1 1 , 1 n n n n i n i a a a a x a a a D x a a x a a a a a x + =   = +     

再将以上行列式第1列乘-Q,加到第j+1列(=1,2，.，m),得到下三角行列式。由此求 出Dn=x+∑aix-a) 1000 1100 四、己知(A-E)=i110 且AXA=A厂X+E,求A和X 1111 10001000) :4-E,)11100010 11000100 (11110001 (10001000 0100-1100 → =(E,A-E) 00100-110 (000100-11 (2000 -1200 A=(A-E)+E= 0-120 00-12 又方程可表示为A厂X(A一E)=E,所以 (20001000(2000 -120011001200 X=A(A-E)= 0-12011101120 (00-12八1111(1112 x+x2+x3+x4=0 五、讨论当a,b分别取何值时，线性方程组 x+2x+2x= 5+仔-a压+3x,=2无解、有唯一解和 3x+2x2+x+4=-1 有无穷多解，并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解 -2-

- 2 - 再将以上行列式第 1 列乘 j −a 加到第 j +1 列 ( 1,2, , ) j n = , 得到下三角行列式, 由此求 出 1 1 1 ( ). n n n i i i i D x a x a + = =   = + −       四、已知 1 1 0 0 0 1 1 0 0 ( ) , 1 1 1 0 1 1 1 1 A E −       − =       且 1 1 A X A A X E, − − = + 求 A 和 X. 解： ( ) 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 ( ) , 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 A E E −       − =       1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 ( , ) 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 E A E     − → = −     −     − 2 0 0 0 1 2 0 0 ( ) , 0 1 2 0 0 0 1 2 A A E E     −   = − + =   −     − 又方程可表示为 1 A X A E E ( ) , − − = 所以 1 2 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 ( ) . 0 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 X A A E −             −       = − = =       −             − 五、讨论当 a b, 分别取何值时, 线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2 (3 ) 3 2 3 2 1 x x x x x x x b x a x x x x x ax  + + + =   + + =  + − + =    + + + = − 无解、有唯一解和 有无穷多解, 并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解

11110 11 1 1 0122b 012 2 解：B= 6 013-a32 0 1 3-a 3 2 321a-1 0-1-2a-3-1 (1111 01 0122b 001-a12-b 000a-1b-1 当a=1且b≠1时，3=R(4)≠R(B)=4,方程组无解： 当a≠1时，R(A)=R(B)=4,方程组有唯一解 当a=1且b=1时，R(4)-R(B)=3<4,方程组有无穷多解，此时 11110)(1110-1)(10-100 B=01221 0120-1 012，,00011 00011→00017 (00000(00000(00000 通解x=cL,-2,1,0)了+(0，-1,0,1)了，其中c是任意常数 100x 六、已知二次型fx,x2,x)=(:,2,x)013为 (0-11八x ()求与二次型对应的实对称矩阵 (2)用正交变换将二次型化为标准形 100 解：()f(,x2,)=+x号+x写+2x A=011 011 |元-10 0 (2)2E-=0元-1-1=22-1)1-2)=0， 0-1元-1 -3

- 3 - 解： 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 3 3 2 0 1 3 3 2 3 2 1 1 0 1 2 3 1 b b B a a a a             = →     − −         − − − − − 1 1 1 1 0 0 1 2 2 , 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 b a b a b     →     − −     − − 当 a =1 且 b 1 时, 3 ( ) ( ) 4, =  = R A R B 方程组无解; 当 a 1 时, R A R B ( ) ( ) 4, = = 方程组有唯一解; 当 a =1 且 b =1 时, R A R B ( ) ( ) 3 4, = =  方程组有无穷多解, 此时 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 1 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 , 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B       − −       − −       = → →                   通解 x (1, 2,1,0) (0, 1,0,1) , T T = − + − c 其中 c 是任意常数. 六、已知二次型 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 3 , 0 1 1 x f x x x x x x x x       =         −   (1) 求与二次型对应的实对称矩阵 A; (2) 用正交变换将二次型化为标准形. 解：(1) 222 1 2 3 1 2 3 2 3 f x x x x x x x x ( , , ) 2 , = + + + 1 0 0 0 1 1 ; 0 1 1 A     =       (2) 1 0 0 0 1 1 ( 1)( 2) 0, 0 1 1 E A        − − = − − = − − = − −

得到A的特征值入=0，入2=1,2=2. (100(100 0 由A-0E=011→011，得对应2的5= 1 011000 -1 (000)(010 1) 由A-E=001→001，得对应22的5=0 (010(000 -100)100 0 由A-2E=0-11→01-1，得对应入的5=1 (01-1000J 0√20 1 取正交阵P= 101 -101 在正交变换x=Py下，标准形∫=+2 七、设4,42,4，a4是列向量组，若4,42线性无关，44也线性无关，且内积 [4,4,]=0,0=1,2j=3,4),试证明a,42,4,4,一定线性无关。 证：考虑k4,+k42+k43+ka4=0, () 将4,42分别与上式作内积，结合正交性条件得到 [a,ka+k4]=0和[a,k4+ka]=0,故 ka,+k2a2P-[ka,+k2a2,ka1+ka2]=0,从而 ka1+k22=0, 由41,4线性无关的假设推得k=飞3=0， 这样，()变为k4+k,a4=0,再利用a,a,线性无关推得k=k=0, 即由()成立推得k=k=k=k=0,故4,4,4，a,线性无关 .4-

- 4 - 得到 A 的特征值 1 2 3    = = = 0, 1, 2. 由 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 , 0 1 1 0 0 0 A E         − = →             得对应 1 的 1 0 1 ; 1      =       − 由 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 , 0 1 0 0 0 0 A E         − = →             得对应 2 的 2 1 0 ; 0      =       由 1 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 1 1 , 0 1 1 0 0 0 A E     −     − = − → −             − 得对应 3 的 3 0 1 . 1      =       取正交阵 1 2 3 0 2 0 1 1 1 , , 1 0 1 , 2 2 2 1 0 1 P          = =         −   在正交变换 x y = P 下, 标准形 2 2 2 3 f y y = + 2 . 七 、 设 1 2 3 4 a a a a , , , 是列向量 组, 若 1 2 a a, 线性无关, 3 4 a a, 也线性无 关, 且内积 [ , ] 0, i j a a = ( 1, 2; 3,4), i j = = 试证明 1 2 3 4 a a a a , , , 一定线性无关. 证：考虑 1 1 2 2 3 3 4 4 k k k k a a a a + + + = 0, (*) 将 1 2 a a, 分别与上式作内积, 结合正交性条件得到 a a a 1 1 1 2 2 , 0 k k + = 和 a a a 2 1 1 2 2 , 0, k k + = 故   2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 k k k k k k a a a a a a + = + + = , 0, 从而 1 1 2 2 k k a a + = 0, 由 1 2 a a, 线性无关的假设推得 1 2 k k = = 0, 这样, (*)变为 3 3 4 4 k k a a + = 0, 再利用 3 4 a a, 线性无关推得 3 4 k k = = 0, 即由(*)成立推得 1 2 3 4 k k k k = = = = 0, 故 1 2 3 4 a a a a , , , 线性无关