《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题六（习题）

《线性代数B》强化训练题三 一、填空题 1.设A和B都是三阶方阵，若4=8，B=2,则-24B=」 2.若四阶行列式的第1行元素依次为-1,0,2，a,第4行元素的余子式依次为5,10,4，-1， 则a= 3.当a和b满足时，向量组a=(1,1,1),a2=(a,0,b)了，4=(1,2,3)线性无关 4.设A为四阶方阵，且R(A)=2,则R(A)= 5.设41,4，均是方程组A=b的解，若4+22也是Ax=b的解，则k=_ 6.当a=时，向量(-3,4，a,1)与向量(-1,3,4,5)正交 7.设A是三阶方阵，若L,-1是A的特征值，且A与对角阵diag(L,t,2)相似，则 8.已知A为n阶方阵，其每行元素的和均为a,则A有一个特征值和一个特 征向量 9.当1的取值范围是时，二次型∫=x+2xX2++x正定 二、单项选择愿 1.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则() A.当m>n时，必有4B≠0 B.当m>n时，必有AB=0 C.当m<n时，必有AB≠0 D.当m<n时，必有AB=0 2.设A和B都是n阶方阵，下列正确的是() A.(A+B)2=A2+2AB+B2 B.(A+B)=A厂+B C.若AB=0,则A=0或B=0D.(AB)yT=A'B 3.设A和B都是n阶非零方阵，且AB=O,则A的秩必() A.等于n B.小于nC.大于nD.不能确定 4.若n阶矩阵A与B相似，则() 1

- 1 - 《线性代数 B》强化训练题三 一、填空题 1. 设 A 和 B 都是三阶方阵, 若 A = 8, B = 2, 则 1 2 T A B− − = _. 2. 若四阶行列式的第 1 行元素依次为 −1,0,2, , a 第 4 行元素的余子式依次为 5,10, 4, 1, − 则 a =_. 3. 当 a 和 b 满足_时, 向量组 1 2 3 (1,1,1) , ( ,0, ) , (1,2,3) T T T    = = = a b 线性无关. 4. 设 A 为四阶方阵, 且 R A( ) 2, = 则 * R A( ) = _. 5. 设 1 2 u u, 均是方程组 Ax b = 的解, 若 ku u 1 2 + 2 也是 Ax b = 的解, 则 k = _. 6. 当 a =_时, 向量 ( 3, 4, ,1) − a 与向量 ( 1,3, 4,5) − 正交. 7. 设 A 是三阶方阵, 若 1, 1− 是 A 的特征值, 且 A 与对角阵 diag(1, , 2) t 相似, 则 t = _. 8. 已知 A 为 n 阶方阵, 其每行元素的和均为 a , 则 A 有一个特征值_和一个特 征向量_. 9. 当 t 的取值范围是_时, 二次型 2 2 2 1 1 2 2 3 f x x x tx x = + + + 2 正定. 二、单项选择题 1. 设 A 是 m n 矩阵, B 是 n m 矩阵, 则( ) A. 当 m n  时, 必有 AB  0 B. 当 m n  时, 必有 AB = 0 C. 当 m n  时, 必有 AB  0 D. 当 m n  时, 必有 AB = 0 2. 设 A 和 B 都是 n 阶方阵, 下列正确的是( ) A. 2 2 2 ( ) 2 A B A AB B + = + + B. 1 1 1 ( ) A B A B − − − + = + C. 若 AB = 0, 则 A = 0 或 B = 0 D. ( )T T T AB A B = 3. 设 A 和 B 都是 n 阶非零方阵, 且 AB O= , 则 A 的秩必( ) A. 等于 n B. 小于 n C．大于 n D. 不能确定 4. 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似, 则( )

A.A与B都相似于同一个对角阵 B.A与B有相同的特征多项式和特征向量 C.A与B有相同的特征值和特征向量 D.A与B有相同的特征多项式和特征值 5.对于n元齐次线性方程组A红=0，以下命题中，正确的是() A.若A的列向量组线性无关，则Ax=0有非零解 B.若A的行向量组线性无关，则x=0有非零解 C.若A的列向量组线性相关，则Ax=0有非零解 D.若A的行向量组线性相关，则A:=0有非零解 |x+1-11-1 1x-11-1 三、计算行列式D= 1-1x+1-1 1 -11x-1 2000 四、求解矩阵方程3AX4=16X4+E.其中A= 1200 1120 1112 五、求向量组41=L,2,5),a2=(0,2,-1),a=(-1,4,2)',a4=(0,3,-2)了的秩和它的 个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表示 x+x2+x3+x4=0 六、讨论当a,b分别取何值时，线性方程组 x2+2x+2x=b 五+(3-a压+3x=2无解、有唯一解和有 3x+2x3+x3+4=-1 无穷多解，并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解， 七、用正交变换化二次型∫=x子+2x号+x号-2xx,为标准形，并写出所用的正交变换 八、证明题 设入，乃是A的两个不同特征值，七，七，是A的对应于的两个线性无关的特征向量， 而x,x4是A的对应于的两个线性无关的特征向量.试证明,2,X,x,线性无关 .2

- 2 - A. A 与 B 都相似于同一个对角阵 B. A 与 B 有相同的特征多项式和特征向量 C. A 与 B 有相同的特征值和特征向量 D. A 与 B 有相同的特征多项式和特征值 5. 对于 n 元齐次线性方程组 Ax = 0, 以下命题中, 正确的是( ) A. 若 A 的列向量组线性无关, 则 Ax = 0 有非零解 B. 若 A 的行向量组线性无关, 则 Ax = 0 有非零解 C. 若 A 的列向量组线性相关, 则 Ax = 0 有非零解 D. 若 A 的行向量组线性相关, 则 Ax = 0 有非零解 三、计算行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x D x x + − − − − = − + − − − 四、求解矩阵方程 * 3 16 , A XA XA E = + 其中 2 0 0 0 1 2 0 0 . 1 1 2 0 1 1 1 2 A       =       五、求向量组 1 2 3 4 (1,2,5) , (0,2, 1) , ( 1,4,2) , (0,3, 2) T T T T a a a a = = − = − = − 的秩和它的 一个极大无关组, 并将其它向量用此极大无关组线性表示. 六、讨论当 a b, 分别取何值时, 线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2 (3 ) 3 2 3 2 1 x x x x x x x b x a x x x x x ax  + + + =   + + =  + − + =    + + + = − 无解、有唯一解和有 无穷多解, 并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解. 七、用正交变换化二次型 2 2 2 1 2 3 1 3 f x x x x x = + + − 2 2 为标准形, 并写出所用的正交变换. 八、证明题 设 1 2  , 是 A 的两个不同特征值, 1 2 x x, 是 A 的对应于 1 的两个线性无关的特征向量, 而 3 4 x x, 是 A 的对应于 2 的两个线性无关的特征向量. 试证明 1 2 3 4 x x x x , , , 线性无关