《线性代数》课程教学资源（学习指导）行列式

线性代数学习指导 行列式 一、内容提要 1.排列的逆序数：排列户P2P的逆序数 1=4+4++,=2 其中1，为元素P,的逆序数。逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。 2.对换：一次对换改变排列的奇偶性。 3.n阶行列式的定义 (1)二阶行列式 ldn dudnd-dhada az az (2)三阶行列式 a21a2a23=a11a2a3+a3421a2+a12a23431-a12421a3-4ia23432-a1342a31 a an as (3)n阶行列式 a1a2.an . an1an2.anm 其中1为排列PP2.P的逆序数 4.行列式的性质 性质1：行列式与其转置行列式相等。 性质2：交换行列式的任意两行（或列），行列式改变符号。特别地，如果行列式有两 行（或列）对应元素相等或成比例，则行列式为零。 性质3：如果行列式的某一行（或列）有公因子，则该公因子可提到行列式记号外面来。 性质4：如果行列式的某一行（或列）为两组数之和，则该行列式可以分解为两个行列 式之和。注意改变的仅仅是该行（或列），其他行（或列）不变。 性质5：把行列式的某一行（或列）乘以一个常数加到另一行（或列）上去，行列式的 值不变。 5.行列式按行（或列）展开定理 det(ay)=+++=1.2.,n deta)=ayA,+a2,A,+.+awAn,j=l,2,.,n

线性代数学习指导 行列式 一．内容提要 1．排列的逆序数：排列 p1 p2 pn 的逆序数 = = + + + = n i n i t t t t t 1 1 2  其中 i t 为元素 i p 的逆序数。逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。 2．对换：一次对换改变排列的奇偶性。 3． n 阶行列式的定义 （1）二阶行列式 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − （2）三阶行列式 1 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − （3） n 阶行列式 = =  − =  − p p p n t p p p p p n p t n n n n n n i j n n n a a a a a a a a a a a a a a a a           1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 det( ) ( 1) ( 1) 其中 t 为排列 p1 p2 pn 的逆序数。 4．行列式的性质 性质 1：行列式与其转置行列式相等。 性质 2：交换行列式的任意两行（或列），行列式改变符号。特别地，如果行列式有两 行（或列）对应元素相等或成比例，则行列式为零。 性质 3：如果行列式的某一行（或列）有公因子，则该公因子可提到行列式记号外面来。 性质 4：如果行列式的某一行（或列）为两组数之和，则该行列式可以分解为两个行列 式之和。注意改变的仅仅是该行（或列），其他行（或列）不变。 性质 5：把行列式的某一行（或列）乘以一个常数加到另一行（或列）上去，行列式的 值不变。 5．行列式按行（或列）展开定理 det(aij) = ai1A1 j + ai2 A2 j ++ ai nAnj ,i = 1,2,  ,n ； 或 det(aij) = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ anj Anj , j = 1,2,  ,n

线性代数学习指导 amAn+a2A2+.amAm=0,i≠j auAy+az Az++a Au =0.ij 其中A,=(-l)M,为元素a,的代数余子式，M为元素an的余子式。 6.特殊行列式的值 (1)对角行列式 =元.元m =(-1)2.n (2)三角行列式 a1a2.an a. =a1a2.am a2 =01122a ，。 a a d2n-1 d2n 2m- a1na2l.an a1.a1w 0 a. (3) b.bn b.bn (4)范德蒙行列式 1 1 1.1 X1 X2 X.x .x =(x2-xx3-(n-xx3-x2）(x。-x2(x。-x) =Πx-x,) 二，典型例题精解 例1一1求排列13(2n-1)2n(2n-2).42的逆序数

线性代数学习指导 a A a A a A i j a A a A a A i j i j i j ni nj i j i j in jn + + + =  + + + =  0, 0, 1 1 2 2 1 1 2 2   其中 ij i j Aij M + = (−1) 为元素 ij a 的代数余子式， M ij 为元素 ij a 的余子式。 6．特殊行列式的值 （1）对角行列式 n n n n n n                 1 2 2 ( 1) 2 1 1 2 2 1 , ( 1) − = = − （2）三角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a      11 22 22 2 11 12 1 = ， nn n n nn a a a a a a a a a      11 22 1 2 21 22 11 = 1 2, 1 1 2 ( 1) 1 2 1 2, 1 1 1 1, 1 1 1 , 1 2, 1 2 1 ( 1) n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a          − − − − − − = = − （3） n n n n m mm m n n n n m mm m b b b b a a a a b b b b a a a a                     1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 * 0 =  （4）范德蒙行列式 1 1 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 1 − − − n− n n n n n n x x x x x x x x x x x x              − = − = − − − − − − j i n i j n n n n x x x x x x x x x x x x x x 1 2 1 3 1 1 3 2 2 1 ( ) ( )( )( )( )( )( ) 二．典型例题精解 例 1—1 求排列 13(2n −1)2n(2n − 2)42 的逆序数

线性代数学习指导 【思路分析】元素比较多，找出元素逆序数的规律。 解元素13，.，2n-L2n的逆序数为0： 元素2n-2的逆序数为2： 元素2n-4的逆序数为4： 元素2=2n-(2n-2)的逆序数为2n-2。 所求排列的逆序数 1=0+2+4+.+(2n-2)=n(n-1)。 x113 k134 解方法一：【思路分析】按行列式的定义计算 由行列式的定义，行列式的每一项是不同行与不同列的乘积，得 fx)=(-1)23xx-x.4x+.=4x+ 所以x4的系数为4. 方法二：【用路分析】按行列式展开定理计算 将行列式按第一行展开，得 x2 1 x2 1x x 1 xx 2 fx)=x2x3-1x3+123-12x 134xx34xx14k13到 x21 =2x3+ .=x(4x3+）+.=4x+ 134x 所以x的系数为4。 【注意】解答此类问题一般不要把行列式完全计算出来 例1一3计算四阶行列式 1 -1 1 x-1 D= 1 -1x+1 -1 1x-1 1 -1 x+1-1 1 -1 解方法一：【思路分析】将行列式化成三角行列式

线性代数学习指导 【思路分析】元素比较多，找出元素逆序数的规律。 解 元素 1,3,  ,2n −1,2n 的逆序数为 0； 元素 2n − 2 的逆序数为 2 ； 元素 2n − 4 的逆序数为 4 ； . 元素 2 = 2n − (2n − 2) 的逆序数为 2n − 2。 所求排列的逆序数 t = 0 + 2 + 4 ++ (2n − 2) = n(n −1)。 例 1—2 求多项式 x x x x x x f x 1 3 4 1 2 3 2 1 1 1 3 ( ) = 中 4 x 的系数。 解 方法一：【思路分析】按行列式的定义计算 由行列式的定义，行列式的每一项是不同行与不同列的乘积，得 f (x) = (−1)  (1234) x  x  x  4x += 4x 4 + 所以 4 x 的系数为 4。 方法二：【思路分析】按行列式展开定理计算 将行列式按第一行展开，得 1 3 1 2 2 1 4 1 2 3 1 3 4 1 3 2 1 1 3 4 2 3 2 1 ( ) x x x x x x x x x x x x x x x f x = x − + − = + = (4 3 +) + = 4 4 + 1 3 4 2 3 2 1 x x x x x x x 所以 4 x 的系数为 4。 【注意】解答此类问题一般不要把行列式完全计算出来。 例 1—3 计算四阶行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − − − − − + − − − = x x x x D 解 方法一：【思路分析】将行列式化成三角行列式

线性代数学习指导 1-11x- 3001-1 0x0-x 010-1 x010 x00-x 100-1 01-1x 1-11x-1 1-11x- -x010-2-x010-l 001 001 -1 01-1-x 00-11-x 1-11x- -x010- 001-1x 000-x 【注意】对于低阶行列式，都可直接化成三角行列式，但这样计算一般都比较麻烦， 只有对某些特殊的行列式直接化成三角行列式才有效。 方法二：【思路分析】行列式的每列元素之和等于 1-11x- D- x+1-1a -1x+1-1 xx-11 -1 x-11 -1 k-11 -1 1 -1 1 -1 10x0 4 1x00=-) x.x.x.I=x4 1000 方法三：【思路分析】利用行列式按行（或列）展开定理降阶进行计算 1x- 1-】1x- -1 x+1-1* -1x+1-1 D= xx-11 -1 =1x-11-1 -1 -1 1 -11 1 0x- 0-e展开0- 0x0-x 00-3 000-x 【注意】降阶法是计算行列式的有效方法之一。 例1一4计算n阶行列式

线性代数学习指导 x x x x x x x x x x x x D r x r r r x r x r r r r r r 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 3 3 4 4 1 3 2 4 1 3 1 2 1 − − − − − = − − − − − = − − − − − =  −   − − − x x x x x x r r r r − − − − − − = − − − − − − − = −  − 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 3 3 2 3 4 2 3 4 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 4 3 x x x x r r = − − − − − = − + 【注意】对于低阶行列式，都可直接化成三角行列式，但这样计算一般都比较麻烦， 只有对某些特殊的行列式直接化成三角行列式才有效。 方法二：【思路分析】行列式的每列元素之和等于 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 3 1 2 − − − − − + − − − = − − − − − + − − − = +  + + x x x x x x x x x x x D c c c x c c c c 2 4 4(4 1) ( 1) 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 1 3 1 2 1 x x x x x x x x x c c c c c c = = −    = − + − + 方法三：【思路分析】利用行列式按行（或列）展开定理降阶进行计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 3 1 2 − − − − − + − − − = − − − − − + − − − = +  + + x x x x x x x x x x x D c c c x c c c c x x x x x c x x x x x x x x r r r r r r − − − − − − − − = − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 4 1 3 1 2 1 按 展开 2 4 1 0 x x x x c x = − − 按 展开 − 【注意】降阶法是计算行列式的有效方法之一。 例 1—4 计算 n 阶行列式

线性代数学习指导 a bb. ab.b D.= b b a. b bbb.a 【思路分析】将行列式化成三角行列式 方法一：行列式的每行元素之和为a+(n-)b,则 la+(n-1)bbb.b a+(n-10bab.b D. =a+(n-l0bba.b ” . a+(n-l1bbb.a a+(n-10bbb. b 0 a-b0. 0 0 0 a-b. 0=[a+(n-1)b](a-b)- 0 0 0.a-bl 方法二：将行列式化成箭式行列式 a b b b-a a-b 0.0 D. b-a 0a-b. 0 b-a 0 0 .a-b a+(n-1)bb b . 0 a-b 0 . 0 0 0 a-b =[a+(n-1)b(a-b) 0 0 0 .a-b 【注意】形如 la1b3b.bn 0.0 D。=c30a.0 cn00.an 称为箭式行列式，它总可以通过变换℃ 。(=23川化成上三角行列式

线性代数学习指导 b b b a b b a b b a b b a b b b Dn          = 【思路分析】将行列式化成三角行列式 方法一：行列式的每行元素之和为 a + (n −1)b ，则 a n b b b a a n b b a b a n b a b b a n b b b b D j n c c n j           ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2,3, , 1 + − + − + − + − = = + 1 2,3, , [ ( 1) ]( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 1 − = − = + − − − − − + − = n i n r r a n b a b a b a b a b a n b b b b i           方法二：将行列式化成箭式行列式 b a a b b a a b b a a b a b b b D i n r r n i − − − − − − = = −           0 0 0 0 0 0 2,3, , 1 1 2,3, , [ ( 1) ]( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 1 − = + = + − − − − − + − = n j n c c a n b a b a b a b a b a n b b b b j           【注意】形如 n n n n c a c a c a a b b b D          0 0 0 0 0 0 3 3 2 2 1 2 3 = 称为箭式行列式，它总可以通过变换 ( 2,3, , ) 1 c j n a c c j j j − =  化成上三角行列式

线性代数学习指导 .- az a3 D,= =a,-29a,4.a, 例1一5计算n阶行列式 1+a 1 .11 1+a2 1. 1 D。=1 1 1+a3. aa0。≠0。 4。 1 1 1 .1+an 解方法一：【思路分析】将行列式化成三角行列式 将行列式的第i行提取因子a,=1,2,),得 1 1 . 1+ Dn=aa2.an 1+1 a3 i 1 . 1* d. 把行列式的第i(i=2,3,n)行加到第一行，并从第一行提取公因子，得 1 1+ 0 . 台a a 41-4. 1 i 令 .1+ a, 把行列式的第j(=2,3.,n)减去第一列，得

线性代数学习指导 n n i i i i n n n n n n a a a a b c a a a a b b b a b c a b c a b c a D     2 3 2 1 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 1 (  ) = = − − − − − = 例 1—5 计算 n 阶行列式 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 2 1  + + + + = n n n a a a a a a a D           ， 。 解 方法一：【思路分析】将行列式化成三角行列式 将行列式的第 i 行提取因子 a (i 1,2, ,n) i =  ，得 n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 + + + + =           把行列式的第 i （ i = 2,3, n ）行加到第一行，并从第一行提取公因子，得 n n n n n i i n n a a a a a a a a a a a a a D a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 + + + = +=           把行列式的第 j（j = 2,3,  ,n） 减去第一列，得

线性代数学习指导 00.0 。10.0 包a2052,104,0+22 Ha,as . 00.1 a. 方法二：【思路分析】将行列式化成箭式行列式 把行列式的第i(i=2,3.n)行减去第一行，得 1+a411.1 -a1420.0 D,= -a10a.0 -a1 00.an 将第0=2.3，m)列乘以U=23,)加到第一列，得 a 1+a++++4 11.1 a20.0 D。= a.0 a 方法三：【思路分析】用加边法将行列式化成箭式行列式 111.1 1111 01+a1.1 -1a0.0 D.=011+4.1 -10a.0 011.1+a -H100 a 1 11.1 a. G+ 0 j=2,3,n+ 0 0 ” 0 00.a

线性代数学习指导   = = = + = + n i i n n n i i n n a a a a a a a a D a a a 1 1 2 3 2 1 1 2 ) 1 (1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ) 1 (1            。 方法二：【思路分析】将行列式化成箭式行列式 把行列式的第 i （ i = 2,3, n ）行减去第一行，得 n n a a a a a a a D          0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 − − − + = 将第 j( j = 2,3,  ,n) 列乘以 ( 2,3, , ) 1 j n a a j =  加到第一列，得 = = + + + + + = + + + + + + = n i n i n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 1 3 2 1 3 1 2 1 1 ) 1 (1 ) (1 0 0 0 1 1 1 1          方法三：【思路分析】用加边法将行列式化成箭式行列式 1 1 1 2,3, , 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 i r r i n n n n a a D a a a a − = + + − = + − + − = 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2,3, , 1 0 0 0 n j n a a a c a a a j n a + + + + + = +

线性代数学习指导 1 方法四：【思路分析】用分项法建立递推公式，再解之。 1+a1.111+a 11 0 1 1+a2. 1 1 1+a2. 1 D=. .+. .1+an-1 1 .1+anl 0 1 .111 a 0 0 1/ 1+a11.1 +a. 0 0 dn-1 00.01 1 1.1+an =a,a.al+a,D-l=a,a2.a+a(a,a2.an-2+a-Dn-2) D.=44,a.+)ta,aD aa 递推，得 E=aaaG+。++。taa a a 例1一6计算三对角行列式 la+b ab 0 . 0 0 1a+bab.0 0 0,0 1 a+b. 0 0 ,a≠b 0 0 0.a+b ab 0 0 0.1a+b 【思路分析】行列式的元素排列很有规律，可用递推法求解。 解把行列式按第一行展开，得 D=(a+b)D-abD

线性代数学习指导 1 2 1 2 1 1 1 (1 ) n n a a a a a a = + + + + 方法四：【思路分析】用分项法建立递推公式，再解之。 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − − − = + + = + = + + + + + = + + + + + + + + = n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a D a a a a D a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a D                                        即 1 2 1 1 2 ) 1 1 ( − − − = + + n n n n n n n a a D a a D a a a 递推，得 1) 1 1 1 ( ) (1 ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 = + + + + = + + + + + = = + + + + = + + + − − − − − − − − − − a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D a a a D a a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n           例 1—6 计算三对角行列式 a b a b ab a b a b ab a b ab Dn + + + + + = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0            ， a  b 。 【思路分析】行列式的元素排列很有规律，可用递推法求解。 解 把行列式按第一行展开，得 1 2 ( ) Dn = a + b Dn− − abDn−

线性代数学习指导 整理得 D-aD=b(D-aD2)=b2(D-2-aD-3) =.=bm-2(D2-aD) D-aD-=b" 行列式关于a,b对称，则 D -bD=a 由上两式解得 D=g-6 a-b 例1一7计算四阶行列式 a 6 d a 52 d D,= a b d b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c 【思路分析】利用范德蒙行列式求解。 a b d b2 b d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a b cd 1111 1111 =(a+b+c+d(-l1)2 a2 b2 c2 d2 =(a+b+c+dXb-aXc-a)(d-aXc-bXd-bXd-c) 例1一8解方程

线性代数学习指导 整理得 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 2 1 1 2 b D aD D aD b D aD b D aD n n n n n n n = = − − = − = − − − − − − −  即 n Dn − aDn−1 = b 行列式关于 a，b 对称，则 n Dn − bDn−1 = a 由上两式解得 a b a b D n n n − − = +1 +1 例 1—7 计算四阶行列式 b c d a c d a b d a b c a b c d a b c d a b c d D + + + + + + + + = 2 2 2 2 3 3 3 3 4 【思路分析】利用范德蒙行列式求解。 ( )( )( )( )( )( )( ) 1 1 1 1 ( )( 1) 1 1 1 1 ( )( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 3 a b c d b a c a d a c b d b d c a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d r a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d D r r = + + + − − − − − − = + + + −  + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 例 1—8 解方程

线性代数学习指导 1 1 .1 11 123.n 9.n2 f(x)= 14 0 23.nlx- 12 x" 解方法一：【思路分析】∫(x)为范德蒙行列式，可先计算(x)。 fx)=(2-13-)(n-1x-13-2).(n-2Xx-2).(x-m)） =-1Wx-2.x-mi 所以方程的解为x=,1=1,2,n。 方法二：【思路分析】利用行列式的性质。 由行列式的性质知，当x=1,1=1,2,n时，行列式的值为零：由行列式的定义f(x) 是x的n次多项式，在实数范围最多有n个根。所以方程的解为x=i,1-l,2,.,n 【注意】求解含有行列式的方程，一般是利用上面两种方法，即 (1)利用行列式的性质直接解方程： (2)求出行列式，面解方程。 例1一9已知1703,3159,975,10959都能被13整除，行列式 11703 D=3159 0975 1095g 不计算行列式D,证明D能被13整除。 【思路分析】利用行列式的性质证明D含有因子13。 解把行列式的第一列乘以1000、第二列乘以100、第三列乘以10都加到第四列，得 1701703 3153159 D= 097975 109510959 D的第四列有公因子13，所以D能被13整除。 例1一10设a、b、c为方程x3+px+q=0的三个根，证明 a b c D=b c a=0 c a b

线性代数学习指导 0 1 2 3 1 2 3 1 4 9 1 2 3 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 2 2 = = − − − − n n n n n n n n n x n x n x n x f x            解 方法一：【思路分析】 f (x) 为范德蒙行列式，可先计算 f (x) 。  − = = − − − = − − − − − − − − 1 1 ( 1)( 2) ( ) ! ( ) (2 1)(3 1) ( 1)( 1)(3 2) ( 2)( 2) ( ) n i x x x n i f x n x n x x n     所以方程的解为 x = i，i = 1,2,  ,n 。 方法二：【思路分析】利用行列式的性质。 由行列式的性质知，当 x = i，i = 1,2,  ,n 时，行列式的值为零；由行列式的定义 f (x) 是 x 的 n 次多项式，在实数范围最多有 n 个根。所以方程的解为 x = i，i = 1,2,  ,n 。 【注意】求解含有行列式的方程，一般是利用上面两种方法，即 （1）利用行列式的性质直接解方程； （2）求出行列式，再解方程。 例 1—9 已知 1703，3159，975，10959 都能被 13 整除，行列式 10 9 5 9 0 9 7 5 3 1 5 9 1 7 0 3 D = 不计算行列式 D ，证明 D 能被 13 整除。 【思路分析】利用行列式的性质证明 D 含有因子 13。 解 把行列式的第一列乘以 1000、第二列乘以 100、第三列乘以 10 都加到第四列，得 10 9 5 10959 0 9 7 975 3 1 5 3159 1 7 0 1703 D = D 的第四列有公因子 13 ，所以 D 能被 13 整除。 例 1—10 设 a、b、c 为方程 0 3 x + px + q = 的三个根，证明 = = 0 c a b b c a a b c D