《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题四（习题）

《线性代数B》强化训练题一 一、单项选择题 1.设4阶方阵A=(2a,3y,4y2,y),B=(B,2y,3y2,4y),其中a,B,7nY2,Y 均为4维列向量，已知A=2,B=-3,则A+B吲=() A.1 &空 c1盟 2.设A是4阶方阵，且A的秩R(A)=2,A为A的伴随矩阵，则R(A)=(） A.3 B.2 C】 D0 3.A是m×n矩阵(m<),当()时，非齐次线性方程组Ax=b存在无穷多个解 A.R(A)=R(A:b) B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关D.增广矩阵B=(A:b)是满秩矩阵 (101) 4.设数0是矩阵A=020的特征值，则a=() 10a A.-1 B.0 C.1 D.2 5.A,B都是n阶方阵，且A与B相似，则() A.A,B必有n个线性无关的特征向量 B.R(A)=R(B) C.A,B有相同的特征值和特征向量 D.A,B都可与对角阵相似 二、填空题 12-1 1.设A=3x-2 是可逆矩阵，则x一 5-41 1

- 1 - 《线性代数 B》强化训练题一 一、单项选择题 1. 设 4 阶方阵 1 2 3 1 2 3 A B = = (2 , 3 , 4 , ), ( , 2 , 3 , 4 ),         其中 1 2 3      , , , , 均为 4 维列向量, 已知 A B = = − 2, 3, 则 A B+ = ( ) 175 175 . 1 . . 1 . 24 24 A B C D − − 2. 设 A 是 4 阶方阵, 且 A 的秩 R A( ) 2, = * A 为 A 的伴随矩阵, 则 * R A( ) = ( ) A B C D . 3 . 2 . 1 . 0 3. A 是 m n  矩阵 ( ) m n  , 当( )时, 非齐次线性方程组 Ax b = 存在无穷多个解. A R A R A . ( ) ( ) = b B A . 的行向量组线性相关 C A . 的列向量组线性无关 D. 增广矩阵 B A = ( ) b 是满秩矩阵 4. 设数 0 是矩阵 1 0 1 0 2 0 1 0 A a     =       的特征值, 则 a = ( ) A B C D . 1 . 0 . 1 . 2 − 5. A B, 都是 n 阶方阵, 且 A 与 B 相似, 则( ) A A B . , 必有 n 个线性无关的特征向量 B R A R B . ( ) ( ) = C A B . , 有相同的特征值和特征向量 D A B . , 都可与对角阵相似 二、填空题 1. 设 1 2 1 3 2 5 4 1 A x   −   = −       − 是可逆矩阵, 则 x _;

2设A,B均为n阶方阵，且4=3B到=行则行列式(4B)=一其中 (AB)'为AB的伴随矩阵 3.已知c1,a2,a线性相关，且c不能由a1,a2线性表示，则a,a2线性 (100) 4.设矩阵A=010)则A的全部特征值为： 100 5.设f(x,x,x)=x+kx号+k2x+2xx,是正定二次型，则k的取值范围是 三、计算下列行列式 11110 1101 1.D=i011 0111 a b c d ,其中abcd≠0，试求A4+A24+A4+A4,其中Ay是 a b d c 元素a,的代数余子式. (100Y 四、设矩阵A=0-20 矩阵B满足ABA=2BA-8E,其中A为A的伴随矩 001 阵.E是3阶单位矩阵.求B. (2-1-112 11-21 4 五、设矩阵A 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并 4 -62-24 、3 6 -979 -2

- 2 - 2. 设 A , B 均为 n 阶方阵, 且 1 3, , 3 A B = = 则行列式 * ( ) AB = _; 其中 * ( ) AB 为 AB 的伴随矩阵. 3. 已知 1 2 3    , , 线性相关, 且  3 不能由 1 2  , 线性表示, 则 1 2  , 线性_; 4. 设矩阵 1 0 0 0 1 0 , 1 0 0 A     =       则 A 的全部特征值为_; 5. 设 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 f x x x x k x k x x x ( , , ) 2 = + + + 是正定二次型 , 则 k 的取值范围是 _. 三、计算下列行列式 1. 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 D = 2. 已知 , a b c d c b d a D d b c a a b d c = 其中 abcd  0, 试求 14 24 34 44 A A A A + + + , 其中 Aij 是 元素 ij a 的代数余子式. 四、设矩阵 1 0 0 0 2 0 , 0 0 1 A     = −       矩阵 B 满足 * A BA BA E = − 2 8 , 其中 * A 为 A 的伴随矩 阵, E 是 3 阶单位矩阵, 求 B. 五、设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 , 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 A   − −   −   =   − −     − 求矩阵 A 的列向量组的一个极大无关组, 并

把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示出来， k++=k-3 大、常数k取何值时，方程组{x+kx,+x=-2无解，有惟一解或有无穷多解？当方 +2+kx=-2 程组有无穷多解时求其通解 a-14 七、设A=5b3 且A=1,又设A有特征值入且属于入的特征向量为 -30-a 5=(-1,-1,1),试求a和b及2的值 八、设二次型f(x,x2,x)=ax2+2x-2x+2bxx(b>0),其中二次型矩阵A的 特征值之和为1，特征值之积为-12. (1)求a,b的值 (2)求一正交变换把二次型(x,x2,x)化成标准型（需写出正交变换及标准型） 九、证明题 1.设向量组A:a,a2,.,am线性无关，向量B,可由向量组A线性表示，而向量B2不 能由向量组A线性表示，证明m+1个向量,a2,am,B1+B2必线性无关 （1-221 -26-82 2.设矩阵A= B是4阶非零矩阵，且满足AB=O,证明矩阵B 30-6 5 1 -34 的秩R(B)=1. 3

- 3 - 把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示出来. 六、常数 k 取何值时, 方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 2 k x x x k x k x x x x k x  + + = −   + + = −   + + = − 无解, 有惟一解或有无穷多解? 当方 程组有无穷多解时求其通解. 七、设 1 4 5 3 , 3 0 a A b a   −   =       − − 且 A =1, 又设 1 A − 有特征值  且属于  的特征向量为  ( 1, 1, 1)T = − − , 试求 a 和 b 及  的值. 八、 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 f x x x ax x x bx x b ( , , ) 2 2 2 ( 0), = + − +  其中二次型矩阵 A 的 特征值之和为 1, 特征值之积为 −12. (1) 求 a b, 的值; (2) 求一正交变换把二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 化成标准型(需写出正交变换及标准型). 九、证明题 1. 设向量组 1 2 A: , , ,    m 线性无关, 向量  1 可由向量组 A 线性表示, 而向量  2 不 能由向量组 A 线性表示, 证明 m+1 个向量 1 2 1 2      , , , , m + 必线性无关. 2．设矩阵 1 2 2 1 2 6 8 2 , 3 0 6 5 1 3 4 1 A   −   − −   =   −     − − B 是 4 阶非零矩阵, 且满足 AB O= , 证明矩阵 B 的秩 R B( ) 1 =