《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第1章 行列式 1.7 克拉默法则

行列式 第七节 克拉默法则 克拉默法则 重要定理 三、小结思考题 带助

非齐次与齐次线性方程组的概念 11x1+a12x2+.+41nxn=b1 设线性方程组 21X1+22x2++a2mXn=b2 anx+an2x2++amxn=bn 若常数项勋，b2,.,b不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组 页

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念

一、克拉默法则 如果线性方程组 11x1+012x2+.+a1nxn=b1 211+22x2+.+a2mXn=b2 (1) anx1+an2x2++anxn=bn L12 的系数行列式不等于零，即D= L21 022 上页 回

一、克拉默法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 =  0

那么线性方程组)有解，并且解是唯一的，解 可以表为 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 41a-1b1a1+1.an D,= 页

. D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1)

证明 用D中第列元素的代数余子式A,A2,A 依次乘方程组(1)的n个方程，得 (aux+aux2++aux)Ay=bAu (ax+aax2++a)Az=b:Azj (anx+ax:++ax)Ay=b.Ag 在把n个方程依次相加，得 区回

证明 ( ) ( ) ( )       + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j  Anj 在把 n 个方程依次相加，得

容小+宫小*-2 =24, 由代数余子式的性质可知，上式中x的系数等于D, 而其余x(i≠的系数均为0；又等式右端为D, 于是 Dx,=DU=1,2,n) (2) 当D≠0时，方程组(2)有唯一的一个解 x=号 D

, 1 1 1 1 1 1     = = = = =        + +       + +      n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x  a A x  a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j =  . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i  . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D  0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解

由于方程组(2)与方程组()等价，故 也是方程组的（解 上页 区回

由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 也是方程组的 (1) 解

二、重要定理 定理1如果线性方程组1的系数行列式D≠0， 则(1)一定有解，且解是唯一的 定理2如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. 上页

二、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D  0, 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1)

齐次线性方程组的相关定理 a1x1+2X2+.+L1nXn=0 21x1+2x2+.+a2nxn=0 (2) ax+a2x2+.+ax=0 定理 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D≠0则齐次线性方程组(2)没有非零解： 区回

齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  0 则齐次线性方程组 没有非零解. (2) (2)

定理 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它 的系数行列式必为零 系数行列式D=0 11x1+122+.+41mXn=0 21X1+22x2+.+2mXn=0 anx1+an2x2++amxn=0 有非零解 上页

定理 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解,则它 的系数行列式必为零.        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     有非零解. 系数行列式 D = 0