《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第4章 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩

向量组的依恨相关性 第三节向量组的秩 最大线性无关向量组 矩阵与向量组秩的关系 三 向量组秩的重要结论 四、小结思考题 返西

一、最大线性无关向量组 定义1设有向量组A,如果在A中能选出r个向量 01,a2,a,满足 ()向量组4：a1,a2,a,线性无关 (2)向量组A中任意r+1个向量（如果4中有 r+1个向量的话)都线性联，那末称向量组4是 向量组4的一个最大线性无关向量组（简称最大 无关组)；最大无关组所含向量个数称为向量组 的秩只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 它的秩为0. 上页 区回

，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r  , , , 1 2  定义１ （1）向量组A0 :1 ,2 ,  ,r线性无关； 个向量的话）都线性相关 ， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中 有 1 2 1 + + r A r A . 的 秩 ; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 0 ） 向量组 的一个 （简称 那末称向量组 是 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 一、最大线性无关向量组

二、矩阵与向量组秩的关系 定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 设A=(a1,2,am),R(A)=r,并设阶子式 证 D,≠0根据4.2定理2由D,≠0知所在的r列线性无 关：又由A中所有r+1阶子式均为零，知A中任意 r+1个列向量都线性相关.因此D所在的r列是A 的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩 等于r.类似可证A的行向量组的秩也等R(A):

. 它的行向量组的秩 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 证 0. ( , , , ) ( ) , 1 2  = = r m D 设A a a  a ，R A r 并设r阶子式 定理１ 关； 根据4.2定理2由Dr  0知所在的r列线性无 1 . 1 个列向量都线性相关 又由 中所有 阶子式均为零，知 中任意 + + r A r A 的列向量的一个最大无关组， 因此Dr所在的r列是A . 等于r 所以列向量组的秩 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). 二、矩阵与向量组秩的关系

向量组1,2，am的秩也记作R(a1,42,0m) 结论 若D是矩阵A的一个最高阶非零子式，则D, 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，D. 王王王王王王 所在的行即是行向量组的一个最大无关组 说明 1)最大无关组不唯一，(p91) (2)向量组与它的最大无关组是等价的， 推论：（最大无关组的等价定义）

向量组a1 ,a2 ,  ,am的秩也记作 . 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r D D A D r r r （1 ;( 91) ）最大无关组不唯一 p ( , , , ) R a1 a2  am 结论 说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的. 推论：（最大无关组的等价定义）

例1全体n维向量构成的向量组记作R",求R"的 一个最大无关组及R"的秩 解因为n维单位坐标向量构成的向量组 E:et,e2,en 是线性无关的，又根据4.2定理3的结论(3)知R” 中的任意n+1个向量都线性相关，因此向量组E 是R"的一个最大无关组，且R"的秩等于n

是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2  解 . 一个最大无关组及 的秩 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的 n n n R 例 1 n R R 中的任意 个向量都线性相关， 又根据 定理 的结论 知 1 4.2 3 (3) n + R n . R R n E 是 n的一个最大无关组，且 n的秩等于 因此向量组

例2 设矩阵 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 A= 4-62 -2 4 3 6 -9 7 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 上页 回

            − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不

解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵 11-2 13】 初等行变换 01 -1 10 A 00 00 0 - 0 知R(A)=3, 故列向量组的最大无关组含3个向量. 而三个非零行的非零元在1、2、4三列， 故41,2，a4,为列向量组的一个最无关组

解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵 知R(A) = 3， A ，               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 初等行变换 ~ 故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列， , , , . 故 a1 a2 a4 为列向量组的一个最大无关组

事实上 2 -1 1 111 （4,42,04)1 11 初等行变换 011 4-6 -2 001 36 000 知R(a1,a2,a4)=3,故a1,2,a4线性无关 要把a3,a用a1,a2,a,线性表示，必须将A再变 成行最简形矩阵， 上页 回

知R(a1 ,a2 ,a4 ) = 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关 . , , , 3 5 1 2 4 成行最简形矩阵 要把a a 用a a a 线性表示，必须将A再变 （a1 ,a2 ,a4 ) = 事实上               − − − 3 6 7 4 6 2 1 1 1 2 1 1               0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 初等行变换 ~

10 -1 0 4 01 -1 0 3 A初等行变换 00 0 1 -3 00 0 0 0 即得 3=-41-42, a5=4a1+302-3a4

              − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ~ A 初等行变换    = + − = − − 5 1 2 4 3 1 2 4 3 3 , a a a a a a a 即得

三、向量组秩的重要结论 定理2设向量组B能由向量组A线性表示，则向 量组B的秩不大于向量组4的秩 证设向量组B的一个最大无关组为B:b1,.,b, 向量组A的一个最大无关组为A:41,4,要证 r≤S. 因B,组能由B组线性表示，B组能由A组线性 表示，A组能由A组线性表示 故B,组能由A组线性表示 即存在系数矩，=(k),使得 回

. 量 组 的秩不大于向量组 的 秩 设向量组 能由向量组 线性表示，则向 B A B A . : , , , : , , 0 1 0 1 r s A A a a B B b b s r  向量组 的一个最大无关组为 要证 设向量组 的一个最大无关组为 ，  证  定理２ . 0 0 表示， 组能由 组线性表示 因 组能由 组线性表示， 组能由 组线性 A A B B B A . 故B0组能由A0组线性表示 即存在系数矩阵Ksr = (kij ),使得 三、向量组秩的重要结论