《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 线性方程组的解

柜阵的和等变换与线性方程组 第三节 线性方程组的解 线性方程组有解的判定条件 线性方程组的解法 三、小结思考题 带助式

一、线性方程组有解的判定条件 1、非齐次线性方程组 011x1+012X2++01mxn=b1 21x1+22+.+02mXn=b2 （1) amix+am2x2++amnxn=bm 11 L12 若记A= 21 2 3X= ,b= mn 则上述方程组(1)可写成向量方程

１、非齐次线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  若记 （1） 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a     =         1 2 , n x x x x     =         则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax b = . 1 2 m b b b b     =         一、线性方程组有解的判定条件

问题：如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩， 讨论线性方程组Ax=b的解. 定理1：非齐次线性方程组Ax=b R(4)=R(B)=n÷Ax=b有唯一解 R(A)=R(B)<n一Ax=b有无穷多解. R(A<R(B)台Ax=b无解 回

讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： Ax = b R(A)= R(B)< n Ax = b有无穷多解. 定理1: 非齐次线性方程组 R(A)= R(B)= n   Ax = b有唯一解; R A R B Ax b ( ) ( ) <  = 无解

小结R(A)=R(B)=n台Ax=b有唯一解 R(A)=R(B)<n台Ax=b有无穷多解. 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 方程组的通解。 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解.若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

小结 R(A)= R(B)= n  Ax = b有唯一解 R(A)= R(B)< n  Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

二、线性方程组的解法 例1求解齐次线性方程组 x1+2x2+x3+x4=0 2x1+x2-2x3-2x4=0. x1-x2-4x3-3x4=0 解 对系数矩阵A施行初等行变换： /122 22 4= 2 1 -2 -2 22 0 -3-6 -4 1-1-4-3 3- 0 -3-6 回

例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4      − − − = + − − = + + + = x x x x x x x x x x x x 解           − − − = − − 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A           − − − − − − 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 二、线性方程组的解法 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 2 1 r r r r − −

122 10-2 5-2 012 14-30 1-23 01 5-34 3÷(-3 0 00 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组 x-2x 30, x2+2x3 3七=0 上页

          0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ( 3) 2 3 2  − − r r r 1 2 2 r − r                 − − 0 0 0 0 3 4 0 1 2 3 5 1 0 2 即得与原方程组同解的方程组      + + = − − = 0, 3 4 2 0, 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x

5 由此即得 =2x+ 49 3 4 =-2x3,(x3x可任意取值， 令X3=C1,x4=C2 把它写成通常的参数形式 5- x=2c+ C23 2 4 =C1 1 +C2 x2=-2c 39. 3430 1 X3=C1 X4=C2, 回

1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 5 2 , 3 4 2 , 3 , , x c c x c c x c x c  = +    = − −    =   = ( , ). x3 x4 可任意取值 由此即得      = − − = + , 3 4 2 , 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数形式 . 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 4 3 2 1                 + −             − =                c c x x x x

例2 求解非齐次线性方程组 x1-2x2+3x3-x4=1, 3x1-x2+5x3-3x4=2, 2x1+x2+2x3-2x4=3. 解 对增广矩阵B进行初等变换， 1-23-112-2r11 -23 -1 1 B=3 -15-32-05 -4 0 -1 212-233-2 06 04 0 1 显然，R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解

例２ 求解非齐次线性方程组      + + − = − + − = − + − = 2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换，           − − − − − = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 3 1 2 2 1 r r r r − −           − − − − − 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 3 2 r − r           − − − − 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 显然，R(A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．

例3求解非齐次方程组的通解 x1-2-X3+x4=0 x1-x2+x3-3x4=1 x1-x2-2x3+3x4=-1/2 解 对增广矩阵B进行初等变换 /1-1-1 1 0 1-1 -1 10 B= 1-1 1 -3 1~0 0 2 -4 1 1-1-23-1/200 -1 2-1/2 回

例３ 求解非齐次方程组的通解 . 2 3 1 2 3 1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4      − − + = − − + − = − − + = x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换           − − − − − − − = 1 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 B           − − − − − 0 0 1 2 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 0 ~

1-10-11/2 001-21/2 00 000 由于R(A)=R(B)=2,故方程组有解，且有 1=x2+x4+1/2 x=x+x+l2台 X2=x2+0x x3=2x4+1/2 3=0x2+2x4+1/2 x4=0x2+4

. 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 ~           − − − 由于R(A) = R(B) = 2, 故方程组有解，且有    = + = + + 2 1 2 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x        = + = + + = + = + +  4 2 4 3 2 4 2 2 4 1 2 4 0 0 2 1 2 0 1 2 x x x x x x x x x x x x