《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 矩阵的初等变换

矩陈的物等变换与孩性方程组 第一节 矩阵的初等变换 消元法解线性方程组 矩阵的初等变换 三、小结 思考题 返

本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念，并提出求秩的有效方 法.再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法.内容丰 富，难度较大 上页 返回

本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法．内容丰 富，难度较大

一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程 引例 求解线性方程组 2x1-x2-x3+x4=2, x1+x2-2x3+x4=4, 4x1-6x2+2x3-2x4=4, ③÷2 () 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④

引例 (1) 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组        + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程．  2

解 T+x22x3+x4=与 ①←>② 2x1-x2-x3+x4=2, (1) (B) ③÷2 2x1-3x2+x3-x4=2, 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④ 8+x2-2x3+x4=4, ① ②-③ ③-2① 2x22x3+2x=0, ④-3① 5x2+5x3-3x4=-6, (B2) 3x2-3x3+4x4=-3, 4 上页 这回

解 ( ) (1) B1 ( ) B2   2 1 3 2        + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 − 2 1 2 − 3 3 4 − 3 1        − + = − − + − = − − + = + − + = 3 3 4 3, 5 5 3 6, 2 2 2 0, 2 4, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2

1 x1+x2-2x3+x4=4, ① ②× 2 3-x3+x4=0, ③+5② (B3) 2x4=-6, ④-3② x4=-3, x1+x2-2x3+4=4, ① ③←→④ 2-x3+x4=0, ② (B4) ④-2③ 8=-3, ③ 0=0, ④ 用“回代”的方法求出解：

( ) B3 ( ) B4        = − = − − + = + − + = 3, 2 6, 0, 2 4, 4 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 1 3 4 2 + 5 2 2 1  3 4 − 3 2 2        = = − − + = + − + = 0 0, 3, 0, 2 4, 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 1 3 4 3  2 4 − 2 4 3 用“回代”的方法求出解：

[x1=x3+4 于是解得x,=x+3其中x,为任意取值 x4=-3 或令x?=c,方程组的解可记作 c+3 x= 为为列 即x=c (2) 其中c为任意常数， 上页 回

于是解得      = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值 或令x3 = c,方程组的解可记作 , 3 3 4 4 3 2 1               − + + =               = c c c x x x x x 其中c为任意常数.               − +               = 3 0 3 4 0 1 1 1 即x c （2）

小结： 1.上述解方程组的方法称为消元法。 2.始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 (1)交换方程次序： (①与①相互替换) (2)以不等于0的数乘某个方程； (以①×k替换①) (3)一个方程加上另一个方程的倍， (以①+k①替换①)

小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i  k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ）

3.上述三种变换都是可逆的. 若A09D(B.则(B)@0(0: 若(A)①×K(B,则(B)D÷K(A): 若(A+k(B,则(B)D-k0(A. 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换。 回

3．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． i j 若(A) (B),  则(B) (A); i  j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i  k 则(B) (A); i  k 则(B) (A). i − k j

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算 若记 2 -1 -1 12 B=(Ab)= 1 -2 14 4-6 2 -2 3 6 -9 7 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组(1)的增广矩阵)的变换

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算．若记               − − − − − − = = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B (Ab) 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换．

二、矩阵的初等变换 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换： ()对调两行（对调，两行，记作：→）； (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (第i行乘k,记作r×k) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去（第行的k倍加到第i行上 记作+k灯). 回

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri  rj）； (2)以 数 k  0 乘以某一行的所有元素; （第 i 行乘 k,记作 ri  k） ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 二、矩阵的初等变换