《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题三（解答）

《线性代数A》强化训练题三解答 一、单项选择题 1.B;2.D,3.C,4.C,5.A 二、填空题 123 001) 6.1; 7.012 8.0105 001 100 0) (3)2 2 1 9 (不唯一方 10.-2 山.6 11 12.2,8,22: 4 13.-31 15.a>2 三、简答题 16.叙述n阶矩阵A与B相似的定义，并写出n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件. 解：存在可逆阵P,使P-AP=B,称A与B相似 n阶A与对角阵相似一A有n个线性无关的特征向量 17.叙述一个向量组线性无关的定义，并给出向量组线性无关的三种判别法 解：对a,42,.,a,如果ka1+k,+.+kan=0,只有唯一k=k=.=kn=0成立 称a,a2,.,am线性无关 判别法：(1)用定义： (2)m个m维向量线性无关一其组成的矩阵的行列式不为零： (3)向量组的秩为向量个数. 等等. 四、计算题 1

- 1 - 《线性代数 A》强化训练题三解答 一、单项选择题 1. B; 2. D; 3. C; 4. C; 5. A 二、填空题 6. 1; 7. 1 2 3 0 1 2 0 0 1       ; 8. 0 0 1 0 1 0 1 0 0       ; 9. 1 2 0 3 2 1 2 1 0 1 0 1 1 1 c c                                         , (不唯一); 10. 2 ; 11. 9 26 ; 12. 2,8,22 ; 13. 4 3  ; 14. 1 2 ; 15. a  2 三、 简答题 16. 叙述 n 阶矩阵 A 与 B 相似的定义, 并写出 n 阶矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件. 解：存在可逆阵 P , 使 1 P AP B,   称 A 与 B 相似. n 阶 A 与对角阵相似 A 有 n 个线性无关的特征向量. 17. 叙述一个向量组线性无关的定义, 并给出向量组线性无关的三种判别法. 解：对 1 2 , , , ,     m 如果 1 1 2 2 , m m k   k   k   0 只有唯一 1 2 0 m k  k  k  成立, 称 1 2 , , ,     m 线性无关. 判别法: (1) 用定义; (2) m 个 m 维向量线性无关 其组成的矩阵的行列式不为零; (3) 向量组的秩为向量个数. 等等 四、计算题

3 2 15 18.计算行列式D= 2-3 7 9227 2-51-54-5 1 5-23 -7 1 7 64 解：D31 -4 > 27 9 3 5 5-2 -2 5 -3 -2 -76 4 1031 311 4-70010 70 10-1 5-1-7 05-1-7 314 91 100 114 70-1-2厂70 -2+到= 5-1-2 (2-10 19.设A=02-1且A满足AX=4A+2E+2X,求X. 002 解：AAX=4E+2A+2AX,AX=4E+2A+2AX, 由4=8代入化简得：(4E-A)X=2E+A, 所以X=(4E-A)'(2E+A) -2

- 2 - 18. 计算行列式 1 5 2 3 3 2 5 2 21 3 12 15 5 2 9 4 5 3 2 5 2 1 2 1 3 7 7 7 7 D       解： 3 1 3 4 3 1 5 1 1 7 6 6 1 7 4 5 1 7 6 4 7 3 1 4 5 1 1 4 7 5 5 7 70 4 27 24 15 2 9 4 5 1 2 5 3 3 2 5 2 1 2 1 3 c r r r r D                 2 1 3 1 4 1 4 1 7 6 4 3 1 1 1 0 3 1 1 1 1 0 1 70 0 1 0 1 70 5 1 7 0 5 1 7 r r r r r r             3 1 3 1 4 1 1 1 4 1 1 1 0 0 ( 2 4) . 70 70 1 2 70 35 5 1 2 c c            19. 设 2 1 0 0 2 1 0 0 2 A          且 A 满足 * 1 A X 4A 2E 2X ,     求 X. 解： * AA X  4E  2A  2AX , A X  4E  2A  2AX , 由 A  8 代入化简得: (4E  A)X  2E  A, 所以 1 X (4E A) (2E A).    

1 1 2 8 4 -10 (4E-A)= 112 14 2E+A=04-1 (004 0 0 1-2 1 2 3 2 4 -1 0 2 K- 0 1-2 4 0 4 -1 2 0 4 0 2 0 1-2 0 0 1 1 2 2 3 5 20.求向量组a,= y a3= a= 的秩和一个最大无关组，并 5 6 4 3 7 把其他向量用最大无关组线性表示. (1212 (1001 2335 0100 解：A=(aaaa4)= -312-1→0011 5216 0000 4537 0000 向量组的秩r=3: 一个最大无关组a,a,a,且a4=a+a [2x+x2-为3=1 21.参数1为何值时，方程组{x,-x+x=2无解、有唯一解或有无穷多解？并在 4x1+5x2-5x=-1 有无穷多解时求出方程组的通解 解： 3

- 3 - 1 1 1 1 2 4 8 1 1 (4 ) 0 , 2 4 1 0 0 2 E A            4 1 0 2 0 4 1 , 0 0 4 E A           1 1 1 3 3 2 2 4 8 2 4 4 1 0 1 1 3 0 0 4 1 0 2 . 2 4 2 0 0 4 1 0 0 2 0 0 2 X                                                  20. 求向量组 1 2 3 4 1 2 1 2 2 3 3 5 3 , 1 , 2 , 1 5 2 1 6 4 5 3 7                                                                           的秩和一个最大无关组, 并 把其他向量用最大无关组线性表示. 解： 1 2 3 4 1 2 1 2 1 0 0 1 2 3 3 5 0 1 0 0 ( ) 3 1 2 1 0 0 1 1 , 5 2 1 6 0 0 0 0 4 5 3 7 0 0 0 0 A                          向量组的秩 r  3; 一个最大无关组 1 2 3  , , , 且 4 1 3    . 21. 参数 为何值时, 方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 4 5 5 1 x x x x x x x x x                  无解、有唯一解或有无穷多解？并在 有无穷多解时求出方程组的通解. 解：

|2元-1 4=元-11=(2-10(51+4)， 45-5 当入1且一时，方程组有唯一解 r(4=3,r(4)=2,方程组无解 0009 (1001) 当元=1时，A→01-1-1，(A)=(4)=2<3,方程组有无穷多解 (0000 10 通解x=-1+1 22用正交变换化二次型f(x,x2,x)=x+2x+x-2x为标准形，并写出所用的 正交变换 10-1 解：A=020 -101 -1011 E-4-0-20 =(1-2)2=0,元1=元2=2，元3=0， 1 0元-1 -1) (0 入=元=2的特征向量a 0. 1 1 0 4

- 4 - 2 1 1 1 ( 1)(5 4), 4 5 5 A            当  1且 4 5    时, 方程组有唯一解; 当 4 5    时, 4 2 1 1 5 4 5 5 10 , 0 0 0 9 A             r(A)  3, r(A)  2,  方程组无解; 当 1时, 1 0 0 1 0 1 1 1 , 0 0 0 0 A           r(A)  r(A)  2  3,  方程组有无穷多解. 通解 1 0 1 1 . 0 1 c                    x 22. 用正交变换化二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 f (x , x , x )  x  2x  x 2x x 为标准形, 并写出所用的 正交变换. 解： 1 0 1 0 2 0 , 1 0 1 A          2 1 2 3 1 0 1 0 2 0 ( 2) 0, 2, 0, 1 0 1 E A                     1 2     2 的特征向量 1 2 1 0 0 , 1 , 1 0                     

1 单位化B= 0 ，=0的特征向量a 0 01 令x=Py,P= 010 01 f=2y听+2 五、证明题 11 -1 23.设A 12 1 0 B为一个3×3矩阵，如果AB=O,求证：B的列向量组线 0-1-2 性相关 证：设B=(a,a2,a),则AB=(Aa,Aa2,Aa)=O, 即a,a,a,是方程组Ar=0的解， 又因为A 0-1-2（000 所以R(A)=2,所以Ax=0的基础解系只含1个向量， 则a,a2,a线性相关 -5

- 5 - 单位化 1 2 1 2 0 0 , 1 , 1 0 2                       3   0 的特征向量 3 0 1 , 0         令 1 0 1 2 , 0 1 0 , 1 0 1 2 P P         x y 2 2 1 2 f  2y  2y . 五、证明题 23. 设 1 1 1 1 2 1 , 2 3 0 0 1 2 A           B 为一个33 矩阵, 如果 AB  O, 求证: B 的列向量组线 性相关. 证：设 1 2 3 B  ( , , ), 则 1 2 3 AB  (A , A , A )  O, 即 1 2 3  , , 是方程组 Ax  0的解, 又因为 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 2 , 2 3 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 A                       所以 R(A)  2, 所以 Ax  0的基础解系只含 1 个向量, 则 1 2 3  , , 线性相关