《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题三（习题）

《线性代数A》强化训练题三 一、单项选择题 1.设A,B,C均为n阶矩阵，若ACB-E,则必定有() A.ABC=E B.BAC=E C.CAB=E D.BCA=E 2.设A为三阶方阵且A=-2,则3(A)=() A-108 B.-12 C.12D.108 3.设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组A=b存在无穷多个解，则正确的是( AA的行向量组线性相关 B.A的行向量组线性无关 C.A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关 4.设A为n阶正交阵，且A=-l,则A+E=() A.1B.-1 C.0D.2 5.对称矩阵A() AA的特征值全部大于零时A正定 B.R(A)=n时A正定 C.A有n个线性无关的特征向量时A正定D.以上结论都不对 二、填空题 6.设D是一个四阶行列式，且其第一行元素分别为1,0，-1,2，第三行元素的余子式分 别为3,6，a,1,则a=」 (123 7.设A=012,则(A)1=」 001 8.设A是三阶矩阵 1

- 1 - 《线性代数 A》强化训练题三 一、单项选择题 1. 设 A B C , , 均为 n 阶矩阵, 若 ACB E = , 则必定有( ) A. ABC E= B. BAC E= C. CAB E= D. BCA E= 2. 设 A 为三阶方阵且 A = −2, 则 * 3( ) T A = ( ) A. −108 B. −12 C.12 D. 108 3. 设 A 是 m n 矩阵, 非齐次线性方程组 Ax b = 存在无穷多个解, 则正确的是( ) A. A 的行向量组线性相关 B. A 的行向量组线性无关 C. A 的列向量组线性相关 D. A 的列向量组线性无关 4. 设 A 为 n 阶正交阵, 且 A = −1, 则 A E+ = ( ) A. 1 B. −1 C. 0 D. 2 5. 对称矩阵 A ( ) A. A 的特征值全部大于零时 A 正定 B. R A n ( ) = 时 A 正定 C. A 有 n 个线性无关的特征向量时 A 正定 D. 以上结论都不对 二、填空题 6. 设 D 是一个四阶行列式, 且其第一行元素分别为 1, 0, 1, 2, − 第三行元素的余子式分 别为 3, 6, ,1, a 则 a = . 7. 设 1 2 3 0 1 2 , 001 A     =       则 * 1 ( ) A − = . 8. 设 A 是三阶矩阵, , x z A y y z x         =             则 A =

1 1 9.设a 3 0 都是非齐次方程组A=b的解，且R(4A)=2, 是该 1 1 0 方程组对应的齐次方程组A红=0的一个解，则方程组Ax=b的通解为 10.当1= 时，向量组a=(2,0,4)7,=(0,-2,4),=(4,6,2)线性相关 1.设a=(6,01-4,.B=(2,4-1,2).则内积[g 12.设A是三阶方阵，且A的特征值是-1,2,4，则A2+A+2E的特征值是 13.设二次型f(x,x2,x)=3x+4xx2-+x,则当1=时，∫的秩为2 100 14.设A是三阶方阵，且与B=0-10相似则(-4)=_ 002 15.已知f(x,x2,x)=5x+x号+a+4x52-2x-2x53为正定二次型，则a的取 值范围 三、简答题 16.叙述n阶矩阵A与B相似的定义，并写出n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件 17.叙述一个向量组线性无关的定义，并给出向量组线性无关的三种判别法 四、计算题 1 52 3 2 3 -12 5 15 18.计算行列式 9 3 4-5 2-7 -7 5-23-7 -2

- 2 - 9. 设 1 2 2 1 1 3 , 0 1 1 0       −         = =             都是非齐次方程组 Ax b = 的解, 且 R A( ) 2, = 0 1 0 1        =       是该 方程组对应的齐次方程组 Ax = 0 的一个解, 则方程组 Ax b = 的通解为 . 10. 当 t = 时, 向量组 1 2 3 (2,0,4) , (0, 2,4) , (4,6,2 ) T T T    = = − = t 线性相关. 11. 设   = − = − (3,0,1, 4), (2,4, 1,2), 则内积 [ , 3 ]    − = . 12. 设 A 是三阶方阵, 且 A 的特征值是 −1, 2, 4, 则 2 A A E + + 2 的特征值是 . 13. 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 f x x x x x x tx x ( , , ) 3 4 , = + − + 则当 t = 时, f 的秩为 2. 14. 设 A 是三阶方阵, 且与 100 0 1 0 0 0 2 B     = −       相似, 则 1 ( ) A − − = . 15. 已知 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 5 4 2 2 = + + + − − 为正定二次型, 则 a 的取 值范围 . 三、 简答题 16. 叙述 n 阶矩阵 A 与 B 相似的定义, 并写出 n 阶矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件. 17. 叙述一个向量组线性无关的定义, 并给出向量组线性无关的三种判别法. 四、计算题 18. 计算行列式 1 5 2 3 3 2 5 2 21 3 12 15 5 2 9 4 5 3 2 5 2 1 2 1 3 7 7 7 7 − − − − −

2-10Y 19.设A= 02-1 且A满足AX=4A+2E+2X,求X 002 1 (D 2 20.求向量组a= -3 =1 a=2 -1的秩和一个最大无关组，并 2 6 (3 把其他向量用最大无关组线性表示 2x+2x2-x3=1 21.参数入为何值时，方程组{x-x,+x=2无解、有唯一解或有无穷多解？并在 4x+5x2-5x,=-1 有无穷多解时求出方程组的通解 22.用正交变换化二次型f(x,x2,x)=x+2x+x-2xx为标准形，并写出所用的 正交变换」 五、证明题 11-1 121 23.设A= B为一个3×3矩阵，如果AB=O,求证：B的列向量组线 230 0-1-2 性相关 3

- 3 - 19. 设 2 1 0 0 2 1 0 0 2 A   −   = −       且 A 满足 * 1 A X A E X 4 2 2 , − = + + 求 X. 20. 求向量组 1 2 3 4 1 1 2 2 2 3 5 3 3 2 1 , 1 , , 5 1 6 2 4 3 7 5                             = = = =       − −                             的秩和一个最大无关组, 并 把其他向量用最大无关组线性表示. 21. 参数  为何值时, 方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 4 5 5 1 x x x x x x x x x  + − =   − + =   + − = −   无解、有唯一解或有无穷多解？并在 有无穷多解时求出方程组的通解. 22. 用正交变换化二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 f x x x x x x x x ( , , ) 2 2 = + + − 为标准形, 并写出所用的 正交变换. 五、证明题 23. 设 1 1 1 1 2 1 , 2 3 0 0 1 2 A   −     =       − − B 为一个 3 3 矩阵, 如果 AB O= , 求证: B 的列向量组线 性相关