《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题七（解答）

《线性代数D》强化训练题一解答 一、填空题 1.-2；2.B-E:36:46; 6888 二、选择题 1.D2.B3.C4.D5.B 三、计算题 1.计算行列式的值 |12-23 -1-24-2 (I)D= 012-1 23-310 |12-23 1021 解：D= 0021 012-1 033 0-114 a+bab00. 0 0 1a+bab0.0 0 (2)D.= 01a+bab.0 0 . . . 00 00.a+bab 0 0 0 0.1 a+b 解：Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2 (n+l0a”,a=b D.=d"-b" a-b a≠b 1

- 1 - 《线性代数 D》强化训练题一解答 一、填空题 1. −2 ; 2. B E− ; 3. 6 ; 4. 6 ; 5. 1 0 0 1 0 0 , , 0 0 1 0 0 1                   二、选择题 1. D 2. B 3. C 4. D 5. B 三、计算题 1. 计算行列式的值 (1) 1 2 2 3 1 2 4 2 0 1 2 1 2 3 3 10 D − − − − = − − 解： 1 2 2 3 0 2 1 0 0 2 1 2 1 1 2 1 3. 0 1 2 1 3 3 0 3 3 0 1 1 4 D − = = − = − = − − − 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 (2) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 n a b ab a b ab a b ab D a b ab a b + + + = + + 解： 1 2 ( ) , D a b D abD n n n = + − − − ( 1) , , n n n n n a a b D a b a b a b  + =  =  −    −

12-2 2.设矩阵A,B满足ABA=2BA-8E,其中A 0-24 是A的伴随矩阵 001 求B. -22BA-8E)=4B-BA AΓBA+BA=(A+E)BA=4E, B=4A+E)=4(AA+A0=4E+A) (22-224-6) =40-14=0-48 002002 四、解答题 1.请叙述向量组线性无关的三种判别方法。 解：略 1 1 2 3 3 5 2.求向量组a -3 a2= 1 2 a= -1 的秩和一个最大线性无关 5 6 4 7 组 1 21 2 1 212 233 0 -111 解：(a,a2a,a)= -312 → 0011 5216 0000 4537J (0000 -2-

- 2 - 2. 设矩阵 A B, 满足 * A BA BA E = − 2 8 , 其中 1 2 2 0 2 4 , 0 0 1 A   −   = −       * A 是 A 的伴随矩阵, 求 B. 解： A = −2, 1 1 * A BA BA E (2 8 ), A A = − 1 1 (2 8 ) 4 , 2 A BA BA E E BA − = − = − − 1 1 A BA BA A E BA E ( ) 4 , − − + = + = 1 1 1 1 1 1 B A E A AA A E A 4( ) 4[( )] 4( ) − − − − − − = + = + = + 1 2 2 2 2 4 6 4 0 1 4 0 4 8 . 0 0 2 0 0 2 −     − −     = − = −             四、解答题 1. 请叙述向量组线性无关的三种判别方法. 解: 略. 2. 求向量组 1 2 3 4 1 2 1 2 2 3 3 5 3 1 2 1 5 2 1 6 4 5 3 7                             = = = =         − −                         ， ， ， 的秩和一个最大线性无关 组. 解: 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 5 0 1 1 1 ( , , , ) , 3 1 2 1 0 0 1 1 5 2 1 6 0 0 0 0 4 5 3 7 0 0 0 0             −     = →     − −                

最大无关组可选为a,a2,a；R=3. 五、当b为何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解并在无穷多解的情况下求 其通解 x+2+x3+x4=1 x2-x+2x4=1 2x+3x2+x3+4x4=b 3x+5x2+x3+7x4=5 111111111 01-121 01-12 解：增广矩阵B= 2314b 0000b-3 35175 00000 从上述矩阵可以看出： ()当b≠3，则r()=2<(B)=3,故方程组无解 (2)当b=3时，r(4)=r(B)=2<n=4,非齐次线性方程组有无穷多解，此时它所对 应的齐次线性方程组的解空间的维数等于一r=4-2=2,即基础解系由两个解向量构成 11111)102-10 01-12101-121 00000 00000 0000000000 -2 1 基础解系5 1 -2 5= 0 0 1 1 特解n= 0 0 -3

- 3 - 最大无关组可选为 1 2 3    , , ; R = 3. 五、当 b 为何值时, 下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解, 并在无穷多解的情况下求 其通解. 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 5 7 5 x x x x x x x x x x x b x x x x  + + + =   − + =  + + + =    + + + = 解：增广矩阵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 ~ , 2 3 1 4 0 0 0 0 3 3 5 1 7 5 0 0 0 0 0 B b b         − −     =     −         从上述矩阵可以看出: (1) 当 b  3, 则 r A r B ( ) 2 ( ) 3, =  = 故方程组无解. (2) 当 b = 3 时, r A r B n ( ) ( ) 2 4, = =  = 非齐次线性方程组有无穷多解, 此时它所对 应的齐次线性方程组的解空间的维数等于 n − r = 4− 2 = 2, 即基础解系由两个解向量构成. 1 1 1 1 1 1 0 2 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 ~ , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     −     − −                 基础解系 1 2 2 1 1 2 . 1 0 0 1       −     −     = =             , 特解 0 1 , 0 0        =      

通解为x=k5+k5+n,其中k,k,为任意实数 (3)本题没有唯一解的情况出现 六、求一正交变换把二次型fx,x2,x)=5x+5x+3x-2xx2+6xx-6xx化为 标准形，并判定该二次型是否是正定的. 15-1-13 解：A-元E= -15-1-3 =2(4-)(2-9)=0: 3 -33-元 1=0,2=4,1=9. -1 入=0，特征向量5 1 单位化卫= 2 62 1 入，=4，特征向量5 0 单位化:万0】 1 1 =9，特征向量5= 1) 3个特征值各异，所以5,52,5两两正交，故正交变换矩阵为 1 1 √6 x 1 1 P=(p,P2,P)= 万 正交变换为x,=P》 y 0 标准形为∫=4+9y 不正定 4

- 4 - 通解为 1 1 2 2 x = + + k k   , 其中 1 2 k k, 为任意实数. (3) 本题没有唯一解的情况出现. 六、求一正交变换把二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 5 5 3 2 6 6 = + + − + − 化为 标准形, 并判定该二次型是否是正定的. 解： 5 1 3 1 5 3 (4 )( 9) 0 3 3 3 A E        − − − = − − − = − − = − − ; 1 2 3    = = = 0, 4, 9. 1  = 0, 特征向量 1 1 1 , 2    −   =       单位化 1 1 1 1 , 6 2   −   =       p 2  = 4, 特征向量 2 1 1 , 0      =       单位化 2 1 1 1 , 2 0     =       p 3  = 9, 特征向量 3 1 1 , 1      = −      单位化 3 1 1 1 , 3 1     = −      p 3 个特征值各异, 所以 1 2 3    , , 两两正交, 故正交变换矩阵为 1 2 3 1 1 1 6 2 3 1 1 1 ( , , ) , 6 2 3 2 1 0 6 3 P   −      = = −           p p p 正交变换为 , 3 2 1 3 2 1           =           y y y P x x x 标准形为 2 2 2 3 f y y = + 4 9 . 不正定

七、证明题 1.己知A是正交阵，证明A也是正交阵 证：因为A是正交阵，所以A=A 则A4=A4=E,4-1. 故A(A)Y=AA(AA)了=AA「A=E.所以A也是正交阵 2.设向量组Cg,c,.,C(m>)线性无关，且B=a+凸++Cm,证明向量组 B-a,B-a,.,B-an也线性无关 证：设k(B-a)+k(B-a2)+.+k(B-an)=0, 代入B=a+,+.+am, (k2+k+.+k)a+(k+k3+.+km)a2+.+(k+k+.+k-)an=0, 由C%,a%,.,Cn(m>)线性无关得方程组 k3+k+.+km-1+kn=0 k+k3+.+km-+kn=0 . k+k3+.+k1=0 其系数行列式为 011.11 m-111.11 101.1 m-101.11 D.= 111.10 m-111.10 111.11 101.11 =(m-1 =(-1)-(m-1)≠0， . 111.10 只有零解，所以B-a,B-a,.,B-an线性无关。 .5

- 5 - 七、证明题 1. 已知 A 是正交阵, 证明 * A 也是正交阵. 证：因为 A 是正交阵, 所以 1 . T A A − = 则 2 1 1. T AA AA E A − = = = , 故 2 * * ( ) ( ) . T T T T T A A A A A A A A A E = = = 所以 * A 也是正交阵. 2. 设向量组 1 2 , , , ( 1)    m m  线性无关, 且 1 2 ,     = + + + m 证明向量组 1 2 , , ,       − − − m 也线性无关. 证：设 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) , m m k k k       − + − + + − = 0 代入 1 2 ,     = + + + m 2 3 1 1 3 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) , m m m m k k k k k k k k k + + + + + + + + + + + + =    − 0 由 1 2 , , , ( 1)    m m  线性无关得方程组 2 3 1 1 3 1 1 2 1 0 0 0 m m m m m k k k k k k k k k k k − − −  + + + + =   + + + + =     + + + = , 其系数行列式为 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 m m m D m − − = = − 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0, 1 1 1 1 0 m m m − = − = − −  只有零解, 所以 1 2 , , ,       − − − m 线性无关