《线性代数》课程教学资源（试卷习题）强化训练题八（习题）

《线性代数D》强化训练题二 一、填空题 12-1Y 1.设A=3x-2 是不可逆矩阵，则x= 5-41 。且己知A=E,则A= 3.A是三阶方阵，其行列式A=1,A°为A的伴随矩阵，则行列式 (2A*)-A= 4.A= 口2)有一个特征值为1，对应的特征向量为】 3b a -1 则a=_5 b= 5.V是三阶实的反对称矩阵全体构成的线性空间，则V的一个基是 二、单项选择题 xxx-2.x x1n-11.1 1.fx)=x-21n-1. 则f(x)是 次多项式 . . . . x11.n-1 A.ni(n+1) B.1(n-1) C.n D.不确定 2 2 2.己知x=3,y=4,且x,y正交，则x-y川= A.1 B.5 C.7 D.12 3.A是n阶方阵，任一n维列向量都可由A的列向量组线性表示，则 A.A的列向量组线性相关B.A的行向量组线性相关 C.|A=0 D.A的列向量组是n维向量空间的一个基 -1

- 1 - 《线性代数 D》强化训练题二 一、填空题 1．设 1 2 1 3 2 5 4 1 A x   −   = −       − 是不可逆矩阵, 则 x =_; 2． 1 1 3 , 2 3 1 A   − =       且已知 6 A E = , 则 11 A = _; 3． A 是三阶方阵, 其行列式 A =1, * A 为 A 的伴随矩阵, 则行列式 1 (2 *) A A − − = _; 4． 2 3 a b A b a   =     有一个特征值为 1, 对应的特征向量为 1 , 1       − 则 a =_; b =_; 5．V 是三阶实的反对称矩阵全体构成的线性空间, 则 V 的一个基是_. 二、单项选择题 1． 1 2 1 2 1 1 1 ( ) , 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x x x x n f x x n x n − − − − − = − − 则 f x( ) 是_次多项式; ( 1) ( 1) A. B. C. D. 2 2 n n n n n + − 不确定 2．已知 x y = = 3, 4, 且 x y , 正交, 则 x y − = _; A. 1 B. 5 C. 7 D. 12 3. A 是 n 阶方阵, 任一 n 维列向量都可由 A 的列向量组线性表示, 则_; A. A 的列向量组线性相关 B. A 的行向量组线性相关 C. 0 A = D. A 的列向量组是 n 维向量空间的一个基

4.A是3×2矩阵，B是2×3矩阵，则|AB A.=0 B.≠0C.不存在 D.不能确定 5.A,B都是n阶方阵，且A与B相似，则 A.A,B必有n个线性无关的特征向量 B.R(A)=R(B) C.A,B有相同的特征值和特征向量 D.A,B都可与对角阵相似 三、计算下列行列式 1102-1 -113158 D= 2976 1541 2-10 四、A=02-1 且AX=41+2E+2X,其中A为A的伴随矩阵，E是 002 三阶单位矩阵，求X x+2+x+x=0 五、己知齐次线性方程组 4x+3x+5x-x=0的通解为x=G5+C252,G,C2为 ax+x2+3x,-bx4=0 x+x3+x3+x4=-1 任意常数，求非齐次线性方程组{4x+3x2+5x-x=-1的通解 ax+x+3x-bx=1 六、设二次型f(x,x2,x)=ax+2x-2x+2bxx(b>0),其中二次型矩阵A的 特征值之和为1，特征值之积为-12 (1)求a,b的值： (2)求一正交变换把二次型(x,x2,x)化成标准型（需写出正交变换及标准型）. -2

- 2 - 4． A 是 3 2  矩阵, B 是 2 3 矩阵, 则 AB _; A. 0 B. 0 =  C. 不存在 D. 不能确定 5． A B, 都是 n 阶方阵, 且 A 与 B 相似, 则_. A. , A B 必有 n 个线性无关的特征向量 B. ( ) ( ) R A R B = C. , A B 有相同的特征值和特征向量 D. , A B 都可与对角阵相似 三、计算下列行列式 1 0 2 1 1 13 15 8 2 9 7 6 1 5 4 1 D − − = 四、 2 1 0 0 2 1 , 0 0 2 A   −   = −       且 * 1 A X A E X 4 2 2 , − = + + 其中 * A 为 A 的伴随矩阵, E 是 三阶单位矩阵, 求 X. 五、已知齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 4 3 5 0 3 0 x x x x x x x x ax x x bx  + + + =   + + − =   + + − = 的通解为 1 1 2 2 x = + c c   , 1 2 c c, 为 任意常数, 求非齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x ax x x bx  + + + = −   + + − = −   + + − = 的通解. 六、 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 f x x x ax x x bx x b ( , , ) 2 2 2 ( 0), = + − +  其中二次型矩阵 A 的 特征值之和为 1, 特征值之积为 −12. (1) 求 a b, 的值; (2) 求一正交变换把二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 化成标准型(需写出正交变换及标准型)

七、 1.设V是次数不超过3的实多项式全体构成的实数域上的线性空间， A:1,x,x2,x3;B:1,1+x,1+x+x2,1+x+x2+x3是V的两个基.分别求 f(x)=4+x+2x2+x在这两个基下的坐标 0) 0 0 2.设(G,x,x)是向量a关于基a1= 0 0 0 @2= 2 下的坐标 1 (0 1 1 (O,24)是C关于基P,P2,PP,下的坐标，且片=x,为2=x2-x,为=x-x2, 4=x-x2,求基B,B2B,B4 八、证明题 1.已知B1=a,B2=a+a2,.,Bn=a1+a2++an,且己知B,B2,.,Bn线性 无关，证明a,a2,.,cn也线性无关 2.设B=(5,.,5m,且5，.，5m是化=0的基础解系，P是m阶可逆方阵， (PB)了=(7p.,7m,证明n.,1m也是A女=0的基础解系 3

- 3 - 七、 1．设 V 是次数不超过 3 的实多项式全体构成的实数域上的线性空间, 2 3 2 2 3 A x x x B x x x x x x : 1, , , ; : 1, 1 , 1 , 1 + + + + + + 是 V 的两个基. 分别求 2 3 f x x x x ( ) 4 2 = + + + 在这两个基下的坐标. 2．设 1 2 3 4 ( , , , ) x x x x 是向量  关于基 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 0 0 , , , 0 1 1 2 1 0 1 1                             = = = =                         下的坐标, 1 2 3 4 ( , , , ) y y y y 是  关于基 1 2 3 4     , , , 下的坐标, 且 1 1 2 2 1 3 3 2 y x y x x y x x = = − = − , , , 4 4 2 y x x = − , 求基 1 2 3 4     , , , . 八、证明题 1．已知 1 1 2 1 2 1 2 , , , ,          = = + = + + + n n 且已知 1 2 , , ,    n 线性 无关, 证明 1 2 , , ,    n 也线性无关. 2．设 1 ( , , ), T B m =   且 1 , , m   是 Ax = 0 的基础解系, P 是 m 阶可逆方阵, 1 ( ) ( , , ), T PB =   m 证明 1 , ,   m 也是 Ax = 0 的基础解系