《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第5章 相似矩阵及二次型 5.5 二次型及其标准形

阳似短阵及三次型 第五节 二次型及其标准形 二次型及其标准形的概念 二次型的表示方法 三 二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题 带助

一、二次型及其标准形的概念 定义1含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数 fx2,x)=auxi+azx2++amxn +2a12X1x2+2a13x1X3+.+2am-L,mxn-1x 称为二次型 当an是复数时，称为复二次型； 当是实数时，称为实二次型

一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 ,  , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型

只含有平方项的二次型 f=kyky++ky 称为二次型的标准形（或法式）· 例如 f(x1,x2,x3)=2x+4x号+5x3-4xx3 f(x1,x2,x3)=xx2+x3+x2x3 都为二次型； f(1,x2,x3)=x2+4x+4x 为二次型的标准形 上页 这回

只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x

二、二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 f(xx2x)=auxi+azx2++amxm +2a12x1x2+2a13x1x3+:+2annx 取an=ag,则2axxi=agxx+aixx,于是 f=411x2+012x1x2++41mx1xn +a21x2x1+02x2+.+a2mx2xn amn+am22+am =】 .a时xixj i,j=1

1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j =  ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法

2.用矩阵表示 f =a11X1+012X1x2+.+01nx1xm +421X2X1+22X2+.+42nx2xm am+an2x2++amxz =x1(a11x1+412x2+.+a1nxn) +x2(a21x1+a22X2+.+a2mXn) +.+xn(anix1tan2x2++amnxn) 11X1+a12x2+.+a1mxn a21X1+022x2+.+2nxm =（X1,x2,Xn) nlx1+0n2x2+.+amxn 上页

2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +                   + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x      1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )

L12 21 022 Cn2 011 412 记 A- 21 22 xX= 则二次型可记作f=xTAx,其中A为对称矩阵

则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               =               = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A         记 ( )                             = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x          2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , ,

三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型.这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系. 对称矩阵A叫做二次型f的矩阵； f叫做对称矩阵A的二次型； 对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩 回

三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩

例1写出二次型 f=x2+2x2-3x3+4x1x2-6x2x3 的矩阵 解 01=1,a2=2,033=-3, 412=421=2,03=031=0, 023=032=-3. (1 2 .A= 2 2 3 0 3 3 上页

解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0   − −  A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１

四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形。 设 x1=cuy+c2y2++cinyn? X2=C2191+C22V2++c2nyn Xn=cnly1+cn2y2++cmmyn 记C=(c),则上述可逆线性变换可记作 x=Cy 区回

       = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy

将其代入f=x'Ax,有 f=x"Ax=(Cy)"A(Cy)=y(CTAC)y. 定理1任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A为对称 矩阵，则B也为对称矩阵且R(B)=R(A), 证明A为对称矩阵即有A=A',于是 BT=CTAC)=CTAC=CTAC=B, 即B为对称矩阵. B=CIAC,.R(B)≤R(AC)≤R(A), 又 A=(CTBC-,R(A)s R(BC-)s R(B) .R(A)=R(B)

f x Ax T = 证明 A为对称矩阵,即有A = A T ,于是 ( ) T T T B = C AC 将其代入 f = x T Ax,有 y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = , , ( ) ( ). 1 , , B R B R A C B C AC A T = = 矩 阵 则 也为对称矩阵且 定 理 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 C A C T T = C AC B, T = = B C AC, T  =  R(B)  R(AC)  R(A), ( ) , 1 1 − − A = C BC 又  T ( ) ( ) ( ). 1  R A  R BC  R B −  R(A) = R(B). 即 B 为对称矩阵