《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第六章 样本及抽样分布 6.3 抽样分布

第三节抽样分布 一、统计量 二、经验分布函数 三、统计三大抽样分布 四、正态总体下四个重要抽样定理

一、统计量 二、经验分布函数 三、统计三大抽样分布 四、 正态总体下四个重要抽样定理 第三节 抽样分布

一、统计量 定义设X,X2,Xn是来自总体X的一个样本， g(X1,X2,Xn)是X,X2,Xn的函数，若g中不含未知参 数，则称g(X1,X2,.,Xn)是一统计量. 若g中含未知参数，则称g(X,X2,X,)是枢轴量. 例.X~N(山，o),山，σ2是未知参数，X,X2,Xn是 来自总体X的一个样本. 2(x-川不是统i计量 若4，σ已知，则为统计量

一、统计量 定 义 设 1 2 , , , X X Xn 是来自总体 X 的一个样本 , 1 2 ( , , , ) n g X X X 是 1 2 , , , X X Xn 的函数，若 g 中不含未知参 数，则称 1 2 ( , , , ) n g X X X 是一统计量. 2 2 1 2 ~ ( , ) , , , , , . X N X X Xn X     是未知参数， 是 来自总体 的一 例 个样本 . ( ) 2 2 1 1 n i i X   =  − 若, 已知,则为统计量. 不是统计量. 若g中含未知参数，则称 枢轴量. 1 2 ( , , , ) n g X X X 是

几个常见统计量：设X,X2,.,Xn是来自总体X的一个样本， 1,2,.,xn是这一样本的观察值. 样本平均值：=1之x n i=1 B样本方差s=2x-2x-R 样本标准差：5=了=己2之(x-列 B样本k阶（原点施：A-空，k=124之X= (4)样本k阶中心矩： n i=1 B=∑(X,-X,k=2,3, 4=2x B=2(x-x=2X-X→B,=4-4 n i=1

几个常见统计量： 1 2 1 2 , , , X , , , n n X X X x x x 设 是来自总体 的一个样本， 是这一样本的观察值. (1)样本平均值: 1 1 . n i i X X n = =  (2)样本方差: 2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n = = − −  2 2 1 1 . 1 n i i X nX n =   = −   −    样本标准差: ( ) 2 2 1 1 . 1 n i i S S X X n = = = − −  (3)样本 k 阶(原点)矩: 1 1 , 1, 2, . n k k i i A X k n = = =  (4)样本 k 阶中心矩: 1 1 ( ) , 2, 3, . n k k i i B X X k n = = − =  2 B A A 2 2 1 = − 1 1 2 2 1 1 1 n i i n i i A X X n A X n = = = = =   2 2 1 1 ( ) n i i B X X n = = −  2 2 1 1 n i i X X n = = −  

它们的样本观察值分别为 x=2 n i= 2-=(2-月 =是2-=2心-州 a-2k=1,2 n i=1 b-2(x-,k=2,3 .n i=

1 1 ; n i i x x n = =  1 1 , 1,2, ; n k k i i a x k n = = =  1 1 ( ) , 2,3, . n k k i i b x x k n = = − =  2 2 1 1 ( ) 1 n i i s x x n = = − −  2 2 1 1 ; 1 n i i x nx n =   = −   −    2 1 1 ( ) 1 n i i s x x n = = − −  2 2 1 1 ( ); 1 n i i x nx n = = − −  它们的样本观察值分别为

*二、经验分布函数 定义：设X,X2,.,Xn是来自总体F的一个样本，s(x) 表示X1,X2,Xm中不大于x的随机变量的个数，则称 F.(9=四(-0<x<0)为经验分布函数。 例1：设总体F的一个样本值为1,2,3，则经验分布函数的 观察值为 0 x<1 1/3 1≤x<2 F(x)={ 2/3 2≤x<3 1 3≤x

*二、经验分布函数 3 F x( )    =     0 x  1 1 / 3 1 2   x 2 / 3 2 3   x 1 3  x 1 2 1 2 , , , ( ) , , , ( ) ( ) ( ) n n n X X X F s x X X X x s x F x x n = −   + 设 是来自总体 的一个样本， 表示 中不大于 的随机变量的个数，则称 定义： 为经验分布函数。 例1：设总体F的一个样本值为1，2，3，则经验分布函数的 观察值为

一般地， 设x1,x2,xn是总体F的一个容量为n的样本值， 将x1,x2,x按自小到大的顺序重新排列，并重新编 号，记为x山≤x2)≤.≤xm2 则经验分布函数的观察值为 0 x<X四 . F(x)= k xO≤x<xk+l n 1 xm≤x

一般地， 设 x x xn , , , 1 2  是总体F的一个容量为n的样本值， 将x x xn , , , 1 2  按自小到大的顺序重新排列，并重新编 号，记为 x(1)  x(2)  x(n)， (1) ( ) ( 1) ( ) 0 ( ) . 1 n k k n x x k F x x x x n x x +      =         则经验分布函数的观察值为

格里汶科定理对于任一实数x,当n→o时， Fn(x)以概率1收敛于分布函数F(x),即 P-即-fw=-l 说明：对于任一实数x,当n充分大时，经验 分布函数的任一观察值F(x)与总体分布函数 F(x)只有微小的差别，从而可当作F(x)来使用

格里汶科定理 对于任一实数 x，当n → 时， F ( x) n 以概率 1 收敛于分布函数F(x)，即 lim sup ( ) ( ) 0 = 1       − = − + → P F x F x n x n 。 说明：对于任一实数 x，当 n 充分大时，经验 分布函数的任一观察值 F (x) n 与总体分布函数 F(x) 只有微小的差别，从而可当作 F(x) 来使用

三、统计三大抽样分布 统计量的分布称为抽样分布 要求：牢记三大分布的定义、性质、密度函数图形轮廓； 并能够查表计算. (一)X分布设X,X2,·,Xn是来自总体N0,)的一个样本， 则称统计量x=X?+X好+.+X服从自由度为n的x分布，记 为x~x(m)。自由度指定义式中包含的独立变量的个数. f(y)1 概率密度为 n=4 -y2e2,y>0 f)=22r 0 其它 随着的增大，密度曲线逐渐趋于平缓、对称

三、统计三大抽样分布 统计量的分布称为抽样分布. 2 （一） 分布 设 1 2 , , , X X Xn是来自总体 N(0,1) 的一个样本， 则称统计量 2 2 2 2  = + + + X X X 1 2 n服从自由度为 n 的 2  分布，记 为 2 2   ~ ( ) n 。 自由度指定义式中包含的独立变量的个数. 1 2 2 2 1 0 ( ) . 2 ( ) 2 0 n y n y e y n f y  − −    =     ， 其它 概率密度为 n = 4 n = 10 n = 1 随着n的增大，密度曲线逐渐趋于平缓、对称. 要求：牢记三大分布的定义、性质、密度函数图形轮廓； 并能够查表计算. y f y( )O

P51第二章第5节例3 XN0,0→y=X2-20=r52) P78第三章第5节例3 X;~T(a,)(i=1,2,.,n)且相互独立 x+x,+.x-(o0)

P51 第二章第5节例3 P78 第三章第5节例3 X N~ (0, 1) 2 2  = Y X ~ (1)  1 ( 2) 2 =  ， ~ ( , )( 1,2, , ) X i n i i  =   且相互独立 1 2 1 ~ ( , ) n n i i X X X   =  + + +  

下面推导x(n)的概率密度： 现X,~N(0,1),由定义X~x(I), 即X-r22.=12,m. 再由X1,X2,Xn相互独立知X,X,X 也相互独立， 由Γ分布的可加性知父-2x:-r《22 即得x()分布的概率密度，如前面所示

再由X X Xn , , , 1 2  相互独立知 由分布的可加性知 即得 ( ) 2  n 分布的概率密度，如前面所示。 2 2 2 2 1 , , , X X  Xn 也相互独立， 下面推导 ( ) 2  n 的概率密度： 即 2) 2 1 ~ ( 2 Xi  ， ，(i = 1, 2,  , n)。 现X ~ N(0, 1) i ， 由定义 ~ (1) 2 2 Xi  ， 2 2 1 n i i  X = =  ~ ,2 , 2   n    