《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第三章 多维随机变量及其分布 3.4 相互独立的随机变量

第四节相互独立的随机变量 一、两个随机变量的相互独立性 二、n个随机变量的相互独立性

一、两个随机变量的相互独立性 二、 n 个随机变量的相互独立性 第四节 相互独立的随机变量

一、两个随机变量的相互独立性 定义设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}, 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X与Y是相互独立的。 X与Y相互独立 一对任意x,y,随机事件{X≤x}与Y≤y}相互独立

一、两个随机变量的相互独立性 定 义 设 ( , ) ( ), ( ) F x y F x F y 及 X Y 分别是二维随机变量 （X，Y）的分布函数及边缘分布函数。若对于所有 x, y 有 P X x Y y P X x P Y y { , } { } { },   =   即 ( , ) ( ) ( ), F x y F x F y = X Y 则称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。    对任意x y X x Y y ， ，随机事件 与 相互独立． X Y 与 相互独立

若(X,)为离散型随机变量 X与Y相互独立台P{X=x,Y=y}=P{X=x}PY=y} 台卫=P。·P i,j=1,2,-. 若（X,Y)为连续型随机变量 X与Y相互独立台f(x,y)=fx(x)fr(y) 在全平面上几乎处处成立

{ , } { } { }  = = = = = P X x Y y P X x P Y y i j i j 若（X，Y）为离散型随机变量 ij i j p p p  =  • • X Y 与 相互独立 若（X，Y）为连续型随机变量 ( , ) ( ) ( ) X Y  = f x y f x f y 在全平面上几乎处处成立。 X Y 与 相互独立 i j , 1, 2, . =

补例设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 2 3 1 1-6 1-9 1 18 1 2 3 a B 试确定常数，B使得随机变量X与Y相互独立. 解：由表可得，随机变量X与Y的边缘分布律为

补例 设二维离散型随机变量( , ) X Y 的联合分布律为 试确定常数  ， 使得随机变量 X Y 与 相互独立． 解： 由表可得，随机变量 X Y 与 的边缘分布律为 1 2 3 111 1 6 9 18 1 2 3 X Y  

1 2 3 P.j 1 1 1 1 1 6 9 18 3 1 1 2 0 B +a+B 3 1 P 2 +a 8+B 如果随机变量X与Y相互独立，则有 P=P.P（i=1,2,3,j=1,2)由此得 r(x-zx-x2aa-3 -e(x-3.v-1-(x-3(v-1)-t3 18 令B=写

ij i j p p p =   由此得 如果随机变量 X Y 与 相互独立，则有 (i j = = 1,2,3 1,2 ； )   1 2, 1 9 = = = P X Y = = = P X P Y  2 1    1 1 9 3    = +      2 9  =    1 3, 1 18 = = = P X Y = = = P X P Y  3 1    1 1 18 3    = +      1 9  =  X Y 1 2 3 1111 1 6 9 18 3 1 1 2 3 3 1 1 1 2 9 18 j i p p       + + + +

2 3 1 1-6 1 1 1 2 9 18 1 2 二32 3 9 9 3 Pi. 1-2 1 3 6 可以验证，此时有 Pi=Pi.P.j （i=1,2,3;j=1,2） →X与Y相互独立

ij i j p p p = (i j = = 1, 2, 3 1, 2 ； ) 可以验证，此时有  X Y 与 相互独立． X Y 1 2 3 1111 1 6 9 18 3 1 2 1 2 2 3 9 9 3 111 2 3 6 j i p p

补例设随机变量X和Y相互独立，并且X服从N(a,σ2)， Y在一b,b]上服从均匀分布，求(X,Y)的联合概率密度. 解 fx(x)= ,-0<X<0; 2πo f(0)= 2b' -b≤y≤b, 0,其他 而X与Y相互独立， 所以f(x,y)=fx()·f,(y) 1e2w,四<x<0,-bsy≤ 2bV2πo 0 其他

2 , ( , ), [ , ] , ( , ) . X Y X N a σ Y b b X Y − 设随机变量 和 相互独立 并且 服从 在 上服从均匀分布 求 的联合概率密度 补例 解 而X 与Y 相互独立, 2 2 ( ) 2 1 ( ) , ; 2 x a σ X f x e x  σ − − = −     1 , , ( ) 2 0, Y b y b f y b   −   =    其他 2 2 ( ) 2 1 1 , 2 2 0 , x a σ e x b y b b  σ −  −   −     −   =    ， 其他 ( , ) ( ) ( ) X Y 所以 f x y f x f y = 

定理二维正态变量X,Y独立一P=0. 维正态随机变量(X,),它的概率密度为 1 f(x,y)= 2πo1o2V1-p o-n-} :ep121-p7 0102 -000,02>0，-1<p<1. _(x-A)2 1 e ai,-05x5 fx心)=2mG 1。 (0y-42)2 e2，-0<y<o. √2π02

二维正态随机变量( , ) X Y ，它的概率密度为 −    −     x y , , 1 2 1 2 1 2 其中 μ , , , , , 0, 0, 1 1. μ σ σ ρ都是常数 且 σ   −   σ ρ 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( , ) 2 1 1 ( ) ( )( ) ( ) exp 2 2(1 ) f x y σ σ ρ x μ x μ y μ y μ ρ ρ σ σ σ σ  = −     −   − − − −  − +         −   2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) , . 2π y μ σ Y f y e y σ − − = −     2 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) , . 2π x μ σ X f x e x σ − − = −     定理 二维正态变量X Y, 0. 独立  = ρ

例.一负责人到达办公室的时间均匀分布在812 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时， 设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办 公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时)的概率 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间， 由假设X和Y的概率密度分别为 人am- 1/2,7<y<9, 由于X,Y相互独立，f(x,y)=fx(x)fr(y) =1V/8,8<r<2,7<y<9, 0,其它

解 设 X Y 和 分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间, 例. 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟（1/12小时）的概率. 由假设 X Y 和 的概率密度分别为 1 4, 8 12, ( ) 0, , X x f x    =   其它 由于 X Y, , 相互独立 ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y = 1 8, 8 12,7 9, 0, .      x y =   其它 1 2, 7 9, ( ) 0, , Y y f y    =   其它

f(x,y)=fx(x)fy(y) 1/8,8<x<12,7<y<9, 0, 其他 y PX-Y≤1/12} 9 =J∬f,)dxdy B 7 =j∬sdxdy 0 8×(G的面积). 1 8 12x

1 8, 8 12,7 9, 0,      x y =   其他 P X Y { 1 12} − ( , )d d G = f x y x y 1 ( ). 8 =  G 的面积 O x y 8 • 12 • 7 9 A B B C C G ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y = 1 d d 8 G = x y 