《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第一章 概率论的基本概念 1.5 条件概率

第五节 条件概率 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式

一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 第五节 条件概率

一、条件概率 10引入 例1：将一枚硬币抛掷两次，观察正反两面的情况，设A: “至少有一次为正”，B:“两次掷出同一面”。 求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 分析： 样本空间S={HH,HT,TH,TT}, A=(HH,HT,TH,B=(HH,TT),AB=HH. 事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，记为P(BA), 由古奥概率公式计算得P81④} 则P(BA)=I=1Y4-P(AB) 33/4P(A)

例1: 将一枚硬币抛掷两次 ,观察正反两面的情况，设 A: “至少有一次为正”, B:“两次掷出同一面”. 求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析: 事件A 已经发生的条件下事件B发生的概率,记为 P B A ( ), 1 ( ) 3 则 P B A = 1 4 3 4 = ( ) . ( ) P AB P A = 1 0 引入 一、条件概率 样本空间 S={ , , , } HH HT TH TT ， A={ , , } HH HT TH ，B={ , } HH TT ，AB={ } HH 。 由古典概率公式计算得 1 ( | ) , 3 P B A =

对于古典概型问题，设试验E的样本空间为 S-{e1,e2,en},容量为n,A容量为m,AB容量为k 古具税率得P(4)-公P(48 k P(BA)= kk/n m mn A k B m >P(B|A)= P(AB) P(A)

A B S 对 于 古 典 概 型 问 题 ， 设 试 验 E 的 样 本 空 间 为 S={ , , , } 1 2 n e e  e ，容量为 n，A m AB k 容量为 ， 容量为 ( ) , m P A n = ( ) , k P AB n 由古典概率 得 = ( ) ( | ) ( ) P AB P B A P A = P B A ( | ) km= n m k k n m n =

2定义 设A,B是两个事件，且P(A)>0,称 P(EA)= P(AB) P(A) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率： 注：P(B)≠P(B) 若P(B)>0,同样可称 P(AIB)=P(AB) P(B) 为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率

若P B( ) 0  ，同样可称 ( ) ( | ) ( ) P AB P A B P B = 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。 ( ) ( ) ( ) P AB P B A P A = 2 0 定义 设 A B P A , , ( ) 0, 是两个事件 且  称 为在事件 A B 发生的条件下事件 发生的条件概率. 注：P( ) B A  P( ). B

30性质 P(BA)=P(AB) P(A) 条件概率P(A)符合概率定义中的三个条件（可验证） 1°非负性：P(B|A)≥0 2°规范性：P(S|A)=1 3°可列可加性：设B,B2,.是两两互不相容的事件，有 PB14=∑PB,1M 所以，概率具有的性质都适用于条件概率. 如：P(A|B)=1一P(AB) P(4UA,B)=P(AB)+P(4,B)=P(A4B)

条件概率P( |A)符合概率定义中的三个条件(可验证) 1°非负性：P B A ( | ) 0  2°规范性：P S A ( | ) 1 = 3°可列可加性 ：设 1 2 B B, , 是两两互不相容的事件，有 1 1 ( | ) ( | ) i i i i P B A P B A   = = =  3 0 性质 如：P A P A ( ) ( ) | | B B = −1 1 2 1 2 1 2 P A A B P A B P A B P A A B ( ) ( | ) ( | ) ( | ) = + − 所以，概率具有的性质都适用于条件概率. ( ) ( | ) ( ) P AB P B A P A =

40计算及应用 例2盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品.从中 取两次，每次任取一只，作不放回抽样. 设“第一次取到一等品”， B:“第二次取到一等品”， 求P(BA) 第一次取到一等品的条件下第二次取到一等品的概率 解1：由条件概率的公式得 PEA0-X1B-12_-2 P(A09/123

例2 盒子装有4 只产品,其中3 只一等品，1只二等品. 从中 取两次,每次任取一只，作不放回抽样. 设 A:“第一次取到一等品” , B :“第二次取到一等品”, 求P(B|A). 4 0 计算及应用 解 1： 第一次取到一等品的条件下第二次取到一等品的概率 由条件概率的公式得 ( ) ( ) ( ) P AB P B A P A = 6 12 9 12 = 2 = . 3

例2盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品.从中 取两次，每次任取一只，作不放回抽样. 设“第一次取到一等品”， B:“第二次取到一等品”， 求P(BA). 第一次取到一等品的条件下第二次取到一等品的概率 解2：将产品编号，1,2,3为一等品；4号为二等品. 以(i,)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号 产品，则试验的样本空间为S={1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3)2(2,4), (3,1),(3,2), (3,4), (4,1),(4,2),(4,3)}

例2 盒子装有4 只产品,其中3 只一等品，1只二等品. 从中 取两次,每次任取一只，作不放回抽样. 设 A:“第一次取到一等品” , B :“第二次取到一等品”, 求P(B|A). ( , ) , 以 i j i j 表示第一次、第二次分别取到第 号、第 号 产品 则试验的样本空间为 {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) , (3,1), (3,2), (3,4) , (4,1), (4,2), (4,3)} S = 解 2： 将产品编号, 1, 2, 3 ; 4 . 为一等品 号为二等品 第一次取到一等品的条件下第二次取到一等品的概率

A={1,2)2 (1,3)2 (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4)}, B={1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}, AB={1,2), (1,3) (2,1), (2,3) (3,1), (3,2)}, .P(B A)= 6_2 样本空间缩减为A: 3

{(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4)}, A = {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, AB = 样本空间缩减为A:  = P B A ( ) 6 2 9 3 = {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2) (4,1), (4,2), (4,3)}, ， B =

补例某动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁 以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活 到25岁以上的概率？ 解设A表示“能活20岁以上”的事件； B表示“能活25岁以上”的事件， 则P(A)=0.8,P(B)=0.4,且BcA, 所以P(BA0=PMB=PB)0.41 P(A)P(A) 0.821

补例 某动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁 以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活 到25岁以上的概率? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则 P A( ) 0.8, = P B( ) 0.4, = 且 B A  ， 0.4 1 . 0.8 2 = = ( ) ( ) ( ) P AB P B A P A 所以 = 解 ( ) ( ) P B P A =

二、 乘法定理 设P(A)>0,则有P(AB)=P(BA)P(A (乘法公式) 设A,B,C为事件，且P(AB)>0,则有 三个事件的 P(ABC)=P(CAB)P(B A)P(A) 乘法公式 推广设A1,A2,.,An为n个事件，n≥2， 且P(A1A2.An1)>0,则有 P(4A.An)=P(4n44.A)P(4n44.An2) P(444)P(44)P(4) 注：先发生的为条件！

二、 乘法定理 1 2 1 ( ) 0, 且 P A A An−  则有 1 2 , , , , 2, 推广 设 A A A n n n 为 个事件  设 A B C P AB , , , ( ) 0, 为事件 且  则有 P ABC P C AB P B A P A ( ) ( ) ( ) ( ) = 设 P( ) 0 A  ,则有 P AB P B A ( ) ( ) = P( ). A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 2 3 1 2 2 1 1 P A A A P A A A A P A A A A n n n n n P A A A P A A P A =  − − − （乘法公式） 三个事件的 乘法公式 注：先发生的为条件！