《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）4-4 矩、协方差矩阵

第四节矩、协方差矩阵 一、基本概念 二、n维正态变量的性质 三、小结

一、基本概念 二、n 维正态变量的性质 三、小结 第四节 矩、协方差矩阵

、 基本概念 1.定义 设X和Y是随机变量，若E(Xk),k=1,2,. 存在，称它为X的k阶原点矩简称k阶矩 若 E{IX-E(X)]},k=2,3,. 存在，称它为X的k阶中心矩 若E(X“Y),k,1=1,2,. 存在，称它为X和Y的k+I阶混合矩 若E{[X-E(X)]K[Y-E(Y)J),k,1=1,2,. 存在，称它为X和Y的k+I阶混合中心矩

, , . , ( ), 1,2, X k 阶原点矩 k 阶 矩 X Y E X k k 存在 称它为 的 简称 设 和 是随机变量 若 =  , . {[ ( )] }, 2,3, X k 阶中心矩 E X E X k k 存在 称它为 的 若 − =  , . ( ), , 1,2, X Y k l阶混合矩 E X Y k l k l + = 存在 称它为 和 的 若  一、基本概念 1.定义 , . {[ ( )] [ ( )] }, , 1,2, X Y k l 阶混合中心矩 E X E X Y E Y k l k l + − − = 存在 称它为 和 的 若 

2.说明 ()以上数字特征都是随胶量函数的数学期望 (2)随机变量X的数学期望E(X)是X的一阶原 点矩，方差为二阶中心矩，协方差Cow(X,Y)是X 与Y的二阶混合中心矩； (3)在实际应用中高于4阶的矩很少使用 三阶中心矩EIX-E(X)3}主要用来衡量随 机变量的分布是否有偏 四阶中心矩EX-E(X)4}主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何

2. 说明 ; , , Cov( , ) (2) ( ) 与 的二阶混合中心矩 点矩 方差为二阶中心矩 协方差 是 随机变量 的数学期望 是 的一阶原 Y X Y X X E X X (1)以上数字特征都是随机变量函数的数学期望; (3) 在实际应用中,高于4阶的矩很少使用. . {[ ( )] } 3 机变量的分布是否有偏 三阶中心矩E X − E X 主要用来衡量随 . {[ ( )] } 4 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何 四阶中心矩 E X − E X 主要用来衡量随

3.协方差矩阵 设n维随机变量(X1,X2,Xm)的二阶混合 中心矩 c=Cov(Xi,X)=EIXi-E(XiX;-E(Xi)] i,j=1,2,.,n 都存在，则称矩阵 C12 C= C21 C22 Cn2 nn 为n维随机变量的协方差矩阵

3. 协方差矩阵 中心矩 设 n 维随机变量(X1 , X2 ,, Xn )的二阶混合 , , 1,2, , Cov( , ) {[ ( )][ ( )] 都存在 i j n cij Xi X j E Xi E Xi X j E X j =  = = − − 则称矩阵               = n n nn n n c c c c c c c c c C       1 2 21 22 2 11 12 1 为 n 维随机变量的协方差矩阵

例如二维随机变量(X1,X2)的协方差矩阵为 C21 其中C,=E{X,-E(X)2), C12=EX1-E(X1X2-E(X2, C21=EX2-E(X2)X1-E(X1), C22=EX2-E(X2)}:

例如 二维随机变量(X1 ,X2 )的协方差矩阵为       = 21 22 11 12 c c c c C {[ ( )] }, 2 1 1 E X1 E X1 其中 c = − {[ ( )][ ( )]}, 12 E X1 E X1 X2 E X2 c = − − {[ ( )][ ( )]}, 21 E X2 E X2 X1 E X1 c = − − {[ ( )] }. 2 22 E X2 E X2 c = −

由于c=ci(i,j=1,2,n),所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵， 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究

. ( , 1,2, , ) , 阵为对称的非负定矩阵 由于 cij = c ji i j =  n 所以协方差矩 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究

以二维随机变量(X,X,)为例. 由于 1 f,x,）=2no,021-p 入矩阵x=)=-气 及(X,X2)的协方差矩阵C= C11 C21

( , ) . 以二维随机变量 X1 X2 为例 . ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 ( , ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2             − + − − − − − − − = σ x μ σ σ x μ x μ ρ σ x μ ρ σ σ ρ f x x 由于 引入矩阵 , 2 1       = x x X . 2 1       = μ μ μ 及 (X1 , X2 )的协方差矩阵 , 21 22 11 12       = c c c c C

3)-e 由此可得

      = 21 22 11 12 c c c c C , 2 1 2 2 1 2 2 1         = ρσ σ σ σ ρσ σ 由此可得         − − = − 2 1 2 1 1 2 2 1 2 det 1 ρσ σ σ σ ρσ σ C C . (1 ) 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1         − − − = ρσ σ σ σ ρσ σ σ σ ρ

由于 (X-)C(X-) detc( 62 32oo21 =-

      − −         − − = − − − − − 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 T 1 ( , ) det 1 ( ) ( ) x μ x μ ρσ σ σ σ ρσ σ x μ x μ C X μ C X μ . ( )( ) ( ) 2 ( ) 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2       − + − − − − − = σ x μ σ σ x μ x μ ρ σ x μ ρ 由于

于是(X1,X2)的概率密度可写成 f(x1,x2) nc-rcw-叭

于是(X1 ,X2 )的概率密度可写成( ) ( ) . 2 1 exp (2π) (det ) 1 ( , ) 1 2 2 1 2 1 2       = − − − − X μ C X μ C f x x T