《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）7-2 基于截尾样本的最大似然估计

第二节 基于截尾样本的最 大似然估计 一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计 三、小结

第二节 基于截尾样本的最 大似然估计 一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计 三、小结

、 基本概念 1.寿命分布的定义 产品寿命T是一个随机变量，它的分布称为寿 命分布. 2.完全样本的定义 将随机抽取的n个产品在时间t=0时，同时 投入试验直到每个产品都失效.记录每一个产 品的失效时间，这样得到的样本（即由所有产品 的失效时间0≤t1≤t2≤.≤tn所组成的样本) 叫完全样本.（一种典型的寿命试验）

一、基本概念 1. 寿命分布的定义 产品寿命T 是一个随机变量,它的分布称为寿 命分布. 2. 完全样本的定义 . 0 ) , ( . 0 , 1 2 叫完全样本 的失效时间 所组成的样本 品的失效时间 这样得到的样本 即由所有产品 投入试验直到每个产品都失效 记录每一个产 将随机抽取的 个产品在时间 时 同时 n t t t n t     =  (一种典型的寿命试验)

如果不能得到完全样本，就考虑截尾寿命试验 3.两种常见的截尾寿命试验 ()定时截尾寿命试验 假设将随机抽取的n个产品在时间t=0时 同时投入试验试验进行到事先规定的载尾时 间t。停止，如试验截止时共有m个产品失效， 它们的失效时间分别为0≤t1≤t2≤.≤tm≤t, 此时m是一个随机变量所得的样本t1,t2,.,tm 称为定时截尾样本

如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验. 3. 两种常见的截尾寿命试验 (1) 定时截尾寿命试验 . , , , , 0 , , , , 0 1 2 1 2 0 0 称为定时截尾样本 此 时 是一个随机变量 所得的样本 它们的失效时间分别为 间 停 止 如试验截止时共有 个产品失效 同时投入试验 试验进行到事先规定的截尾时 假设将随机抽取的 个产品在时间 时 m m m t t t t t t t t m n t      =

(2)定数截尾寿命试验 假设将随机抽取的n个产品在时间t=0时 同时投入试验试验进行到有m个(m是事先规 定的，m<m)产品失效时停止m个产品的失效 时间分别为0≤t1≤t2≤.≤tm,这里tm是第m 个产品的失效时间所得的样本1，t2,.,tm称 为定数截尾样本

(2) 定数截尾寿命试验 . , , , , 0 , , ) , , ( 0 1 2 1 2 为定数截尾样本 个产品的失效时间所得的样本 称 时间分别为 这 里 是 第 定 的 产品失效时停止 个产品的失效 同时投入试验 试验进行到有 个 是事先规 假设将随机抽取的 个产品在时间 时 m m m t t t t t t t m m n m m m n t      =

、基于截尾样本的最大似然 估计 设产品的寿命分布是指数分布， 1-4 e o 其概率密度是f(t)={0 t>0, >0未知. 0, t≤0， 1.定数截尾样本的最大似然估计 设有n个产品投入定数截尾试验，截尾数为m, 得定数截尾样本0≤t1≤t≤.≤tm

二、基于截尾样本的最大似然 估计 1. 定数截尾样本的最大似然估计 设产品的寿命分布是指数分布, 其概率密度是        = − 0, 0, e , 0, 1 ( ) t t f t t     0 未知. 设有n个产品投入定数截尾试验, 截尾数为m, 得定数截尾样本 0 , 1 2 m  t  t  t

利用这一样本估计未参数B(产品的平均寿命 在时间区间[0，t,mJ有m个产品失效， 有n-m个产品的寿命超过tm: 利用最大似然估计法来估计0， 为了确定似然函数，观察上述结果出现的概率， 产品在(，t+dt,失效的概率近似地为 1-5 f6)4=合ed,i=l.2,m

利用这一样本估计未知参数 (产品的平均寿命). 在时间区间[0, t ]有 m 个产品失效, m . m 有n − m 个产品的寿命超过 t 利用最大似然估计法来估计 , 为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率. e d , 1,2, , . 1 ( )d ( , d ] f t t t i m t t t i t i i i i i i = =  + −   产品在 失效的概率近似地为

其余n-m个产品寿命超过tm的概率为 上述观察结果出现的概率近似地为 ga8小er (n ]2e可%+++mt”-"mm dtdt2.dtm, 其中dt1,dt2,.,dtm为常数

其余 个产品寿命超过 的概率为 m n − m t n m t t m t −  −          e d 1   (e ) , n m tm − − =  上述观察结果出现的概率近似地为 n m t m t t tm m t t t m n − − − − −                               e d (e ) 1 e d 1 e d 1 1 2 1 2         e d d d , 1 1 2 [ ( ) ] 1 1 2 m t t t n m t m t t t m n m m  − + ++ + −       =   d , d , , d . 其中 t 1 t 2  tm 为常数

L(0)=1 、 取似然函数为 ②e⊙1G+++tm+(n-m)tm] 对数似然函数为 InL(0)-mln0-gl.+t,+.++(-mab 令d、 nL(0)=0, 则 62l6+6++tm+(n-m)nl=0

取似然函数为 e . 1 ( ) [ ( ) ] 1 t1 t2 tm n m tm L m − + + + + − =     对数似然函数为 [ ( ) ], 1 ln ( ) ln 1 2 m m L = −m − t + t ++ t + n − m t    ln ( ) 0, d d  =  令 L [ ( ) ] 0, 1 − + 2 t 1 + t 2 + + tm + n − m tm = m    则

得到8的最大似然估计值为自=s(m) m 其中s(tm)=t1+i2+.+tm+(n-m)tm称为总 试验时间，它表示直到时刻t,为止n个产品的 试验时间的总和. 2.定时截尾样本的最大似然估计 设定时截尾样本0≤t1≤t2≤.≤tm≤to, (其中t。是截尾时间)与上面讨论类似

得到 的最大似然估计值为 . ( ) ˆ m s tm  = . , ( ) ( ) 1 2 试验时间的总和 试验时间 它表示直到时刻 为止 个产品的 其中 称为总 t n s t t t t n m t m m = + ++ m + − m 2. 定时截尾样本的最大似然估计 设定时截尾样本 0 , 1 2 0 t t t t    m  ( ) 其中t 0 是截尾时间 与上面讨论类似

得似然函数为 L(0)= +5+m-ml 的最大似然估计值为 0=S(o) m 其中s(t)=t1+t,+.+tm+(n-m)称为总 试验时间，它表示直到时刻t,为止n个产品的 试验时间的总和

得似然函数为 e . 1 ( ) [ ( ) ] 1 1 2 0 t t t n m t m m L − + + + + − =      的最大似然估计值为 , ( ) ˆ 0 m s t  = . , ( ) ( ) 0 0 1 2 0 试验时间的总和 试验时间 它表示直到时刻 为止 个产品的 其中 称为总 t n s t t t t n m t = + ++ m + −