《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数

第三节1 随机变量的分布函数 一分布函数的概念 二.分布函数的性质 重点：求分布函数； 用概率分布计算有关事件的概率

一.分布函数的概念 二.分布函数的性质 重点： 求分布函数; 第三节 随机变量的分布函数 用概率分布计算有关事件的概率

对于离散型随机变量X P{X=xx}=p,k=1,2, 或 X X2 X3 。 p P P2 P3 利用分布律描述 问题： 非离散型随机变量 ?? PIX=a)-0,VaER

{ } , , , 1 2 P X x p k = = = k k 对于离散型随机变量 X 问题： 非离散型随机变量 1 2 3 1 2 3 X x x x p p p p 或 ?? 利用分布律描述 P X a a R { } 0, = =  

关心：P{x<X≤，}=？ Px<X≤x,}=P(XsxP(X]→P{X≤}=Fw) F(x2) F(x) 分布函数

P x X x { } 1 2   =  −  2 1 P X x P X x { } { } 2 F x( ) 1 F x( ) 分布函数 x1 x2 x 关心：P x X x  1 2   = ?   P X x   = F x( )

一、分布函数的概念 定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 称为X的分布函数.(Distribution Functior) 说明： (I)分布函数F(x)是x的普通实函数， 定义域(-∞，o);对应法则：F(x)=P{X≤x} (2)Fx)反映随机变量取值X≤x的概率，故又称累计概率 函数

, ( ) { . , } X x F x X x X =  P 定义 设 是一个随机变量 是任意实数 函数 称为 的分布函数 一、分布函数的概念 (Distribution Function) 说明： (2) F(x)反映随机变量取值X ≤x的概率，故又称累计概率 函数. (1) ( ) : (x) { } F x x 定义 −   F P X x =  分布函数 是 的普通实函数， 域（ ， ）；对应法则

说明： (3)随机变量X落在任一区间(x1,x2】]上的概率 P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x). 即，Fx)完整地描述了随机变量的统计规律性

1 2 P x X x { }   2 1 =  −  P X x P X x { } { } 2 1 = − F x F x ( ) ( ). 1 2 （3）随机变量 X x x 落在任一区间( , ]上的概率 x X o 1 x 2 x 即，F(x)完整地描述了随机变量的统计规律性。 说明：

说明： (4)分布函数的几何意义 将随机变量X(离散、连续)看作数轴上随机点的坐标， 则 F(x)=P{X≤x 表示X落在区间(-o,x上的概率

（4）分布函数的几何意义 x 说明： 将随机变量X（离散、连续）看作数轴上随机点的坐标， 表示X x 落在区间( , ] − 上的概率. 则 F P ( ) { } x =  X x

说明： Fx)=P{X≤x} (5)若随机变量的分布函数已知，可以求各种随机事件发生 的概率。 P{aa)=1-P(X<a)=1-F(a) P(X<D=PX<B-PIX=b=F(b)-PX=b P(a<X<b)=P(a<X<b)-P(X=DF(b)-F(a)-P(X=b) P{a≤X≤b}=F(b)-F(a)+P{X=d

P a X b { }   = − F b F a ( ) ( ) P X a { }  = −  = − 1 { } 1 ( ) P X a F a = − − = F b F a P X b ( ) ( ) { } P a X b { }   P X b { }  =  − = = − = P X b P X b F b P X b { } { } ( ) { } （5）若随机变量的分布函数已知，可以求各种随机事件发生 的概率。 说明： F P ( ) { } x =  X x P X F { } ( )  = a a= { } { } P a X b P X b   − = P a X b { }   = − + = F b F a P X a ( ) ( ) { }

二、分布函数的性质 (1)F(x)是一个不减函数. 单调不减性 证明：设x1<x2,有F(x2)-F(x) =P{X≤x2}-P{X≤x} =P{x1<X≤x2}≥0，→Fx)≤F(x2)

证明：设 1 2 x x  ，有 2 1 F x F x ( ) ( ) − 2 1 =  −  P X x P X x { } { } 1 2 =   P x X x { }  0, 1 2   F x F x ( ) ( ) （1 ( ) ）F x 是一个不减函数. 二、分布函数的性质 单调不减性

(2)0≤F(x)≤1，且 有界性 F(-o)=limF(x)=0F(o)=limF(x)=1.规范性 X00 分析：F(x)=P{X≤x,当x越来越小时， {X≤x}趋于不可能事件因而当x→-0时，有 limF(x)=imP{X≤x}=0 000 0 ox 同理 lim F(x)=lim P(X<x)=1. X→00 (③)F(x)处处右连续。（证略) 右连续性 lim F(x)=F(xo),(oox<oo). x→x0

F x P X x ( ) { }, =  lim ( ) lim { } 0 x x F x P X x →− →− =  = o x 分析： 当 x 越来越小时, 因而当 x → −时,有 lim ( ) lim { } 1. x x F x P X x → → 同理 =  = { } X x  趋于不可能事件 ( ) lim ( ) 1. x F F x →  = = （2 0 ( ) 1 ）   F x ，且 ( ) lim ( ) 0 x F F x →− − = = （3 ( ) ）F x 处处右连续。（证略） 0 0 0 lim ( ) ( ), ( ). x x F x F x x → + = −    有界性 规范性 右连续性

分布函数性质的应用： 1、判断一个函数是否可以作为随机变量的 分布函数； 2、利用规范性和右连续性可以求分布函数 中的未知参数

分布函数性质的应用： 1、判断一个函数是否可以作为随机变量的 分布函数； 2、利用规范性和右连续性可以求分布函数 中的未知参数