《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第五章 大数定律及中心极限定理 5.1 大数定律

第五章大数定律及中心极限定理 第一节大数定律 一、问题的引入 二、基本定理

一、问题的引入 二、基本定理 第五章 大数定律及中心极限定理 第一节 大数定律

一、问题的引入 第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在 实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳 定性，这种稳定性正是大数定律的客观背景。 复习：切比雪夫不等式 定理设随机变量X具有数学期望E(X)=4,方差D(X)=σ， 则对于任意正数名有不等式PK-Mg :1D)

  定 设随机变量 具有数学期望 ，方差 则对于任意正数 ， 不等式 理 有 2 2 2 ( ) ( ) , . X E X μ D X σ σ ε P X μ ε ε = = −   复习：切比雪夫不等式   2 ( ) ( ) 1 D X P X E X ε ε 或： −   − 第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在 实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳 定性， 这种稳定性正是大数定律的客观背景。 一、问题的引入

切比雪夫不等式：PX-E(K)<≥1- D(X) 二、基本定理 定理一辛钦大数定理（弱大数定理)Khinchin 设随机变量X1,X2,Xn,.相互独立，服从同一分布，且 E(X)=4(k=1,2,),则对于任意正数，有 2水- 证：只针对方差D(X)=σ2(k=1,2,)存在的情形给出证明。 记元=2X。则=4m0-是g 由切比雪夫不等式得 p2x-41 在上式中令n→o, imPEx-ce-1

1 2 , , , , , , ( ) ( 1,2, ) , n k X X X E X k = =   设随机变量 相互独立 服从同一分布 且 ，则对于任意正数 有 1 1 lim 1. n k n k P X n   →  =     −  =    定理一 辛钦大数定理（弱大数定理）Khinchin 二、基本定理 证：只针对方差 2 ( ) ( 1,2, ) D X k k = =  存在的情形给出证明。 2 ( ) { ( ) } 1 D X P X E X ε ε 切比雪夫不等式： −   − 1 n , n  =   2 2 2 1 n , n n  则E X( ) = D X( ) =  =  1 1 n k k X X n = 记 =  ， 2 2 1 1 1 , n k k P X n n    =      −   −   由切比雪夫不等式得  在上式中令 n → ， 1 1 lim 1. n k n k P X n   →  =     −  =   

说明： x-4< (1)辛饮大数定律表明：若随机变量序列X1,X2,.Xm,.独立同 分布，当很大时，它们的算术平均值上x,很可能接近于 1k=1 =2x (2)辛钦大数定律并不要求方差存在

(1) 辛钦大数定律表明：若随机变量序列 1 2 , , , X X Xn 独立同 分布，当 n 很大时，它们的算术平均值 1 1 n k k X n =  很可能接近于 说明: (2) 辛钦大数定律并不要求方差存在 1 1 n k k E X n =   =       1 1 lim 1. n k n k P X n   →  =     −  =   

定义设y,Y2,.y,.是一个随机变量序列，a是一个 常数。若对任意的ε>0，有 imp(y,-a<e)=1, 则称y,Y2,.Yn,.依概率收敛于a,记作 YPa. 性质：若Xnp→a,YnP→b,函数gk,y)在点(a,b) 连续，则g(Xm,Yn)P→g(a,b)。 辛钦大数定理（弱大数定理）可表述为： 设随机变量X1,X2,Xn,.相互独立，服从同一分布，且 E=“k=2以则X=2X一4

定义 设 1 2 , , , Y Y Yn 是一个随机变量序列，a 是一个 常数。若对任意的 ε >0，有 lim 1  n  n P Y a  →  −  = ， 则称 1 2 , , , Y Y Yn 依概率收敛于 a，记作 P Y a n ⎯⎯→ . 性质：若 P X a n ⎯⎯→ ， P Y b n ⎯⎯→ ，函数 g(x, y)在点(a,b) 连续，则 ( , ) ( , ) P n n g X Y g a b ⎯⎯→ 。 1 2 , , , , , , ( ) ( 1,2, ) n k X X X E X k = =  设随机变量 相互独立 服从同一分布 且 ，则 辛钦大数定理（弱大数定理）可表述为： 1 1 n P k k X X n  = = ⎯⎯→ 

补例设随机变量X1,X2,.,Xm,.独立同分布，且E(X)=0, D(X)=o2,k=1,2,.,证明对任意正数8有 =2-水1 解因为X,X2,.,Xm,.是相互独立同分布的， 所以X2,X2,X2,.也是相互独立同分布的， 又E(X2)=D(X)+E(Xk=σ2， 由辛钦定理知 对Fe数a有2x-小-

1 2 2 , , , , ( ) 0, ( ) , 1,2, , n k k X X X E X D X k   = = = 设随机变量 独立同分布，且 证明对任意 例 正数 补 有 解 2 2 1 1 lim 1. n k n k P X n   →  =     −  =    1 2 , , , , 因为 X X Xn 是相互独立同分布的， 2 2 2 1 2 , , , , 所以 X X Xn 也是相互独立同分布的， 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 又 E X D X E X k k k = + 2 =  , 由辛钦定理知 对于任意正数 ,有 2 2 1 1 lim 1. n k n k P X n   →  =     −  =   

定理二（伯努利大数定理)Bernoulli 设∫4是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0，有 胆么小水-1中一n n 正明：写入X代若在饺设检设土-以一 若在第k次试验中A不发生， 则f4=X1+X2+.+Xn,E(X)=p,k=1,2,. 因为X,X2,.,Xn相互独立的，且X,服从同一(0-1)分布， 辛软大数定理.得mP仍X+X++X)外e 即 r悟-<i

证明: 引入 0, , 1, , 1,2, . k k A X k A k  =   = 若在第 次试验中 不发生 若在第 次试验中 发生 定理二（伯努利大数定理）Bernoulli (0 1) , 且Xk服从同一 − 分布 则 , , 0, A f n A p A   设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数 是事件 在每次试验中发生的概率 则对于任意正数 有 lim 1. A n f P p n  →      −  =   1 2 , A n f X X X = + + + 1 2 , , , 因为 X X Xn相互独立的， 即 A P f p n ⎯⎯→ ( ) , 1,2, E X p k k = = 由辛钦大数定理，得 1 2 1 lim ( ) 1, n n P X X X p n  →      + + + −  =   lim 1. A n f P p n  →      −  =   即

说明： (I)伯努利大数定理表明：当重复试验次数n充分大时， 事件A发生的频率能够依概率收敛于事件A的概率p.此定理 以严格的数学形式表达了频率的稳定性. (2)在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件的频 率来代替事件的概率

. 1 . n A A p （ ）伯努利大数定理表明： 频率能够依概率收敛于事件 的概率 当重复试验次数 充分大时， 事件 发生的 此定理 以严格的数学形式表达了频率的稳定性 (2) 在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件的频 率来代替事件的概率。 说明：

内容小结 大数定律 辛钦大数定理 x=2x 伯努利大数定理 频率的稳定性是概率定义的客观基础，而伯努利大数定 理以严密的数学形式论证了频率的稳定性. 大数定律给出了：以算术平均值代替均值、以频率代替 概率、以样本推断总体的理论基础

内容小结 大数定律    伯努利大数定理 辛钦大数定理 频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定 理以严密的数学形式论证了频率的稳定性. 大数定律给出了：以算术平均值代替均值、以频率代替 概率、以样本推断总体的理论基础。 1 1 n P k k X X n  = = ⎯⎯→  A P f p n ⎯⎯→