《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第03章 多维随机变量及其分布 3.4 相互独立的随机变量

概率论与敖理统计 第四节 相互独立的随机变量 一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结

一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结 第四节 相互独立的随机变量

概率轮与数理统外】 一、随机变量的相互独立性 1.定义 设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y 有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}, 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X和Y是相互独立的

. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函 数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y       一、随机变量的相互独立性 1.定义

概率论与散理统计 2.说明 ()若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=i,Y=j}=p,i,j=1,2,. X和Y相互独立 台→PX=x,Y=y}=P{X=x}PY=y, 即pg=P。·Pj

 { , } { } { }, i j i j P X  x Y  y  P X  x P Y  y X 和Y 相互独立 2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 { , } , , 1,2, . P X i Y j p i j     ij . pij pi p j 即  

概率论与数理统外「 (2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f(y),则有 X和Y相互独立→f(x,y)=fx(x)f(y): (3)X和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立

 f (x, y) f (x) f ( y).  X Y (3) X 和Y 相互独立, 则 X 和Y 相互独立 边缘概率密度分别为 则 有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y f (X) 和 g(Y)也相互独立

例1已知(X,Y)的分布律为 概率论与敖理统外 X 0 P(Y=j) 1 2 1 1 6 6 1 2 1 2 6 6 2 P{X=} 1 2 3 1 111 则有：PX=0,了=1=6- 一X一 32 =P{X=0}P{Y=1} 111 PX=0,Y=2=6=32 =一X二 =P{X=0}P{Y=2}

X Y 1 2 6 1 2 6 1 6 P Y j { }  1 2 0 1 2 6 1 2 P X i { }  1 3 2 3 1 例1 已知(X,Y)的分布律为 则有： P X Y { 0, 1}   1 6  1 1 3 2      P X P Y { 0} { 1} P X Y { 0, 2}   1 6  1 1 3 2      P X P Y { 0} { 2}

例1已知(X,Y)的分布律为 概率论与数理统外「 X 0 P(Y=j) 1 2 1 1 6 6 2 1 2 2 6 6 2 2 P{X=} 3 3 1 221 则有：PX=1,Y==6 三一X一 32 =P{X=1P{Y=1} 121 PX=1,Y=2y=63X2 =二×-=P{X=1}P{Y=2} 因此(X,是相互独立的

X Y 1 2 6 1 2 6 1 6 P Y j { }  1 2 0 1 2 6 1 2 P X i { }  1 3 2 3 1 例1 已知(X,Y)的分布律为 则有： P X Y { 1, 1}   2 6  2 1 3 2      P X P Y { 1} { 1} P X Y { 1, 2}   1 6  2 1 3 2      P X P Y { 1} { 2} 因此(X,Y)是相互独立的

概率论与敖理统计 例2设二维随机变量量(X,Y)具有概率密度 fx,)= 2e-2+,x>0,y>0, 0, 其它 1)求边缘概率密度fx(),∫，(y)； (2)判断(X,Y)是否相互独立？ 解 (1)fx(x)= 2e2,x>0, 0, f0)= e',y>0, 0, y≤0. (2)由于fx,y)=fx(x)fr(y) 所以(X,)是相互独立的

2 2 , 0, (1) ( ) 0, 0. x X e x f x x        (2) ( , ) ( ) ( ) X Y 由于 f x y f x f y   解 (2 ) 2 ( , ) 2 , 0, 0, ( , ) 0, . (1) ( ), ( ); (2) ( , ) x y X Y X Y e x y f x y f x f y X Y         例 设二维随机变量量 具有概率密度 其它 求边缘概率密度 判断 是否相互独立？ , 0, ( ) 0, 0. y Y e y f y y        所以 ( , ) X Y 是相互独立的

概率轮与数理统计 例3设两个独立的随机变量X与Y的分布律为 3 Y2 4 Px 0.3 0.7 P 0.6 0.4 求随机变量(X,)的分布律， 解因为X与Y相互独立，所以 P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y} 于是 P{X=1,Y=2}=P{X=1}P{Y=2} =0.3×0.6=0.18

解 因为X与Y 相互独立, 所以 于是 P{X  1,Y  2}  P{X  1} P{Y  2}  0.30.6  0.18, 求随机变量 (X,Y) 的分布律. 例3 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4 { , } { } { } i j i j P X  x Y  y  P X  x P Y  y

概率论与敖理统外 P{X=1,Y=2}=P{X=1}P{Y=2}=0.3×0.6=0.18, P{X=1,Y=4=P{X=1}P{Y=4}=0.3×0.4=0.12, P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=0.7×0.6=0.42, P{X=3,Y=4}=P{X=3}P{Y=4}=0.7×0.4=0.28. 因此(X,Y)的联合分布律为 2 4 1 0.18 0.12 3 0.42 0.28

P{X  1,Y  4}  P{X  1}P{Y  4}  0.3 0.4 0.12, P{X  3,Y  2}  P{X  3}P{Y  2} 0.70.6  0.42, P{X  3,Y  4}  P{X  3}P{Y  4} 0.70.4 0.28. 因此(X,Y)的联合分布律为 Y X 2 4 1 3 0.18 0.12 0.42 0.28 P{X  1,Y  2}  P{X  1}P{Y  2}  0.3 0.6 0.18

概率轮与数理统计「 例4一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时， 设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办 公室的时间相差不超过5分钟的概率 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到心 达办公室的时间，由假设X和Y的概率密度分别为 -英2m=29 0,其它， 0,其它， 由于X,Y相互独立，得(X,Y)的概率密度为

例4 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 达办公室的时间, 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘书 到 由假设X 和Y的概率密度分别为       0, , 1 4, 8 12, ( ) 其它 x fX x       0, , 1 2, 7 9, ( ) 其它 x f y Y 由于 X,Y 相互独立, 得 (X,Y)的概率密度为