《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第04章 随机变量的数字特征 4.4 矩、协方差矩阵

概率论与散理统计 第四节矩、协方差矩阵 一、基本概念 二、n维正态变量的性质 三、小结

一、基本概念 二、n 维正态变量的性质 三、小结 第四节 矩、协方差矩阵

概率论与散理统外「 一、基本概念 1.定义 设X和Y是随机变量，若E(X),k=1,2,. 存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩 若E{X-E(X)},k=2,3,. 存在，称它为X的k阶中心矩 若E(XY),k,1=1,2, 存在，称它为X和Y的k+1阶混合矩， EX-E(X)Y-E(Y),k,1=1,2,. 存在，称它为X和Y的k+1阶混合中心矩

, ( ), 1,2, , , . k X Y E X k X k k 设 和 是随机变量 若  存在 称它为 的 阶原点矩 简称 阶矩 {[ ( )] }, 2,3, , . k E X E X k X k 若   存在 称它为 的 阶中心矩 ( ), , 1,2, , . k l E X Y k l X Y k l   若 存在 称它为 和 的 阶混合矩 一、基本概念 1.定义 {[ ( )] [ ( )] }, , 1,2, , . k l E X E X Y E Y k l X Y k l     若 存在 称它为 和 的 阶混合中心矩

概率论与散理统计 2.说明 ()以上数字特征都是随机变量函数的数学期望 (2)随机变量X的数学期望E(X)是X的一阶原 点矩，方差为二阶中心矩协方差CoV(X,Y)是X 与Y的二阶混合中心矩 (3)在实际应用中，高于4阶的矩很少使用 三阶中心矩E{X-E(X)3主要用来衡量随 机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩E{X-E(X))主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何

2. 说明 ; , , Cov( , ) (2) ( ) 与 的二阶混合中心矩 点 矩 方差为二阶中心矩 协方差 是 随机变量 的数学期望 是 的一阶原 Y X Y X X E X X (1)以上数字特征都是随机变量函数的数学期望; (3) 在实际应用中,高于4阶的矩很少使用. . {[ ( )] } 3 机变量的分布是否有偏 三阶中心矩E X  E X 主要用来衡量随 . {[ ( )] } 4 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何 四阶中心矩 E X  E X 主要用来衡量随

概率论与数理统外 3.协方差矩阵 设n维随机变量(X,X2,.,Xn)的二阶混合 中心矩 Ci Cov(Xi,X)=EIX;-E(X;)IX;-E(X;)] i,j=1,2,.,n 都存在，则称矩阵 Cu C12 C= C2 C22 C2n Cn2 n 为n维随机变量的协方差矩阵

3. 协方差矩阵 1 2 ( , , , ) 设 n X X X 维随机变量 n 的二阶混合 中心矩 Cov( , ) {[ ( )][ ( )] , 1,2, , , ij i j i i j j c X X E X E X X E X i j n      都存在 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn c c c c c c C c c c              为 n 维随机变量的协方差矩阵

概率论与赦理统计 例如二维随机变量(X1,X2)的协方差矩阵为 c- 其中C1=E{X1-E(X2}, C2=E{X1-E(X1)X2-E(X2), C21=EX2-E(X2)[X1-E(X1}, C22=EX2-E(X2)}

例如 二维随机变量(X1 ,X2 )的协方差矩阵为        21 22 11 12 c c c c C {[ ( )] }, 2 11 E X1 E X1 其中 c   {[ ( )][ ( )]}, 12 E X1 E X1 X2 E X2 c    {[ ( )][ ( )]}, 21 E X2 E X2 X1 E X1 c    {[ ( )] }. 2 22 E X2 E X2 c  

概率枪与散理统外「 由于c=ci(i,j=1,2,.,n),所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵， 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示随机 变量的概率密度从而可通过协方 差矩阵达到对随机变量的研究

( , 1,2, , ) , . ij ji 由于 c c i j n   所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 协方差矩阵的应用 . , 差矩阵达到对随机变量的研究 变量的概率密度 从而可通过协方 协方差矩阵可用来表示随 机

概率论与敖理统外 以二维随机变量(X1,X2)为例 由于 f) 1 2mg,1-piexp {-2n西- 121-p26 0102 入范车x-()“-份 及(X1,X2)的协方差矩阵C= c21

( , ) . 以二维随机变量 X1 X2 为例 . ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 ( , ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2                       σ x μ σ σ x μ x μ ρ σ x μ ρ σ σ ρ f x x 由于 引入矩阵 , 2 1        x x X . 2 1        μ μ μ 及 (X1 ,X2 )的协方差矩阵 , 21 22 11 12        c c c c C

概率论与散理统针」 c- 由此可得 -0102 1 (1-p)-poje, -po102

       21 22 11 12 c c c c C , 2 1 2 2 1 2 2 1          ρσ σ σ σ ρσ σ 由此可得             2 1 2 1 1 2 2 1 2 det 1 ρσ σ σ σ ρσ σ C C . (1 ) 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1             ρσ σ σ σ ρσ σ σ σ ρ

概率论与敖理统计 由于 (X-)C-(X-m= dc) -, 0102

    ( ) ( ) 1 X μ C X μ T . ( )( ) ( ) 2 ( ) 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2               σ x μ σ σ x μ x μ ρ σ x μ ρ                     2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ( , ) det 1 x μ x μ ρσ σ σ σ ρσ σ x μ x μ C 由于

概率论与散理统外「 于是(X1,X2)的概率密度可写成 f(x1,x2) 2 c-wcx-叭

于是(X1 ,X2 )的概率密度可写成( ) ( ) . 2 1 exp (2π) (det ) 1 ( , ) 1 2 2 1 2 1 2            X μ C X μ C f x x T