《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第07章 参数估计 7.4 区间估计

概率论与散理统外 第四节 区间估计 一、区间估计基本概念 二、典型例题 三、小结

第四节 区间估计 一、区间估计基本概念 二、典型例题 三、小结

概率论与敖理统计】 一、 区间估计基本概念 1.置信区间的定义 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参 数0，对于给定值a(0<a<1),若由样本X1,X2, X,确定的两个统计量 0=Q(X1,X2,Xn)和0=0(X1,X2,Xn)满足 P{8X1,X2,Xn)<0<0X1,X2,Xn)}=1-a, 则称随机区间(0，O)是0的置信度为1-o的置信区 间，0和分别称为置信度为1-α的双侧置信区间 的置信下限和置信上限，1-为置信度

一、区间估计基本概念 1. 置信区间的定义 2 2 2 , (0 1), ( ) ( ) ( ) ( )} 1 1 2 1 1 2 1 1 ( ; ) , , , , , , , , , { , , , , , , , n n n n n X F x X X X X X X X X X P X X X X X X                     设总体 的分布函数 含有一个未知参 数 对于给定值 若由样本 确定的两个统计量 和 满足 ( , ) 1 , 1 , 1 .            则称随机区间 是 的置信度为 的置信区 间 和 分别称为置信度为 的双侧置信区间 的置信下限和置信上限 为置信度

概率论与数理统外 关于定义的说明 被估计的参数虽然未知，但它是一个常数 没有随机性，而区间(，0)是随机的. 因此定义中下表达式 P{0X,X2,Xn)<B<0X1,X2,Xn)}=1-a 的本质是 随机区间(&，0)以1-a的概率包含着参数的真值， 而不能说参数以1-o的概率落入随机区间日，0)

关于定义的说明 , ( , ) . , , 没有随机性 而区间 是随机的 被估计的参数 虽然未知 但它是一个常数    2 2 ( ) ( )} 1 : 1 1 { , , , , , , P X X X X X X     n n     因此定义中下表达式 的本质是 1 ( , ). ( , ) 1 ,         而不能说参数 以 的概率落入随机区间 随机区间 以 的概率包含着参数 的真值  

概率论与散理统计 另外定义中的表达式 P{QX1,X2,.,Xn)<B<θX1,X2,Xn)}=1-a 还可以描述为 若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是） 每个样本值确定一个☒间(，)， 每个这样的区间或包含0的真值或不包含0的真值， 按伯努利大数定理，在这样多的区间中， 包含填值的约占100(1-a)%,不包含的约占100a%

2 2 ( ) ( )} 1 : 1 1 { , , , , , , P X X X X X X n n         另外定义中的表达式 还可以描述为 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 每个样本值确定一个区间( , ), 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1)%,不包含的约占100%. 每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值

概率论与数理统外「 例如若=0.01反复抽样1000次， 则得到的1000个区间中不包含0真值的约为0个

例如 若  0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000 个区间中不包含 真值的约为10个

概率轮与赦理统针 2.求置信区间的一般步骤（共3步） (1)寻求一个样本X1,X2,Xn的函数 Z=Z(X1,X2,.,Xn;0) 其中仅包含待估参数0，并且Z的分布已知 且不依赖于任何未知参数（包括）. (2)对于给定的置信度1-，定出两个常数a,b, 使P{a<Z(X1,X2,.,Xm;0)<b}=1-x

2. 求置信区间的一般步骤(共3步) : , . 1 2 1 2 (1) , , , ( , , , ; ) ( ) n n X X X Z Z X X X Z     寻求一个样本 的函数 其中仅包含待估参数 并且 的分布已知 且不依赖于任何未知参数 包括 1 , 1 2 (2) , , { ( , , , ; ) } 1 . n a b P a Z X X X b         对于给定的置信度 定出两个常数 使

概率伦与散理统针」 (3)若能从a<Z(X1,X2,Xm0)<b得到等价的 不等式0<0<0，其中0=Q(X1,X2,.,Xn), 0=(X1,X2,Xm)都是统计量，那么（但，θ）就是 的一个置信度为1-a的置信区间

, , , . 1 2 1 2 1 2 (3) ( , , , ; ) ( , , , ) ( , , , ) ( , ) 1 n n n a Z X X X b X X X X X X                    若能从 得到等价的 不等式 其中 都是统计量 那么 就是 的一个置信度为 的置信区间

概率论与敖理统计 样本容量固定，置信水平1-o增大，置信区间 长度增大，可信程度增大区间估计精度降低 置信水平1-a固定，样本容量增大，置信区间 长度减小，可信程度不变，区间估计精度提高 0.4样本容量200置信水平0.05 0.4置信水平0.95样本容量100 03置信区间889 0.3置信区间-Q,31864 0.260129 0 0.2 0.1 0.1 10 15 20 10 15 20 -0.1 -0.1 2 -0.2 -0 -0.3 -0.4 -0.4

, , . , 1 , 长度增大 可信程度增大 区间估计精度降低 样本容量n固 定 置信水平  增 大 置信区间 , , . 1 , , 长度减小 可信程度不变 区间估计精度提高 置信水平  固 定 样本容量n增 大 置信区间

概率论与散理统外「 二、典型例题 例1设X,X2,Xn是来自正态总体N(4,O2) 的样本，其中o2为已知，山为未知，求的置信度为 1-o的置信区间. 解因为又是4的无偏估计， 且U X-'~N(0,1) oln X一上一NO,1)是不依赖于任何未知参数的， σ/Wn

解 2 , , . 2 1 2 , , , ( , ) , 1 X X X N n       设 是来自正态总体 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信度为 的置信区间 因为 X 是 的无偏估计, ~ (0,1), / N n X U    且  ~ (0,1) , / N 是不依赖于任何未知参数的 n X    例1 二、典型例题

概率论与散理统计 由标准正态分布的上α分位点的定义知 po<i-1-a. 即r-a<a+a小-1a

1 , / / 2               z n X P 1 , / 2 / 2                   z n z X n 即 P X 由标准正态分布的上 分位点的定义知