《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_第八节 一般周期函数的傅里叶级数_一般周期函数的傅里叶级数

第八讲一毁周期丞数的傅里十级数

第八讲 一般周期函数的傅里叶级数

般周期函数的傅里叶级数 一、以21为周期的函数的傅里十展开 二、傅里叶级数的复数形式

一般周期函数的傅里叶级数 一、以2l为周期的函数的傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式

般周期函数的傅里叶级数 一、以2为周期的函数的傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式

一般周期函数的傅里叶级数 一、以2l为周期的函数的傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式

>研究思路 周期为21函数f(x) 变量代换 周期为2元函数F(2 将Fe)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式

周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2 函数 F(z) 变量代换 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 ➢研究思路

>具体作法 fw:-lsx≤1→-1ss1一→-πs≤元 元X →X= -π≤Z≤π 一Pe-片2a,sc+b, aF()cosnadz (n=0.12. lb,=Fe)sind(u=l,2-）

➢具体作法 f x l x l ( ) : −   1 1 x l −   π π π x l −   令 πx z l = π lz x = π ( ) ( ) lz f x f F z   = =     −   π z π ( ) 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a F z a nz b nz  = = + +  π π d π 1 ( )cos ( 0,1,2 ) n a F z nz z n − = =  π π d π 1 ( )sin ( 1,2 ) n b F z nz z n − = = 

F(z)cos nzdz(n=0,1,2.） ↓ f(x)cos-1 (n=0,1,2） k =F(C) d=dz=-元→x=-l Z=元→X三l 同理可得 6=wTa=2) ∫Fa)cszk(n=0,12 b,=Fo)sind(n=l,2）

πx z l = π lz x = π ( ) ( ) lz f x f F z   = =     π π d π 1 ( )cos ( 0,1,2 ) n a F z nz z n − = =  π π d π 1 ( )sin ( 1,2 ) n b F z nz z n − = =  π π d π 1 ( )cos ( 0,1,2 ) n a F z nz z n − = =  f x( )π d d z x l = π cos n x l z x l = − → = − π z x l = → = π 1 l n l a l − =  dx ( 0,1,2 ) n = 同理可得 π d 1 ( )sin ( 1,2 ) l n l n x b f x x n l l − = = 

>定理 设周期为21的周期函数f(x)满足收敛定理条件， 则它的傅里叶展开式为 4n cos n元x +b sin (在fx)的连续点处) 其中 (n=0,1,2,.) .)sindx (n=1,2,.）

设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) an = x l n x f x l b l l n d π ( )sin 1 − = 其中 l 1 x l n x f x l l d π ( )cos − (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, ) ➢定理

●注 如果f(x)为奇函数，则在孔x)的连续点处： 如果f(x)为偶函数，则在fx)的连续点处： N-受*ma,-Noa=L2 在f(x)的间断点x处，傅里叶级数收敛于：[f(x)+f(x)】:

在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数收敛于: 如果 f (x) 为奇函数, 则在f(x)的连续点处: ⚫注 π d 0 2 ( )sin ( 1,2, ) l n n x b f x x n l l = =  如果 f (x) 为偶函数, 则在f(x)的连续点处: π d 0 2 ( )cos ( 0,1,2 ) l n n x a f x x n l l = = 

◆例1 设f(x)是周期为4的周期函数，它在2，-2)上的表达式为： f)= 0, -2≤x<0 (常数h≠0) 0≤x<2 将f(x)展开成傅里叶级数， ◆例2 M(x)= 0sx<2 2 ≤x≤l 2 将M(x)分别展开成正弦级数和余弦级数

◆例1 设 f (x) 是周期为4的周期函数,它在[2,-2)上的表达式为: 将 f (x)展开成傅里叶级数. ◆例2 , 0 2 2 ( ) ( ) , 2 2 px l x M x p l x l x l     =  −     将M (x)分别展开成正弦级数和余弦级数.      −   = 0 2 0, 2 0 ( ) h x x f x (常数 h  0)

般周期函数的傅里叶级数 一、以21为周期的函数的傅里十展开 二、傅里叶级数的复数形式

一般周期函数的傅里叶级数 一、以2l为周期的函数的傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式