《高等数学》课程教学资源（作业习题）D10 重积分

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 10-1二重积分的概念与性质 一、填空、选择题 1设有一平面薄片占有x0y面上的闭区域D,薄片上分布有面密度为4(x,y)的电荷，且4(x,y) 在D上连续，则薄片上的全部电荷可用二重积分表示为 2设D是由(0,0)，1,0)，(0,1)为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意义可得 j小-x-yid= 3.设f0)为连续函数，则由平面：=0、柱面x2+y2-1和曲面：=∫(y)所围立体的体积可用 二重积分表示为 dxdy 4设1+7限1满足（ (A)2s1≤2：(B)2s1s3:(C)0≤1≤7；D)-1s1s0 5设1=(x+do,=∬x+do,4=∬x+do,其中D是由直线x=0,y=0, x+y=及x+y=1所围成的区域，则.山4，山的大小顺利为（ (A)I3≤12≤1：(B)1,≤12≤1：(C)I1≤13≤12：(D)13≤1≤12 6.设D:x2+y2≤a2(a>0),则j∬Va2-x2-ydrdy= 7若x)在D上连续，且D,cD,是否一定有∬f,da≤∬fxdG？一 二、试讨论x2+少do与∬(x2+ydo的关系，其中 D={《x,yl1≤x≤1，-2≤y≤2D,={《x,y0≤x≤1,0≤y≤2}

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 1 10-1 二重积分的概念与性质 一、填空、选择题 1.设有一平面薄片占有 xoy 面上的闭区域 D ，薄片上分布有面密度为 (x, y) 的电荷，且 (x, y) 在 D 上连续，则薄片上的全部电荷可用二重积分表示为 . 2.设 D 是由(0,0), (1,0), (0,1)为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意义可得     D (1 x y)dxdy . 3.设 f (t) 为连续函数，则由平面 z  0 、柱面 1 2 2 x  y  和曲面 ( ) 2 z  f xy 所围立体的体积可用 二重积分表示为 . 4.设       1 2 2 1 cos sin d d x y x y x y I ，则 I 满足 （ ） （A） 2 3 2  I  ； （B）2  I  3； （C） 2 1 0  I  ； （D）1  I  0 5.设          D D D I ln(x y)d , I (x y) d , I 3 (x y)d 2 1 2 ，其中 D 是由直线 x  0, y  0 ， 2 1 x  y  及 x  y  1所围成的区域，则 1 2 3 I , I , I 的大小顺利为 （ ） （A） 3 2 1 I  I  I ； （B） 1 2 3 I  I  I ；（C） 1 3 2 I  I  I ；（D） 3 1 2 I  I  I 6.设 : ( 0) 2 2 2 D x  y  a a  ，则     D a x y dxdy 2 2 2 . 7.若 f (x, y) 在 D 上连续，且 D1  D ，是否一定有    D D f (x, y)d f (x, y)d 1 ？ . 二、试讨论  D (x y )d 2 2 与  1 ( )d 2 2 D x y  的关系，其中 D  (x, y) 1  x  1,2  y  2， D1  (x, y) 0  x  1,0  y  2

三、试利用二重积分的性质估计下列积分值： 1、1=x+y+2)do,其中D=《x,y咖≤x≤1,0≤y≤2} 2、1=x2+4y2+10do,其中D=《x,2+y2≤4} 三、设f(x,y)是连续函数，试利用积分中值定理求极限

2 三、试利用二重积分的性质估计下列积分值： 1、     D I (x y 2)d ，其中 D  (x, y) 0  x  1,0  y  2 2、     D I (x 4 y 1)d 2 2 ，其中 ( , ) 4 2 2 D  x y x  y  三、设 f (x, y) 是连续函数，试利用积分中值定理求极限     2 2 2 ( , )d 1 lim 2 0 x y r r f x y r 

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 10-2二重积分的计算法（一） 一、填空题 1.设区域D=《x,y)xs1,以s1,则二重积分川(x2+y2)do= 2.设平面薄片所占的闭区域由直线x+y=2,y=x及y轴所围成，它的面密度为 4(x,y)=x2+y2,则该平面薄片的质量为 3.交换二次积分的次序。dr∫f(x,y)y= 4交换二次积分的次序∫dyfx,)dr 5交换二次积分的次序∫dxf(x,yy= 二、计算下列二重积分 1.I=[(3x+2y)do,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域： 2.1=∬x下dG,其中D是由两条抛物线y=V压，y=x所围成的闭区域：

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 3 10-2 二重积分的计算法(一） 一、填空题 1.设区域 D  (x, y) x  1, y  1，则二重积分    D (x y )d 2 2 . 2. 设平面薄片所占的闭区域由直线 x  y  2, y  x 及 y 轴所围成，它的面密度为 2 2 (x, y)  x  y ，则该平面薄片的质量为 . 3.交换二次积分的次序    1 0 1 d ( , )d x x f x y y . 4.交换二次积分的次序    2 0 2 2 d ( , )d y y y f x y x . 5.交换二次积分的次序    e1 ln 0 d ( , )d x x f x y y . 二、计算下列二重积分 1.    D I (3x 2 y)d ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x  y  2 所围成的闭区域； 2.   D I x yd ，其中 D 是由两条抛物线 2 y  x , y  x 所围成的闭区域；

3.1=川(x2+y2-x)do,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域： 41=川于0，其中D是由直线x=2=及苗线w=1所国成的闲区线 三、化二重积分1=厂fx,y)da为二次积分（两种不同次序），其中积分区域D是由直线y=x 及抛物线y2=4x所围成的闭区域 四、计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围的柱体被平面：=0及2x+3y+:=6截得的立体 的体积

4 3.     D I (x y x)d 2 2 ，其中 D 是由直线 y  2, y  x 及 y  2x 所围成的闭区域； 4.   D y x I d 2 2 ，其中 D 是由直线 x  2, y  x 及曲线 xy  1所围成的闭区域. 三、化二重积分   D I f (x, y)d 为二次积分（两种不同次序），其中积分区域 D 是由直线 y  x 及抛物线 y 4x 2  所围成的闭区域. 四、计算由四个平面 x  0, y  0, x  1, y  1所围的柱体被平面 z  0 及 2x  3 y  z  6 截得的立体 的体积

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 10-3二重积分的计算法（二） 一、填空题 1.设区域D=《x,yx2+y2s1,则二重积分川(x2+y2)do= 2.设区域D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=x,y=0所围成的在第一象限的闭区域， 则二重积分∫arctan上dc= 3.∫d∫。x,y山转化成极坐标系下的二次积分为 4.∫。dy厅f(,y)dx转化成极坐标系下的二次积分为 二、计算下列各题 1、川e矿dg,其中D是由圆周x2+y少2=a2所围成的闭区域： 2、川1n(1+x2+y2)do,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域：

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 5 10-3 二重积分的计算法(二） 一、填空题 1.设区域 ( , ) 1 2 2 D  x y x  y  ，则二重积分    D (x y )d 2 2 . 2.设区域 D 是由圆周 1 4 2 2 2 2 x  y  ，x  y  及直线 y  x, y  0 所围成的在第一象限的闭区域， 则二重积分   D x y arctan d . 3.   1 0 0 d ( , )d x x f x y y 转化成极坐标系下的二次积分为 . 4.   1 0 1 d ( , )d y y f x y x 转化成极坐标系下的二次积分为 . 二、计算下列各题 1、   D x y e d 2 2 ，其中 D 是由圆周 2 2 2 x  y  a 所围成的闭区域； 2、    D ln(1 x y )d 2 2 ，其中 D 是由圆周 1 2 2 x  y  及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域；

3、川Vr2+y2do,其中D是圆环形闭区域：《x,y)a2≤x2+y2≤b} 三、计算以xoy面上的圆周x2+y2=r围成的闭区域为底，以曲面：=x2+y2为顶的曲顶柱体的 体积 四、求由曲面：=x2+2y2及：=6-2x2-y2所围成的立体的体积

6 3、   D x y d 2 2 ，其中 D 是圆环形闭区域：  2 2 2 2 (x, y) a  x  y  b . 三、计算以 xoy 面上的圆周 x  y  ax 2 2 围成的闭区域为底，以曲面 2 2 z  x  y 为顶的曲顶柱体的 体积. 四、求由曲面 2 2 z  x  2 y 及 2 2 z  6  2x  y 所围成的立体的体积

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 10-4三重积分 一、填空题 1.化三重积分∬f(x,y,dxd:为直角坐标系下的三次积分 其中积分区域2是由三个坐标面及平面3x+y+:=1所围成的闭区域 2.设有一物体占有空间闭区域2=《x,八，：0≤x≤1,0≤y≤1,0≤：≤，其体密度为 p(x,y,)=x+y+:,则该物体质量可用三重积分表示为 其值为 二、计算川y:ddd:,其中Ω是曲面：=灯与平面y=x,x=1和：=0所围成的闭区域 三、计算川9 -dxdyd:,其中2是球面x2+y2+:2=1及三个坐标面围成的第一卦限内的闭区域

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 7 10-4 三重积分 一、填空题 1.化三重积分   f (x, y, z)dxdydz 为直角坐标系下的三次积分 ， 其中积分区域 是由三个坐标面及平面3x  y  z  1所围成的闭区域. 2.设有一物体占有空间闭区域  (x, y, z) 0  x  1,0  y  1,0  z  1，其体密度为  (x, y, z)  x  y  z ，则该物体质量可用三重积分表示为 ， 其值为 . 二、计算   xy zdxdydz 2 ，其中 是曲面 z  xy 与平面 y  x, x  1和 z  0 所围成的闭区域. 三、计算   xyzdxdydz ，其中 是球面 1 2 2 2 x  y  z  及三个坐标面围成的第一卦限内的闭区域

四、计算川(x2+y2)d,其中是曲面x2+y2=2:及平面：=2所围成的闭区域 五、计算∬9d,其中Q是柱面x2+y2=1及平面：=1，x=0,y=0,:=0所围成的第一卦限内的 闭区域 六、计算川(x2+y2+z2)dv,其中2是球面x2+y2+:2-1所围成的闭区域

8 四、计算   (x  y )dv 2 2 ，其中 是曲面 x y 2z 2 2   及平面 z  2 所围成的闭区域. 五、计算   xydv ，其中 是柱面 1 2 2 x  y  及平面 z  1, x  0, y  0, z  0 所围成的第一卦限内的 闭区域. 六、计算   (x  y  z )dv 2 2 2 ，其中 是球面 1 2 2 2 x  y  z  所围成的闭区域

第十章重积分 班级： 姓名： 序号： 10-5重积分的应用 一、填空题 L.平面2x+2y+:=4被圆柱面x2+y2=1割下的那部分面积为 2.均匀薄片所占的闭区域由y=x2,y=1围成，则其质心坐标为 3.球体x2+y2+2≤a2在点(x,y,)处的密度为p(x,y,)=√2+y2+2,则球体的质量为 二、已知曲面：z=6-x2-y2与曲面Σ2：：=√x2+y 1求两曲面所围成的立体2的体积： 2.求立体2的表面积（Σ，部分）. 三、求锥面：=√2+y2被柱面：2=2x所制下部分的曲面面积

第十章 重积分 班级： 姓名： 序号： 9 10-5 重积分的应用 一、填空题 1. 平面2x  2 y  z  4 被圆柱面 1 2 2 x  y  割下的那部分面积为 . 2. 均匀薄片所占的闭区域由 , 1 2 y  x y  围成，则其质心坐标为 . 3.球体 2 2 2 2 x  y  z  a 在点(x, y, z) 处的密度为 2 2 2  (x, y, z)  x  y  z ，则球体的质量为 . 二、已知曲面 2 2 1  ：z  6  x  y 与曲面 2 2 2  ：z  x  y . 1.求两曲面所围成的立体 的体积； 2.求立体 的表面积（1 部分）. 三、求锥面 2 2 z  x  y 被柱面 z 2x 2  所割下部分的曲面面积

四、求球面x2+y2+:2=1含在圆柱面x2+y2=x内部的那部分面积 五、设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x2及直线y=x围成，它在点(x,y)处的面密度为 4(x,y)=x己y,求该薄片的质心

10 四、求球面 1 2 2 2 x  y  z  含在圆柱面 x  y  x 2 2 内部的那部分面积. 五、设平面薄片所占的闭区域 D 由抛物线 2 y  x 及直线 y  x 围成，它在点(x, y) 处的面密度为 x y x y 2 ( , )  ，求该薄片的质心