《高等数学》课程教学资源（作业习题）D12 无穷级数

第十二章无穷纸数 班级： 姓名： 序号： 12-1常数项级数的概念和性质 一、填空、选择题： 1写出级数的前五项：乞1+” 1+n 2级数兮京日可+.的一般顶为 ,部分和5= 3.已知级数∑4.收敛于1，则级数∑4.收敛于 么者银数空的部分和沿则， 5.级数∑“n的一般项山，趋于零，是该级数收敛的_ (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分、又非必要条件 6。级数2，的部分和数列5，}存在极限，是该级数收敛的_-（ (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又非必要条件 1若级数公收敛，空，发敬。为正常数，则级数空-应)- (A)一定收敛 (B)一定发散 (C)收敛性与1有关 (D)无法断定其敛散性 8.下列级数收敛是 wa-而2+)o2-w号0动 9.下列命题正确的是 )若立，收敛、则区，收效《⑧)若立4，收敛，则三必发散

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 1 12-1 常数项级数的概念和性质 一、填空、选择题: 1. 写出级数的前五项：     1 2 1 1 n n n = . 2. 级数  2  3  4  5 1 5 1 5 1 5 1 的一般项为 n u = ，部分和 n s = . 3. 已知级数 1 n n u   收敛于 1，则级数 2 n n u   收敛于 . 4. 若级数 1 n n u   的部分和 1 2   n n sn ，则un  ，   n1 n u . 5. 级数  n1 n u 的一般项 n u 趋于零，是该级数收敛的 （ ） （A） 充分条件 （B）必要条件 （C） 充分必要条件 （D）既不充分、又非必要条件 6. 级数  n1 n u 的部分和数列{ }n S 存在极限，是该级数收敛的 （ ） （A） 充分条件 （B）必要条件 （C） 充分必要条件 （D）既不充分又非必要条件 7. 若级数  n1 n u 收敛，  n1 n v 发散， 为正常数，则级数    1 ( ) n n n u v ( ) （A） 一定收敛 （B） 一定发散 （C） 收敛性与 有关 （D） 无法断定其敛散性 8. 下列级数收敛是 （ ） （A） ( 1 ) 1 n n n     （B） 1) 1 ln( 1    n n （C） n n n n 5 3 ( 1) 1     （D）   1 2 1 n n 9.下列命题正确的是 （ ） （A）若  n1 n u 2 收敛，则  n1 n u 收敛 （B）若  n1 n u 收敛，则  1 1 n n u 必发散

(C)若立4发散，则必收敛①)若立发散，三，发散，则正仙，+，)必发散 台un 二、判定下列级数的收敛性，若收敛求其和： .n-n D 2精 6

2 （C）若  n1 n u 发散，则  1 1 n n u 必收敛 （D）若   n1 n u 发散，  n1 n v 发散，则    1 ( ) n n n u v 必发散 二、判定下列级数的收敛性，若收敛求其和： 1.   1 (2 1)(2 1) 1 n n n 2.   1 7 1 n n 3.        )  3 2 2 1 ) 3 2 2 1 ) 3 2 2 1 ) 3 2 2 1 （ （ 2 2 （ 3 3 （ n n 4.    6 sin 6 2 sin 6 sin   n

第十二章无穷纸数 班级： 姓名： 序号： 11-2常数项级数的审敛法（一) 一、填空题： 1部分和数列，有界是正项级数∑“，收敛的 条件。 2正项级数∑4，收敛是级数∑4，收敛的 条件 3.设常数P>0,则P级数三当 时收敛，当 时发散 二、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列正项级数的收敛性： 22m0 32a>0 三、用比值审敛法判定下列正项级数的收敛性： 2

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 3 11-2 常数项级数的审敛法（一） 一、填空题： 1.部分和数列sn 有界是正项级数   n1 n u 收敛的 条件. 2.正项级数  n1 n u 收敛是级数  1 2 n n u 收敛的 条件. 3.设常数 p  0，则 p 级数  1 1 n p n 当 时收敛，当 时发散. 二、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列正项级数的收敛性： 1.  1 ( 1)(  4) 1 n n n 2.  1 4 sin n n  3. ( 0) 1 1 1      a n a n 三、用比值审敛法判定下列正项级数的收敛性： 1.  1 2 n 3 n n 2.    1 2 ! n n nn n

32en是 四、用根植审数法判定正项级数（厂的收敛性， 五、判定下列级数的收敛性： 1僩 222sm号

4 3.    1 1 2 tan n n n  四、用根植审敛法判定正项级数 n n n n          1 3  2 的收敛性： 五、判定下列级数的收敛性： 1. n nn         1 4 3 2.   1 3 2 sin n n n 

第十二章无穷纸数 班纸： 姓名： 序号： 12-3常数项级数的审敛法（二) 一、填空、选择题： 1.级数立收敛，是级数立a,收敛的 条件 2.下列级数中，为绝对收敛级数的是」 (A ®出 c)-)D)-2 3.下列级数中，为条件收敛级数的是_ -41-o-a o)2-r月 4交错级数∑-少”绝对收敛的充分必要条件是」 ( n+ (A)p>0 (B)p20 (C)p>1 (D)p≥1 5设常数>0，则级数立-y牛 (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性与k有关 6设常数0>0，则级数2m号-（ (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散(D)敛散性与a有关 7.若级数∑an,∑bn都收敛，则级数∑a,b (A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)可能收敛，也可能发散 8.设4,20，若1imn=1,则级数∑4。- )发散“⑧)绝对收致一0)条件收数D)可能收敛也可能发放 二、判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 12-r

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 5 12-3 常数项级数的审敛法（二） 一、填空、选择题： 1.级数  n1 n a 收敛，是级数  n1 n a 收敛的 条件. 2.下列级数中，为绝对收敛级数的是 （ ） （A）     1 ( 1) n n n （B）     1 1 ( 1) n n n （C）       1 2 1 1 ( 1) n n n n （D）      1 1 2 1 ( 1) n n n 3.下列级数中，为条件收敛级数的是 （ ） （A）       1 1 1 ( 1) n n n n （B）     1 1 ( 1) n n n （C）      1 1 1 ( 1) n n n （D）      1 2 1 1 ( 1) n n n 4.交错级数      1 1 1 ( 1) n p n n 绝对收敛的充分必要条件是 （ ） （A） p  0 （B） p  0 （C） p  1 （D） p  1 5.设常数k  0，则级数     1 2 ( 1) n n n k n （ ） （A）绝对收敛 （B） 条件收敛 （C） 发散 （D）敛散性与k 有关 6.设常数a  0，则级数  1 2 sin n n a （ ） （A）绝对收敛 （B） 条件收敛 （C） 发散 （D）敛散性与a 有关 7.若级数  n1 n a ，  n1 n b 都收敛，则级数 n n n a b  1 （ ） （A） 发散 （B） 绝对收敛 （C） 条件收敛 （D）可能收敛，也可能发散 8.设  0 n u ，若lim 1  n n nu ，则级数  n1 n u （ ） （A） 发散 （B） 绝对收敛 （C） 条件收敛 （D）可能收敛，也可能发散 二、判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 1.      1 1 1 3 ( 1) n n n 

22-n"H 3-

6 2.      1 1 1 ( 1) ln n n n n 3.     1 1 5 sin ( 1) n n n n

第十二章无穷级数 班级： 姓名： 序号： 12-4暴级数 一、填空、选择题 1若级数0，r的敏敛半径为3，则级数立0：“的收敛半径为 2.幂级数了x” n+12 的收敛区间是 3幂级数立-一的收敛域是 n+1 4.若幂级数立a,(x-1)在x=-1处收敛，在x=3处发散，则该级数收敛域是 -0 5.幂级数∑(-少兰的收敛域是 6.若幂级数∑a,(:-1少在x=3处收敛，则数项级数a,的收敛性为 7若幂级数立a,x的收敛半径为2，则幂级数∑0，(x+y的收敛区间为 8若幂级数∑a,在x=2处收敛，在x=-3处发散，则该级数 (A)x=3处发散(B)x=-2处收敛(C)收敛区间为(-2,2)(D)当>3时发散 9.若暴级数∑a.(x-2)”在x=-1处收敛，则该级数在x=1处. (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不确定 二、求下列幂级数的收敛域： 2

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 7 12-4 幂级数 一、填空、选择题： 1.若级数  n0 n n a x 的收敛半径为3，则级数  0 2 n n n a x 的收敛半径为 . 2.幂级数  n1 ( 1)2 n n n x 的收敛区间是 . 3.幂级数      1 1 1 ( 1) n n n n x 的收敛域是 . 4.若幂级数 n n n a (x 1) 0     在 x  1处收敛，在 x  3处发散，则该级数收敛域是 . 5.幂级数    1 ( 1) n n n n x 的收敛域是 . 6.若幂级数 n n n a (x 1) 0     在 x  3处收敛,则数项级数  n0 n a 的收敛性为 . 7.若幂级数 n n n a x  0 的收敛半径为 2，则幂级数 n n n na (x 1) 0     的收敛区间为 . 8.若幂级数 n n n a x  0 在 x  2 处收敛，在 x  3处发散，则该级数 （ ） （A） x  3处发散 （B） x  2处收敛 （C）收敛区间为(2,2) （D）当 x  3 时发散 9.若幂级数 n n n a (x 2) 0     在 x  1处收敛,则该级数在 x 1处 （ ） （A）发散 （B）绝对收敛 （C）条件收敛 （D）收敛性不确定 二、求下列幂级数的收敛域： 1.    n 1 3 n n n x 2.    1 ( 5) n n n x

三、利用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数： 1.Se 器

8 3. 2 2 1 2 2 1     n n n x n 三、利用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数： 1.    1 1 n n nx 2.    1  2 1 n 2 1 n n x

第十二章无穷级数 班纸： 姓名： 序号： 12-5函数展开成幂级数 一、填空题： 上函数十：的麦克劳林级数民开式为 ,收敛域是 2.函数ln(1-x)的麦克劳林级数展开式为 ,收敛域是 3.函数er的麦克劳林级数展开式为 4.函数cos3x的麦克劳林级数展开式为 1 5函数+2展开为形如∑0，(x-少的幂级数时，收敛线是 二、将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间： 1.f(x)=sin2x 2.f)=3+x 3.fx)=-2x-3 1

第十二章 无穷级数 班级： 姓名： 序号： 9 12-5 函数展开成幂级数 一、填空题： 1.函数 1 x 1 的麦克劳林级数展开式为 ，收敛域是 . 2.函数ln(1 x) 的麦克劳林级数展开式为 ，收敛域是 . 3.函数 2 x e  的麦克劳林级数展开式为 . 4.函数cos3x 的麦克劳林级数展开式为 . 5.函数 1 2x 1  展开为形如 n n n a (x 1) 0     的幂级数时，收敛域是 . 二、将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间： 1. f x x 2 ( )  sin 2. x f x   3 1 ( ) 3. 2 3 1 ( ) 2    x x f x

三、将函数f)=cosx展开成x+的幂级数。 3 四、将函数f)=展开成(-3)的幂级数。 五、将函数/)=文展开成6+)的幂级数

10 三、将函数 f (x)  cos x展开成        3  x 的幂级数。 四、将函数 x f x 1 ( )  展开成x  3的幂级数。 五、将函数 x f x   1 1 ( ) 展开成x 1的幂级数