《高等数学》课程教学资源（作业习题）D8 向量代数与空间解析几何

第八章向重代数与空间解析几何班级： 姓名： 序号： 8-1向量及其线性运算 一、填空题 L.把△4BC的边BC三等分，分点依次为D,、D2,再把各分点与点A连接，若记4AB=c,BC=a, 则向量AD,=_ ,D,A= 2.己知两点M,(0,12)和M2(1,-1,0),则向量M,M2的坐标为 3.与向量a=(6,7,-6)同向的单位向量为 4.点(1，-2,3)关于x0y坐标面的对称点为 ,关于y轴的对称点为 关于坐标原点的对称点为 5.设向量a=2i-7j-4k,则a在z轴上的投影为 ,a在y轴上的分向量为 6.设点A(3,-4,5),则A到x轴的距离为 ,A到xo:面的距离为 A到坐标原点的距离为 7.己知三点A(2,-1,-1B(4,-1,l)以C(0,5,-3),则△ABC的边BC的中点D坐标为 △4BC的中线AD长度为 ,△4BC的重心坐标为 二、解答下列各题 1.在o面上，求与三点4(31,2小B(4,-2,-2C(0,51)等距离的点 2.一向量的起点为A(2,-1,7),它在x轴、轴和：轴上的投影依次为4，-4和7，求此向量的终点B 的坐标

第八章 向量代数与空间解析几何 班级： 姓名： 序号： 1 8-1 向量及其线性运算 一、填空题 1. 把ABC 的边 BC 三等分，分点依次为 D1、D2 ，再把各分点与点 A 连接，若记 AB  c, BC  a ， 则向量 AD1  ， D2 A  . 2. 已知两点 (0,1,2) (1, 1,0) M1 和M 2  ，则向量 M1M 2 的坐标为 . 3. 与向量a  (6,7,6) 同向的单位向量为 . 4. 点(1,2,3) 关于 xoy 坐标面的对称点为 ，关于 y 轴的对称点为 ， 关于坐标原点的对称点为 . 5. 设向量a  2i  7 j  4k ，则a 在 z 轴上的投影为 ，a 在 y 轴上的分向量为 . 6. 设点 A(3,4,5)，则 A 到 x 轴的距离为 ， A 到 xoz 面的距离为 ， A 到坐标原点的距离为 . 7. 已知三点 A(2,1,1)、B(4,1,1)、C(0,5,3) ，则ABC 的边 BC 的中点 D 坐标为 ， ABC 的中线 AD 长度为 ，ABC 的重心坐标为 . 二、解答下列各题 1.在 yoz 面上，求与三点 A(3,1,2)、B(4,2,2)、C(0,5,1) 等距离的点. 2. 一向量的起点为 A(2,1,7) ，它在 x轴、y轴和z轴 上的投影依次为 4,4和7 ，求此向量的终点 B 的坐标

3.己知两点M,(4,√2，)和M,(3,0,2),计算向量M,M的模、方向余弦和方向角 三、如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形 四、证明以三点A(41,9小B(2,4,3八、C10,-1,6)为顶点的三角形是等腰直角三角形

2 3. 已知两点 (4, 2,1) (3,0,2) M1 和M 2 ，计算向量 M1M 2 的模、方向余弦和方向角. 三、如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 四、证明以三点 A(4,1,9)、B(2,4,3)、C(10,1,6)为顶点的三角形是等腰直角三角形

第八章向重代数与空间解析几何班级： 姓名： 序号： 8-2数量积向量积 一、填空题 1.设a=(3,-1,-2),b=(1,2,-1),则a-b= a×b= 2.设a=(2,12),b=(3-2,),且a1b,则元=一 3.设a=2,6-=1a与b的夹角为元，则a-b=一，口+= 4.设a=(1,2,0),b=(2,3,-1),以a,b为相邻边的平行四边形的面积为 5.设a,b,c为单位向量，且满足a+b+c=0,则ab+bc+ca= 二、解答下列各题 1.已知M,(1,-1,2八M2(3,3,1)和M,(3,13),求与M,M、M2M,同时垂直的单位向量 2.求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影 3.设a=(3,5,-2),b=(21,4),问2和4有怎样的关系，能使得a+b与：轴垂直？

第八章 向量代数与空间解析几何 班级： 姓名： 序号： 3 8-2 数量积 向量积 一、填空题 1. 设a  (3,1,2), b  (1,2,1)，则a  b  ，a  b  . 2. 设a  (2,1,2) ，b  (3,2,) ，且a  b ，则  . 3. 设 a  2, b  1, 6  a与b的夹角为 ，则a  b  ， a  b  . 4. 设a  (1,2,0), b  (2,3,1) ，以a, b 为相邻边的平行四边形的面积为 . 5. 设a, b, c 为单位向量，且满足a  b  c  0 ，则a  b  b  c  c  a  . 二、解答下列各题 1.已知 (1, 1,2) (3,3,1) (3,1,3) M1  、M 2 和M 3 ，求与 M1M 2、M 2M 3 同时垂直的单位向量. 2. 求向量a  (4,3,4) 在向量b  (2,2,1) 上的投影. 3. 设a  (3,5,2) ，b  (2,1,4) ，问和 有怎样的关系，能使得a  b与z 轴垂直？

三、已知向量a=(2,-3,1,b=(1,-1,3),c=1,-2,0),计算： 1.(a-b)c 2.(a×b)c 3.(a×b)×c 四、设三点4(-2,1，-1)、B1,-3,4)和C(-3,-1,), 1.证明三点A,B,C不共线： 2.求△ABC的面积： 3.求内角∠BAC

4 三、已知向量a  (2,3,1), b  (1,1,3), c  (1,2,0) ，计算： 1. (a  b)c 2. (a  b) c 3. (a  b)  c 四、设三点 A(2,1,1)、B(1,3,4)和C(3,1,1) ， 1. 证明三点 A, B,C 不共线； 2. 求ABC 的面积； 3. 求内角BAC

第八章向重代数与空间解析几何班级： 姓名： 序号： 8-3平面及其方程 一、填空题 1.过点(3,0，-1)且与平面3x-2y+4:-7=0平行的平面方程为 2.平面2x-2y+:+5=0与x0y坐标面的夹角为 3.点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离为 4.平面3x-y+2:-6=0在：轴上的截距为 5.两平行平面2x-y+2z+1=0与2x-y+2:+5=0之间的距离为 6.两平面x-y+2:-6=0与2x+y+:-3=0之间的夹角为 7.设平面Π：x+y-2:-9=0,若Π通过点(5，-4，-6)，则k= 若Π与平面2x-y+3z+1=0垂直，则k= 二、解答下列各题 1.求过M,(1,1,-1小M2(-2,-2,2)和M,(1,-1,2)三点的平面方程 2.求过点(1,0，-1)且平行于向量a=(21,1)和b=(1,-1,0)的平面方程

第八章 向量代数与空间解析几何 班级： 姓名： 序号： 5 8-3 平面及其方程 一、填空题 1. 过点(3,0,1) 且与平面3x  2 y  4z  7  0 平行的平面方程为 . 2. 平面2x  2 y  z  5  0 与 xoy 坐标面的夹角为 . 3. 点(1,2,1) 到平面 x  2 y  2z 10  0 的距离为 . 4. 平面3x  y  2z  6  0 在 z 轴上的截距为 . 5. 两平行平面2x  y  2z 1  0与2x  y  2z  5  0 之间的距离为 . 6. 两平面 x  y  2z  6  0 与2x  y  z  3  0 之间的夹角为 . 7. 设平面 : x  ky  2z  9  0 ，若 通过点(5,4,6) ，则k  ； 若 与平面2x  y  3z 1  0 垂直，则k  . 二、解答下列各题 1. 求过 (1,1, 1) ( 2, 2,2) (1, 1,2) M1  、M 2   和M 3  三点的平面方程. 2. 求过点(1,0,1) 且平行于向量a  (2,1,1)和b  (1,1,0) 的平面方程

3.求过两点M,(1,2,-)和M,(3,-1,0)且垂直于平面x-3y+4:-2=0的平面方程 三、分别按下列条件求平面方程 1.平行于x0:面且经过点(2，-5,3)： 2.通过：轴和点(-3,1，-2)： 3.在x轴上的截距为-2且垂直于向量(4,1，-3)

6 3. 求过两点 (1,2, 1) (3, 1,0) M1  和M 2  且垂直于平面 x  3 y  4z  2  0 的平面方程. 三、分别按下列条件求平面方程： 1. 平行于 xoz 面且经过点(2,5,3) ； 2. 通过 z 轴和点(3,1,2) ； 3. 在 x 轴上的截距为 2 且垂直于向量(4,1,3)

第八章向重代数与空间解析几何班级： 姓名： 序号： 8-4空间直线及其方程 一、填空题 1.过点(4-13)且与直线，3==平行的直线方程为 2.通过两点M,(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直线方程为 3.点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影为 4.直线二4.+3=三与平面x+y+:+3=0的交点为 5.直线1+4二2与平面3x-2y+7:+3=0的位置关系是 3-2 7 二、求过点(2,0，-3)且与直线x-2y+4:-7=0 3x+5y-2:+1=0垂直的平面方程 三、求过点(0,2,4)且与两平面x+2:=1和y-3z=2平行的直线方程. 四、求过点-2》且道过直线兮生3-的平面方程

第八章 向量代数与空间解析几何 班级： 姓名： 序号： 7 8-4 空间直线及其方程 一、填空题 1. 过点(4,1,3) 且与直线 5 1 2 1 3    x  y z 平行的直线方程为 . 2. 通过两点 (3, 2,1) ( 1,0,2) M1  和M 2  的直线方程为 . 3. 点(1,2,0) 在平面 x  2 y  z 1  0 上的投影为 . 4. 直线 1 1 3 2 x 4 y z     与平面 x  y  z  3  0 的交点为 . 5. 直线 7 2 2 4 3 1      x  y z 与平面3x  2 y  7 z  3  0 的位置关系是： . 二、求过点(2,0,3) 且与直线            3 5 2 1 0 2 4 7 0 x y z x y z 垂直的平面方程. 三、求过点(0,2,4) 且与两平面 x  2z  1和y  3z  2 平行的直线方程. 四、求过点(3,1,2) 且通过直线 2 1 3 5 x 4 y z     的平面方程

五、解答下列各题 1.求直线+y+3:-2=0与平面x-y-:+1=0的夹角 x-y+2:+1=0 2求-3到直70的随离 3求直线，2-4y+:=0 3x-了-2-9-0在平面4x-y+:-1=0上的投影直线的方程

8 五、解答下列各题 1. 求直线            2 1 0 3 2 0 x y z x y z 与平面 x  y  z 1  0 的夹角. 2. 求点(3,1,2) 到直线            2 4 0 1 0 x y z x y z 的距离. 3. 求直线           3 2 9 0 2 4 0 x y z x y z 在平面4x  y  z 1  0 上的投影直线的方程

第八章向重代数与空间解析几何班级： 姓名： 序号： 8-5曲面、空间曲线及其方程 一、填空题 1.球心在点(2，-1,3)且通过原点的球面方程为 2.以(1,1，-1)和(-1,0,2)为直径的两个端点的球面方程为 3.与：轴和点(1,3，-1)等距离的动点的轨迹方程为 4.球面x2+y2+z2-2x+4y-2:-3=0的球心为 ,半径为 5.将x0z坐标面上的抛物线：=5x2绕：轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 6.将x0y坐标面上的双曲线4x2-9y2=36绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 ,绕y轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 7.母线平行于x轴且通过曲线3x+少+：：7的柱面方程为 x2-y2+2=1 8.球面x2+y2+:2=9与平面x+:=1的交线在xoy面上的投影为 9.方程x2+y=9在平面解析几何中表示的图形是」 ,在空间解析几何中表示的 图形是」 x2 10.方程{4+9 =1在平面解析几何中表示的图形是 ,在空间解析几何中表示的 y=-3 图形是 1.曲线=2-x2-y :=(x-)2+0-在ov面上的投影曲线方程为

第八章 向量代数与空间解析几何 班级： 姓名： 序号： 9 8-5 曲面、空间曲线及其方程 一、填空题 1. 球心在点(2,1,3) 且通过原点的球面方程为 . 2. 以(1,1,1)和(1,0,2) 为直径的两个端点的球面方程为 . 3. 与 z 轴和点(1,3,1) 等距离的动点的轨迹方程为 . 4. 球面 2 4 2 3 0 2 2 2 x  y  z  x  y  z   的球心为 ，半径为 . 5. 将 xoz 坐标面上的抛物线 2 z  5x 绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 . 6. 将 xoy 坐标面上的双曲线4 9 36 2 x  y  2 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 ,绕 y 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 . 7. 母线平行于 x 轴且通过曲线           1 3 7 2 2 2 2 x y z x y z 2 2 的柱面方程为 . 8. 球面 9 2 2 2 x  y  z  与平面 x  z  1的交线在 xoy 面上的投影为 . 9. 方程 9 2 x  y  在平面解析几何中表示的图形是 ，在空间解析几何中表示的 图形是 . 10. 方程          3 1 4 9 2 2 y x y 在平面解析几何中表示的图形是 ，在空间解析几何中表示的 图形是 . 11. 曲线            2 2 ( 1) ( 1) 2 z x y z x y 2 2 在 xoy 面上的投影曲线方程为

二、画出下列方程所表示的曲面 1.2=V4-x2-y2 2.2=4-x2-y2 3.2=4-x2 4.x2-y2=1 三、画出下列各曲面所围立体的图形 1.x=0y=0,2=0,x2+y2=1,x2+2=1 2.=Vx2+y2,=1-x2-y1 (在第一卦限内)

10 二、画出下列方程所表示的曲面 1. 2 2 z  4  x  y 2. 2 2 z  4  x  y 3. 2 z  4  x 4. 1 2 2 x  y  三、画出下列各曲面所围立体的图形 1. 0. 0, 0, 1, 1 2 2 2 2 x  y  z  x  y  x  z  2. 2 2 2 2 z  x  y , z  1 x  y （在第一卦限内）