《高等数学》课程教学资源（补充与提高）第十讲 重积分

第九章重积分 一、学习目的与要求 1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。 2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。 3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。 4、能用重积分来表达 些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量 二、学习重点 二重积分和三重积分的计算法 三、内容提要 1、重积分的定义 广=巴立f飞化，n4a,（与D的划分及(5，m)取法无关.其中D为平面 有界闭区域，(5，)∈△o,0=1,2,.,n),元=max{Ac,的直径} ∬=f,5A(与的划分及，5分取法无关，其中 为空间有界闭区域，(5，n,)eA,=1,2.,m),元=x{AV的直径} 2、重积分的几何意义 当f(x,y)≥0时，「f(x,y)dG表示以区域D为底，以曲面x)为顶的曲项柱体 体积。当f化=1时，do表示平面区域D的面积。当fxy)=1时，∬dW 表示空间区域Q的体积。 3、重积分的可积性 若f(x,y)(或f(xy,)在有界闭区域D(或2)上分块连续，则f(x,y)(或 fx,y,))在D(或2)上可积。 4、重积分的性质 二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都 是可积的。 (I)线性性质 kfx,y)+kgx,yo=k川fx,ydo+k∬g(x,y)do,其中k,e为 常数 之

21 第九章 重积分 一、学习目的与要求 1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。 2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。 3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。 4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量 等）。 二、学习重点 二重积分和三重积分的计算法 三、内容提要 1、重积分的定义  = → =  D n i i i i f x y d f 1 0 ( , )  lim ( , )   （与 D 的划分及 ( , )  i i 取法无关），其中 D 为平面 有界闭区域， ( , ) ( 1,2, , ), max{ } 1 i的直径 i n  i i  i i = n  =     。    = → =  n i i i i Vi f x y z dV f 1 0 ( , , ) lim ( , , )  （与  的划分及 ( , , )  i i  i 取法无关，其中  为空间有界闭区域， ( , , ) ( 1,2, , ), max{ } 1 i的直径 i n i i i  Vi i = n = V        。 2、重积分的几何意义 当 f (x, y)  0 时，  D f (x, y)d 表示以区域 D 为底，以曲面 z=f(x,y)为顶的曲顶柱体 体积。当 f (x, y)  1 时，  D d 表示平面区域 D 的面积。当 f (x, y,z)  1 时，   dV 表示空间区域  的体积。 3、重积分的可积性 若 f (x, y) （或 f (x, y,z) ）在有界闭区域 D（或  ）上分块连续，则 f (x, y) （或 f (x, y,z) ）在 D（或  ）上可积。 4、重积分的性质 二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都 是可积的。 （Ⅰ）线性性质    + = + D D D [k1 f (x, y) k2 g(x, y)]d k1 f (x, y)d k2 g(x, y)d ，其中 k1,k2 为 常数

(Ⅱ)区域可加性 ∬f,ydo=∬f(xydo+j∬fx,y)dG,其中D=DUD,且D,D2除 边界外无其它公共点。 ()比较性质 若fxy)≤gx,y,(x,y)eD,则j∬fx,y)do≤川gx,)do 特别有 xado≤∬to (V)估值定理 设M=max{fx,y)x,y)eD,m=mn{fx,yx,y)eD,则 mD≤厂f(x,y)do≤MD,其中lD为有界闭区域D的面积。 (V)中值定理：若x在D上连续，则∬fx,y)do=f5,)D,其中 (5,)eD 5、重积分的计算 重积分计算需化为累次积分，积分顺序的选取应视区域形状及被积函数的特点而定。 (I)二重积分计算 (1)在直角坐标系下，面积元do=dk山 若D:asxs6 sys国驱线，则∬aa=amx炒 若D:sysd {0)≤x≤50)驱线.则x0do=f,h (2)在极坐标系(x=rcos8,y=rsim)下，面积元素do=dd0 若D:asosB. FG(0)srsn(o,则∬xdo-ja0 (rcos0,r.sn8h 特别，若极点0在D的内部，则0≤日≤2π，5()=0：若极点0在D的边界上， 则5(0)=0

22 （Ⅱ）区域可加性    = + D D D f x y d f x y d f x y d 1 2 ( , )  ( , )  ( , )  ，其中 , D = D1 D2 且 D1，D2 除 边界外无其它公共点。 （Ⅲ）比较性质 若 f (x, y)  g(x, y),(x, y)  D ，则    D D f (x, y)d g(x, y)d 特别有    D D f (x, y)d f (x, y) d （Ⅳ）估值定理 设 M = max{ f (x, y)(x, y)D},m = min{ f (x, y)(x, y)D} ，则    D m D f (x, y)d M D ，其中 D 为有界闭区域 D 的面积。 （Ⅴ）中值定理：若 f(x,y)在 D 上连续，则 f x y d f D D =   ( , )  (,) ，其中 (,)  D 5、重积分的计算 重积分计算需化为累次积分，积分顺序的选取应视区域形状及被积函数的特点而定。 （Ⅰ）二重积分计算 （1）在直角坐标系下，面积元 d = dxdy 若        ( ) ( ) : 1 2 y x y y x a x b D （x-型区域），则    = D b a y x y x f x y d dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , )  ( , ) 若        ( ) ( ) : 1 2 x y x x y c y d D （y-型区域），则    = D d c x y x y f x y d dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , )  ( , ) （2）在极坐标系 (x = r cos, y = rsin  ) 下，面积元素 d = rdrd 若        ( ) ( ), , : 1  2    r r r a D 则    = D r r f x y d d f r r rdr ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( cos , sin )         特别，若极点 O 在 D 的内部，则 0   2,r1 () = 0 ；若极点 O 在 D 的边界上， 则 r1 () = 0

若D:a≤rs6 (r(da=cod (Ⅱ)三重积分的计算 (1)在直角坐标系下，体积元d=d本d止 若：川eD 压5：s,k则∬fw=∬fyt 此方法俗称“先一后二”法，区域D为2在xOy面的投影区域。 若n:D.则f,=∫t/x,y 此法俗称“先二后一”法，区域D,为平面一c1z<C)减2所得截面在xOy平面的投 影区域。 (2)在柱坐标系(x=rcos0,y=rsin0,:=)下，体积元dW=dr止 z,(r.0)≤z≤z、(r.8). 若2：r(0sr≤5(0)， 则 0.≤0≤0、 War-0cwarsaat [≤z≤c2, 若2：{a(e)s0sfe),则 5(0,)≤r≤5(0， ∬fx:dr=2tgd0aefucos0.rsaa.t (3)在球坐标系(x=psin cos0,y=psin osin0,:=pcos p)下，体积 dv =p'sin odelodp 「p(8,p)spsp2(8,p) 若2：{o,(0)≤o≤p,(0,则f(x,y,z)dW 8ss82

23 若        ( ) ( ) , : 1 2 r r a r b D    ，则    = b a r r D f x y d rdr f r  r  d   ( , ) ( cos , sin ) ( ) ( ) 1 2 （Ⅱ）三重积分的计算 （1）在直角坐标系下，体积元 dv = dxdydz 若        ( , ) ( , ), ( , ) , : 1 2 z x y z z x y x y D 则     = D z x y z x y f x y z dV dxdy f x y z dz ( , ) ( , ) 2 1 ( , , ) ( , , ) 此方法俗称“先一后二”法，区域 D 为  在 xOy 面的投影区域。 若        , ( , ) , : 1 2 c z c x y D z 则     = Dz c c f (x, y,z)dV dz f (x, y,z)dxdy 2 1 此法俗称“先二后一”法，区域 Dz为平面 z=z(c1<z<c2)截  所得截面在 xOy 平面的投 影区域。 （2）在柱坐标系 (x = r cos, y = rsin ,z = z) 下，体积元 dV = rddrdz 若             , ( ) ( ), ( , ) ( , ), : 1 2 1 2 1 2        r r r z r z z r 则      = 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( cos , sin , )          r r z r z r f x y z dV d dr f r r z rdz 若             ( , ) ( , ), ( ) ( ), , : 1 2 1 2 r z r r z a z z c z c     则      = 2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( cos , sin , ) c c z z r z r z f x y z dV dz d f r r z rdr        （ 3 ）在球坐标系 (x =  sin  cos, y =  sin  sin ,z =  cos) 下，体积 dV  sin ddd 2 = 若             , ( ) ( ), ( , ) ( , ), : 1 2 1 2 1 2                则   f (x, y,z)dV

-∫d0fdgffpsnpcos0,psnpsm0.pcosp)p2snpp 6、重积分的应用 (I)平面图形的面积设D为平面区域，其面积为A一儿dG (Ⅱ)空间立体的体积设2为空间区域，其体积为V=川dW ()曲面的面积设曲面方程为：=f(x,y,(化，)∈D,函数x)在D上有连续的 偏导数，则该曲面面积为：S=小V1+f?+f;少 ()物体的质量 ()平面薄片的质量：设薄片占有平面区域D,其面密度为p=p(x,y),则其质 量为：M=∬pxdo (2)空间立体的质量：设物体占有空间区域2，其体密度为p=p(x,上，：)，则其 质量为m=∬pxdW (V)物体的质心 (1)平面薄片的质心：设薄片占有平面区域D,其面密度为P-p(x,),则薄片 的重心坐标G列为：一品pxa.j=ax0o 其中m为薄片的质量m=「p(x,y)do (2)空间物体的质心：设物体占有空间区域Q,其体密度为P=p(x,八，)，则物体 的质心坐标(xy,)为： =oh,=∬mM=∬x:h 其中M=p(x,y)w ()物体的转动惯量： (1)平面薄片的转动惯量：设平面薄片占有区域D,其面密度为p=px,y),则薄

24 =    2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 ( sin cos , sin sin , cos ) sin                        r r d d f d 6、重积分的应用 （Ⅰ）平面图形的面积 设 D 为平面区域，其面积为  = D A d （Ⅱ）空间立体的体积 设  为空间区域，其体积为   V = dV （Ⅲ）曲面的面积 设曲面方程为 z = f (x, y),(x, y)  D ，函数 f(x,y)在 D 上有连续的 偏导数，则该曲面面积为: S f f dxdy D =  + x + y 2 2 1 (IV) 物体的质量 ( 1) 平面薄片的质量：设薄片占有平面区域 D,其面密度为  = (x, y) ，则其质 量为：  = D M (x, y)d （2）空间立体的质量：设物体占有空间区域  ，其体密度为  = (x, y,z) ，则其 质量为   m = (x, y,z)dV （Ⅴ）物体的质心 （1） 平面薄片的质心：设薄片占有平面区域 D，其面密度为  = (x, y) ，则薄片 的重心坐标 (x, y) 为：  = D x x y d m x ( , )  1 ，  = D y x y d m y ( , )  1 ， 其中 m 为薄片的质量  = D m (x, y)d （2） 空间物体的质心：设物体占有空间区域  ，其体密度为  = (x, y,z) ，则物体 的质心坐标 (x, y,z) 为：       = = = x z x y z dv M y x y z dv z M x x y z dv y M x ( , , ) 1 ( , , ) , 1 ( , , ) , 1    其中   M = (x, y,z)dv （Ⅵ）物体的转动惯量： （1）平面薄片的转动惯量：设平面薄片占有区域 D，其面密度为  = (x, y) ，则薄

片对x轴和y轴的转动惯量1、，分别为： L,=J∬ypx,y)do,L,=j∬x2px,ydo (2)物体的转动惯量：设物体占有空间区域Q,其体密度为p=P(x,八，)，则物体 对x:轴的转动惯量、，和L分别为： =(+)p(x.y.=)dv.1=(x+)x.y.dv. .=j∬ex2+y)p(x.y.dv (Ⅶ)引力 设立体2的密度为p=px,y),2外一点(x0,o)处有质量为m的 质点，则立体2对质点P,的引力为F=Fi+F+Fk,其中 E=mf.,R='产ax E=km∬号px,y,其中r=Gx-广+0-%广+-，A 为引力常数。 四、思考题 1、设函数f(x,y)在区域D上连续，则符号f(x,y)少表示什么？这个量与什么有 关？与什么无关？其几何意义是什么？ 2、采用极坐标计算二重积分时，其面积元素的表达式是什么？一般在什么情况下采用极 坐标计算比较方便？ 3、试问下列等式是否成立，为什么？ (1)f「xky=4「x)kdcg其中Dx+y2≤4，D1:r2+y2≤4及x≥0y≥0 2)x+p达=∬x其中D:a)'y≤da>0 G)∬fxk=4d0 f(rcose0,rsn)i,其中D.1≤x4r (4)∬xdw=4∬xd,∬dw=4∬dw,其中：x+y2+≤R,20, 21:x2+y2+z2≤R2及x≥20y≥0.：≥0

25 片对 x 轴和 y 轴的转动惯量 Ix、Iy分别为：   = = D y D I x y (x, y)d,I x (x, y)d 2 2 （2）物体的转动惯量：设物体占有空间区域  ，其体密度为  = (x, y,z) ，则物体 对 x,y,z 轴的转动惯量 Ix、Iy 和 Iz 分别为：   = ( + ) ( , , ) , 2 2 I x y z  x y z dV   = ( + ) ( , , ) , 2 2 I y x z  x y z dV   I z = (x + y ) (x, y,z)dV 2 2  （Ⅶ）引力 设立体  的密度为  = (x, y,z) ， 外一点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 处有质量为 m 的一 质点，则立体  对质点 P0 的引力为 F=Fxi+Fyj+Fzk，其中   − = ( , , ) , 3 0 x y z dV r x x Fx km    − = ( , , ) , 3 0 x y z dV r y y Fy km    − = ( , , ) , 3 0 x y z dV r z z Fz km  其中 r (x x ) (y y ) (z z ) ,k 2 0 2 0 2 = − 0 + − + − 为引力常数。 四、思考题 1、设函数 f (x, y) 在区域 D 上连续，则符号  D f (x, y)dxdy 表示什么？这个量与什么有 关？与什么无关？其几何意义是什么？ 2、采用极坐标计算二重积分时，其面积元素的表达式是什么？一般在什么情况下采用极 坐标计算比较方便？ 3、试问下列等式是否成立，为什么？ （1）   = D D xydxdy xydxdxy 1 4 , 其中 D:x2+y2≤4,D1:x2+y2≤4,及 x≥0,y≥0 （2）   + = D D (x y)dxdy xdxdy, 其中 D:（x-a）2+y2≤a 2 (a>0) （3）    = D f x y dxdy d f r r rdr 2 1 2 0 ( , ) 4  ( cos, sin  )  ，其中 D:1≤:x2+y2≤4 （4）         = = 1 1 x d 4 x d, zd 4 zd ，其中 : , 0 2 2 2 2  x + y + z  R z  ，  x + y + z  R 2 2 2 1 : 2 及 x≥0,y≥0,z≥0

(5)川∬(x+y+z)小t=3∬xdt,其中2：x+y+:=1及 x0,y0,:0 4、通常在什么情况下采用柱坐标或球坐标计算三重积分比较方便？ 5、何谓三重积分的“先二后一”计算法？在什么情况下采用此法比较方便？ 五、典型例题分析 例1将I=[fx,y)dG表示为累次积分，其中D:由 2+y2=8y=0,x=2=1所围。 分析先画出积分域D的草图。由图可见，若选择先y后x的 积分次序，积分将分为三段 计算量较大。所以本题应选先x后y的积分次序。 解1=达 2计血雾+。血雾 图91 分析按题中所给积分次序进行积分，将比较困难，若更换积分次序，会比较方便。这 首先需要根据所给积分限画出积分区域的草图（图91），然后改选先x后y的积分次 序，再定限积分。 解 t广如-小-头影小 π 2y -2imsy-sw-+ 小结如何选择积分次序？ (1)取决于积分区域的形状，要使积分域的分块情况最简单， (2)取决于被积函数的具体形式，使先作的积分简便，有时甚至先积分中的被积函数没 有初等原函数，如积分。e少只有改变积分次序，才能达到积分的日的。 在作重积分计算时，应注意下面几点： 应选择好适当的坐标系 “般选坐标系应兼顾被积函数与积分区域两头 如被积函 数为？+y)积分区域为圆形，或其一部分，应选极坐标系。但两头都能兼顾的情况是 很少的，一般以区域优先考虑。如区域为圆形、扇形、圆环或区域边界用极坐标方程 表达较简单时，应选极坐标，否则选直角坐标。 2)应尽量利用对称性，但对称性也必须兼顾两头，即区域或被积函数。具体方法如下： (1)若区域D关于x轴对称（图92），则

26 （5）     (x + y + z)dxdydz = 3 xdxdydz ，其中  : x + y + z = 1 及 x≥0,y≥0,z≥0 4、通常在什么情况下采用柱坐标或球坐标计算三重积分比较方便？ 5、何谓三重积分的“先二后一”计算法？在什么情况下采用此法比较方便？ 五、典型例题分析 例 1 将  = D I f (x, y)d 表 示 为 累次 积分 ，其 中 D: 由 , 1 2 1 8, 0, 2 2 2 x + y = y = x = y y = 所围。 分析 先画出积分域 D 的草图。由图可见，若选择先 y 后 x 的 积分次序，积分将分为三段， 计算量较大。所以本题应选先 x 后 y 的积分次序。 解   − = 1 0 8 2 1 2 2 ( , ) y y I dy f x y dx 例 2 计算     + 4 2 2 2 1 2 sin 2 sin dy y x dy dx y x dx x x x   分析 按题中所给积分次序进行积分，将比较困难，若更换积分次序，会比较方便。 这 首先需要根据所给积分限画出积分区域的草图（图 9-1），然后改选先 x 后 y 的积分次 序，再定限积分。 解 原式= dx y x dy y   y 2 1 2 2 sin  =  − 2 1 2 2 cos 2 dy y y x y y   =  − − 2 1 ) 2 cos 2 (cos 2 y y dy    = (2 ) 4 2   + 小结 如何选择积分次序？ （1）取决于积分区域的形状，要使积分域的分块情况最简单； （2）取决于被积函数的具体形式，使先作的积分简便，有时甚至先积分中的被积函数没 有初等原函数，如积分   − 2 0 2 2 x y dx e dy 只有改变积分次序，才能达到积分的目的。 在作重积分计算时，应注意下面几点： 1） 应选择好适当的坐标系，一般选坐标系应兼顾被积函数与积分区域两头。如被积函 数为 f(x 2+y 2 )积分区域为圆形，或其一部分，应选极坐标系。但两头都能兼顾的情况是 很少的，一般以区域优先考虑。如区域为圆形、扇形、圆环或区域边界用极坐标方程 表达较简单时，应选极坐标，否则选直角坐标。 2）应尽量利用对称性，但对称性也必须兼顾两头，即区域或被积函数。具体方法如下： （1）若区域 D 关于 x 轴对称（图 9-2），则 图 9-1

[2[f(x.y)dxdy,(x-)=f(x.y) 0, 当fx,-y)=-f(x,) (2)若区域D关于y轴对称（图9-3），则 2f(x,y)dxdy,(-x,y)=f(x,y) J∬fx,yk= 0 当f(-x,y)=-f(x,y) (3)若区域D关于x轴和y轴均对称（图94），则 [4f[f(x.y)dxdy.(-x.-y)=f(x.y) ∬fcd= 当f(-x,-y)=-f(x,y) 0. 或f(x,-)=-f(, 图9-2 图9-3 例3计算下列二重积分 (I)∬+y其中D=(x,y+s1) (2)川(x2+y2)d,其中D是以(0,0，.1,0X0,1)为顶点的三角形。 (3)川l+(x2+y,其中D由=，=1,1围成，才是连续函数。 分析(1)D为方形域，应选直角坐标系。因积分区域关于x、y轴都对称，函数：以+ 中y关于y是奇函数，而关于x,y都是偶函数，故应分成两个积分。 (2)虽然x片+)，但区域为方形，故仍应选直坐标计算。又因D为轮换对称 (如(x,y)eD=oy,x)eD),故「xdy=y2dkdy (3)被积函数出现抽象形式x2+y,直接积分是不可能得到结果的。但应注意，其 之

27       − = − − = = D D f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 当 当 （2）若区域 D 关于 y 轴对称（图 9-3），则       − = − − = = D D f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 当 当 （3）若区域 D 关于 x 轴和 y 轴均对称（图 9-4），则          − = − − − = − − − = = D D f x y f x y f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, 4 ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 或 当 当 图 9-2 图 9-3 图 9-4 例 3 计算下列二重积分 （1）  + = +  D ( x y)dxdy,其中D {(x, y) x y 1} （2）  + D (x y )dxdy 2 2 ，其中 D 是以(0,0),(1,0)(0,1)为顶点的三角形。 （3）  + + D x[1 yf (x y )]dxdy 2 2 ，其中 D 由 y=x 3，y=1，x=-1 围成，f 是连续函数。 分析 （1）D 为方形域，应选直角坐标系。因积分区域关于 x、y 轴都对称，函数 f(x,y)= x + y 中 y 关于 y 是奇函数，而 x 关于 x，y 都是偶函数，故应分成两个积分。 （2）虽然 f(x,y)=f(x 2+y 2 )，但区域为方形，故仍应选直坐标计算。又因 D 为轮换对称 （如 (x, y)  D  ( y, x)  D ），故   = D D x dxdy y dxdy 2 2 (3)被积函数出现抽象形式 f(x2+y2 )，直接积分是不可能得到结果的。但应注意，其

中(x,)=xyx2+y2)满足p(-x,)=-p(x,)及0x,-y)=-p(x,) 若能创造条件使积分区域D分为两部分，其图形分别关于x轴和y轴对称，则可利用 对称性使问题迎刃而解。 解D小树+=h=4=号 2)由轮换对称性广(x+少dd小=2可x小=言 (3)用曲线y=-x将D分为D1与D(图9-5)。显然D关于y轴为对称，D关于x轴 对称。 川xyx2+y2 xf(x2+)dxdy+xf(x+y)dxdy=0 故∬+x2+y=∬xd=∫xd 小-=0-2可h=号 图9.5 直接积分的问题得以解决。但必须注意正确利用这种性 质，否则会导致错误。 倒4计算川cos(x+y 分析带有绝对值（或偶次根号）的函数的积分关键是适当划分积分区域，使在绝对值内的 被积函数在各小区域上保持定号，然后利用区域可加性去掉绝对值后再积分。 解：将D表成D+D,其中D:0≤x≤号0Sy≤号-xD,=D-D,则 原试=∬cox+达-∬osx+h =∫costx+-dcor+-cox+ -smx达+后在+∫mx=不 28

28 中 ( , ) ( ) 2 2  x y = xyf x + y 满足 (−x, y) = −(x, y) 及 (x,−y) = −(x, y) 若能创造条件使积分区域 D 分为两部分，其图形分别关于 x 轴和 y 轴对称，则可利用 对称性使问题迎刃而解。 解：（1）    + = = = D D D x y dxdy x dxdy xdxdy 1 3 2 ( ) 4 （2）由轮换对称性   + = = D D x y dxdy x dxdy 6 1 ( ) 2 2 2 2 （3）用曲线 3 y = −x 将 D 分为 D1 与 D2（图 9-5）。显然 D1 关于 y 轴为对称，D2 关于 x 轴 对称。 xyf x y dxdy D  ( + ) 2 2   = + + + = 1 2 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 D D xyf x y dxdy xyf x y dxdy 故   −  + + = = D D x x yf x y dxdy xdxdy dx xdy 1 1 1 2 2 3 [1 ( )] =  −  − = − = − 1 1 1 0 4 4 5 2 (x x )dx 0 2 x dx 图 9-5 小结 利用被积函数与积分域的对称性质，常常使重积分的计 算简化许多，避去容易错的繁琐计算，而且使一些无法 直接积分的问题得以解决。但必须注意正确利用这种性 质，否则会导致错误。 例 4 计算    −   + y x x x y dxdy   0 0 cos( ) 分析 带有绝对值（或偶次根号）的函数的积分关键是适当划分积分区域，使在绝对值内的 被积函数在各小区域上保持定号，然后利用区域可加性去掉绝对值后再积分。 解：将 D 表成 D1+D2，其中 1 2 1 , 2 ,0 2 D : 0  x   y  − x D = D − D   ，则         = + − + − + = + − + − − − −         2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 1 2 dx x y dy dx x y dy dx x y dy x y dxdy x y dxdy x x x D D 原试 =    − + + = 2 0 2 0 2 (1 sin ) sin    x dx dx  xdx  y

例5计算[xd其中D油x2+y2≥1，x2+y2-2x≤0，y≥0所围。 分析当(1)积分域的边界曲线以极坐标方程给出方便（如圆，心形线，双纽线等），且 被积函数是x2+y)或y)等形式：(2)用直角坐标积分较繁，甚至不可积时（如 小eyd6),常采用极坐标进行积分.本 题属于(1)的形式，故可利用极坐标来计算。 解如图96D:1sr≤2cos0,0≤0≤ ∬kd=j信d02m°r产sn0.cosair 图96 -4sm6asai0-sn9casaua=g *例6计算x)0yD是由=2,9=4JyxJ=2x围成 分析积分区域较复杂，直接用直角坐标计算较麻烦，故可根据区域的不等式表示选择 般坐标变换。 ◆膜，空字名D生2s2, 于是照aad-车=3h2 7#e+hD号+若s 分析本题适合用广义极坐标变换：x=arcos日，y=brsn0,会使问题简化。 解=M-0→D020 原式=j∬r2(a2cos20+b2sn20)abrdrd0 =∫0(a2cos20+62sn20d0-j0abr2dt=夏aa2+b) ·例8计算I=厂(x+y),其中D由曲线+2=x+y所界 分析此边界直接画图较难，可先化成极坐标方程再绘草图，也可不绘图，通过解不等式

29 例 5 计算 , 1, 2 0, 0 2 2 2 2 +  + −    xydxdy D x y x y x y D 其中 由 所围。 分析 当（1）积分域的边界曲线以极坐标方程给出方便（如圆，心形线，双纽线等），且 被积函数是 f(x 2+y 2 )或 f(xy)等形式；（2）用直角坐标积分较繁，甚至不可积时（如  − − D x y e d 2 2 ），常采用极坐标进行积分。本 题属于（1）的形式，故可利用极坐标来计算。 解 如图 9-6 3 :1 2cos ,0  D  r         =  D xydxdy d r  dr   sin cos 3 2cos 1 3 0 =   3 − = 0 3 0 5 16 9 sin cos 4 1 4 sin cos    d  d *例 6 计算  D xydxoy, D 是由 xy=2, xy=4,y=x,y=2x 围成 分析 积分区域较复杂，直接用直角坐标计算较麻烦，故可根据区域的不等式表示选择一 般坐标变换。 解 令 xy=u, y =x ，则 x y D x y D u v 2 ( , ) ( , ) = ，故 y v x J 2 1 2 = = ，D 变为 2  u  4,1   2 ， 于是原式=      =  = 4 2 2 1 4 2 2 1 3ln 2 2 1 2 1 v dv dv udu v du u *例 7 计算  + +  D b y a x (x y )dxdy, D : 1 2 2 2 2 2 2 分析 本题适合用广义极坐标变换： x = ar cos , y = brsin  ，会使问题简化。 解 J = J = abr 0  2 0 1 :     →  r D D 原式=   + D r (a cos  b sin )abrdrd 2 2 2 2 2 =   +  = + 1 0 2 2 2 2 3 2 2 2 0 ( ) 4 (a cos b sin )d abr dr ab a b      *例 8 计算  = + D I (x y)dxdy ，其中 D 由曲线 x 2+y 2=x+y 所界 分析 此边界直接画图较难，可先化成极坐标方程再绘草图，也可不绘图，通过解不等式， 图 9-6

米决定变化范围即积分限， 解(I)D为圆形域，引入极坐标x=pcosp,y=psin代入曲线方程得 p=cose+sin o=2si+ 由u≤p≤cosp+snp及snp+c0sp20得：V2smp+牙20 故2nr≤p+子≤2m+x,但p≤2x,故取u=0得，-子5p子，于是 1dep(coso+sm )odp （)易知圈心在点（兮，令x=ro0s0+=rs血0+分（御极点取在图心而 丰银显现0≤0≤2，将支换代入圆的方起，得-宁于是得0≤r≤方 故 Id (+rcos0+rsh0)nd (Ⅲ)画图见限（略） 9良装且，为利=重分运到可a治之-o旷 分析所证不等式右端(b)2可视为二重积分∫了dk,那么就希望将左端也化为二 重积分，这是可能的。重积分的计算方法，是化做累次积分。反过来累次积分也可 以化成一个重积分， 根据定积 之值与积分变量的记号无关的性质，可将两个定积 分之积写为二次积分，进而化为二重积分，然后利用被积爵数的不等关系来证明 王a高-广亮得 又广急-海斋微 Aa恤高-rra 得-们=-

30 来决定变化范围即积分限。 解（Ⅰ）D 为圆形域，引入极坐标 x =  cos, y =  sin  代入曲线方程得 ) 4 cos sin 2 sin(   =  +  =  + 由 ) 0 4   cos + sin sin + cos  0 : 2 sin( +      及   得  故 4 3 4 (2 1) , 2 , 0, : 4 2        n   +  n + 但  故取n = 得 −   ，于是   + − = + =            cos sin 0 4 3 4 2 I d (cos sin ) d （Ⅱ）易知圆心在点 ) 2 1 , 2 1 ( ，令 2 1 , sin 2 1 x = r cos + y = r  + ，（即极点取在圆心而 非原点），显见 0   2 ，将变换代入圆的方程，得 2 2 1 r = ，于是得 2 1 0  r  ， 故 2 (1 cos sin ) 2 1 0 2 0      = + +  =   I d r r rdr （Ⅲ）画图见限（略） 例 9 设 f(x)在[a,b]连续，且 f(x)>0，利用二重积分证明    − b a b a b a f x dx f x dx 2 ( ) ( ) ( ) 分析 所证不等式右端（b-a）2 可视为二重积分 dxdy b a b   a ，那么就希望将左端也化为二 重积分，这是可能的。重积分的计算方法，是化做累次积分。反过来累次积分也可 以化成一个重积分，根据定积分之值与积分变量的记号无关的性质，可将两个定积 分之积写为二次积分，进而化为二重积分，然后利用被积函数的不等关系来证明。 证     = b a b a b a b a f y dy f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) =   b a b a dxdy f y f x ( ) ( ) 又     = b a b a b a b a f x dy f y dy f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) =   b a b a dxdy f x f y ( ) ( ) 那么，     + = b a b a b a b a dxdy f x f y f x f y f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2      = = − b a b a b a b a dxdy dxdy b a f x f y f x f y 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1