《高等数学》课程教学资源（补充与提高）第十一讲 曲线曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 一、学习目的与要求 1、加深理解两类曲线积分的概念与性质。 2、熟练掌握两类曲线积分的计算法。 3、熟悉并会应用格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。 6、掌握两类曲面积分的计算方法。 7、掌握高斯公式，并会利用高斯公式计算曲面积分。 8、了解斯托克斯公式及散度与旋度等概念。 9、能用曲面积分来表达一些几何量与物理量（如质量、重心等）。 二、学习重点 对坐标的曲线积分的计算与格林公式。 对坐标的曲面积分的计算与高斯公式。 三、内容提要 1、第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） (I)定义 /化达=细255A,其中L为空间光滑或分段光滑的曲 线孤，f(x,y,)是L上的有界函数，△s,△s2,.,△s。是将L任意划分成的n个小 弧段，(，5)是△s,上任意一点·△,也表示其长度 (i=1,2,.,m,元=xAs} (Ⅱ)可积性若函数fx八，)是L上的连续函数，则」，∫(x,八，)d山存在。 (m)性质设L是有限长的分段光滑曲线，f(x,y,2),g(x,八，)在L上连续，A、B 分别为L的起点和终点，则有 (1)J(x,达=(x,y还，即第一型曲线积分与曲线L的方向无关。 (2)∫，[ax,八，)+g(x,水，山=a,fx,八)s+,g(x,以，)d(a,B为常 数) (3)若L由两段弧L1和L2构成，则∫，f(x,出=∫fx,八，+」f(x,八，s (4)存在（5，n,s)∈L,使∫f(x,八，：站=f(5,n,s)ss为曲线L的弧长)

37 第十章 曲线积分与曲面积分 一、学习目的与要求 1、加深理解两类曲线积分的概念与性质。 2、熟练掌握两类曲线积分的计算法。 3、熟悉并会应用格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。 4、知道曲线积分的一些简单应用。 5、加深理解两类曲面积分的概念与性质。 6、掌握两类曲面积分的计算方法。 7、掌握高斯公式，并会利用高斯公式计算曲面积分。 8、了解斯托克斯公式及散度与旋度等概念。 9、能用曲面积分来表达一些几何量与物理量（如质量、重心等）。 二、学习重点 对坐标的曲线积分的计算与格林公式。 对坐标的曲面积分的计算与高斯公式。 三 、内容提要 1、 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） （Ⅰ）定义 i i i i n L i f x y z ds = Lim f s  = → ( , , ) ( , , ) 1 0     ，其中 L 为空间光滑或分段光滑的曲 线弧， f (x, y,z) 是 L 上的有界函数， n s ,s , ,s 1 2  是将 L 任意划分成的 n 个小 弧 段 ，（  i i  i , , ） 是 i s 上任意一点。 i s 也表示其长度 （  i i n i = n = s 1  1,2,  , ), max . （Ⅱ）可积性 若函数 f (x, y, z) 是 L 上的连续函数，则  L f (x, y,z)ds 存在。 （Ⅲ）性质 设 L 是有限长的分段光滑曲线， f (x, y,z), g(x, y,z) 在 L 上连续，A、B 分别为 L 的起点和终点，则有 （1）   = AB BA f (x, y,z)ds f (x, y,z)ds, 即第一型曲线积分与曲线 L 的方向无关。 （2）    + = + L L L [f (x, y,z) g(x, y,z)]ds  f (x, y,z)ds  g(x, y,z)ds ( ,  为常 数) （3）若 L 由两段弧 L1 和 L2 构成，则 f x y z ds f x y z ds f x y z ds  L  L  L = + 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) （4）存在（  ,, ）  L ，使 f x y z ds  L ( , , ) = f (,, )s (s 为曲线 L 的弧长)

(IV)计算法则 (1)设空间分段光滑曲线L的参数方程为x=x(),y=y),:=(),a≤t≤B 其中x(t),(t),(t)在[a,B]上有连续导数，则有： ∫fx,y=)d=∫。fx)0,=Nr'+Dy'+e'd 其中ds=V[x'(u]+yu]+'u]d山为曲线L弧长的微分。 (2)关于平面曲线积分」f(x,y)还的计算方法 1°若平面曲线L的参数方程为x=x(t),y=(),a≤1≤B,则 dk=x'(+[by'(ud,」，fx,y)d达=fxt,tVxt'+[by]dh 2°若平面曲线L的方程为y=y(x(≤x≤β)，则ds=√+y(x本， ∫fxy)d=-∫fx,xN1+y(x4 3”若平面曲线L的方程为x=(yXa≤y≤B),则d=Vxy+1d ∫fxy达=∫2f几x%ror+id 40若平面曲线L由极坐标方程y=0),(@≤0≤B)给出，则 x=r(0)cos0.y=r(o)sm0.ds=()+[r()de, ∫fx,y)=∫fr(e)cos8,re)sn olr(e)+r'ed0 注：第一型曲线积分化为定积分时，定积分的下限一定不大于上限。 (V)应用 (1)求曲线L的弧长s:s=[,dk (2)求曲线弧的质量与重心：若p=px,y,)为光滑曲线L在点(x,y,)处的线密度 则曲线L的质量M为：M=[p(x,y,)5:设曲线L的重心坐标为（不，元，），则 =,=随=

38 （IV）计算法则 （1）设空间分段光滑曲线 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t),z = z(t),  t   其中 x(t), y(t),z(t) 在[ ,  ]上有连续导数，则有： f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt  L  = + +    2 2 2 ( , , ) [ ( ), ( ), ( )] [ '( )] [ '( )] [ ( )] 其中 ds = x t y t z t dt 2 2 2 [ '( )] +[ '( )] +[ ( )] 为曲线 L 弧长的微分。 （2）关于平面曲线积分 L f (x, y)ds 的计算方法 1 0 若平面曲线 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t),  t   ,则 ds x t y t dt 2 2 = [ ( )] +[ '( )] ，   = + L f x y ds f x t y t x t y t dt   ( , ) [ ( ), ( )] [ '( )] [ '( )] ] 2 2 2 0 若平面曲线 L 的方程为 y = y(x)(  x   ) ，则 ds y x dx 2 = 1+[ '( )] ，   = + L f x y ds f x y x y x dx   2 ( , ) [ , ( )] 1 [ '( )] 3 0 若平面曲线 L 的方程为 x = x( y)(  y   ) ，则 [ '( )] 1 , 2 ds = x y + dy f x y ds f x y y x y dy L ( . ) [ ( ), ] [ '( )] 1 2 = +     4 0 若平面曲线 L 由极坐标方程  =  ( ),(    ) 给出，则 x =  ( ) cos, y =  ( )sin  ， ds   r  d 2 2 = [ ( )] +[ '( )] ，   = +    f x y dx f r   r   r  r  d L 2 2 ( , ) [ ( ) cos , ( )sin ] [ ( )] [ ( )] 注：第一型曲线积分化为定积分时，定积分的下限一定不大于上限。 （Ⅴ）应用 （1）求曲线 L 的弧长  = L s : s ds （2）求曲线弧的质量与重心：若  = (x, y,z) 为光滑曲线 L 在点 (x, y,z) 处的线密度， 则曲线 L 的质量 M 为：  = L M (x, y,z)ds ；设曲线 L 的重心坐标为 (x, y,z) ，则    = = = L L L z ds M y ds z M x ds y M x . 1 , 1 , 1   

类似重积分，还可写出求曲线的转动惯量公式及曲线对质点的引力公式。 2、第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） (I)定义设Px,y,),Q(x,y,),R(x,y,)是定义在有向曲线L上的函数， F={P,Q,RF={cosa,cosB,cosy}为有向曲线L在点(x,y,:)处的单位切线 矢量，若积分[，F,存在，称它为矢量函数（或函数组P,Q,R)沿曲线L的第 二型曲线积分（或对坐标的曲线积分)。记F=化，八，》而={，少，止}则 dr=- fdx,dy,d sd=巡，F,ik=F.f=Pd+Qy+Rt )2+(2+(d 于是∫F.动又可记作∫F.f或j,P+Q咖+t (Ⅱ)可积性若F-{P,Q,R},P,Q,R在光滑曲线L上连续，则[，F·存在。 (Ⅲ)性质 D)F·本=-F·本，即第二型曲线积分与曲线的方向有关。 (2)∫(aF+G)dF=a,F.df+G而，(a,B为常数) (3)若有向曲线L平行于x0y面，则，Rt=0 若有向曲线L平行于o:面，则，P=0 若有向曲线L平行于0x面，则∫，Q山=0 若有向曲线L是平行于x轴的直线段，则∫，Q=∫Rt=0,其余类推。 (IV)计算法则 (1)设空间分段光滑有向曲线L的参数方程为x=x(),y=y),:=(),L的起点对 应1=a,终点对应1=B,则 JP(x.y.=)dx+Q(x.y.=.)dy+R(x.y.z)dE =∫2Px,0.=0'0+Ox00,0y0+x00,zo (2)关于平面第二型曲线积分」，P(x,y女+Q(x,y)的计算方法 39

39 类似重积分，还可写出求曲线的转动惯量公式及曲线对质点的引力公式。 2、第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） （ Ⅰ ） 定义 设 P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z) 是 定 义 在有 向 曲线 L 上 的 函数 ， =  , , , = cos,cos ,cos    F P Q R 为有向曲线 L 在点（ x, y, z ）处的单位切线 矢量，若积分   L F ds   存在，称它为矢量函数（或函数组 P,Q, R ）沿曲线 L 的第 二型曲线积分（或对坐标的曲线积分）。记 r = x, y,z dr = dx,dy,dz   ， ，则   ds ds dx dy dz dx dy dz dr    = + + = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , ， F  ds = F  dr = Pdx + Qdy + Rdz      于是   L F ds   又可记作   L F dr   或  + + L Pdx Qdy Rdz （Ⅱ）可积性 若 F = P,Q, R  ， P,Q, R 在光滑曲线 L 上连续，则   L F dr   存在。 （Ⅲ）性质 （1）    = −  AB BA F dr F dr,     即第二型曲线积分与曲线的方向有关。 （2）    +  =  +  L L L (F G) dr  F dr  G dr,(,         为常数） （3） 若有向曲线 L 平行于 xoy 面，则  = L Rdz 0 若有向曲线 L 平行于 yoz 面，则  = L Pdx 0 若有向曲线 L 平行于 zox 面，则  = L Qdy 0 若有向曲线 L 是平行于 x 轴的直线段，则 = = 0  L  L Qdy Rdz ，其余类推。 （IV）计算法则 （1）设空间分段光滑有向曲线 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t),z = z(t)，L 的起点对 应 t = ，终点对应 t =  ，则 P x t y t z t z t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt P x y z dx Q x y z dy R x y z dz L   = + + + +   [ ( ), ( ), ( )] '( ) [ ( ), ( ), ( )] '( ) [ ( ), ( ), ( )] '( ) ( , , ) ( , , ,) ( , , ) （2）关于平面第二型曲线积分 P x y dx Q x y dy L ( , ) + ( , )  的计算方法

10若平面有向光滑曲线L的参数方程为x=x),y=),L的起点对应1=a,终 点对应t=B,则 P(x.y+(x.)dy=[(Px().(()+ox().oy()dt 2若平面有向曲线L由直角坐标系下的方程y=x)给出，L的起点对应1=， 终点对应1=B,则 Px,y+Q(x,y)d=∫{Px,x】+Ox,xy(x) (V)应用质点沿有向曲线L从起点运动到终点时变力 F=P(x,y,7+Q(x,y,)i+Rx,y,=)k所做的功W为：W=∫F.f或 W=P(x,y,=dx+e(x,y,=)dy+R(x,y,=)d (VI)全微分式的积分 L是以A为起点，B为终点的分段光滑曲线，函数P,Q,R在L 上连续，若存在可微函数u(x,y,),使得d=Pdk+Q+Rd,则 B aPh++==M- 平面曲线积分也有类似结论。 (VI)格林(Green)公式 设平面闭区域D的边界是分段光滑曲线L,函数P(x,y,)Q(x,)在D上有一阶连续偏 (VⅢ)平面上曲线积分与路径无关的条件 设D是平面单连通域，函数P(x,y),Qx,)在D内有连续的一阶偏导数，则以下条件 互相等价。 (1入、对D中任一分段光滑曲线，积分∫P在+Q小与路径无关，只与L的起点和终 点有关。 (2X、沿D中任一分段光滑闭曲线L有：∫，P本+Q=0

40 1 0 若平面有向光滑曲线 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t), L 的起点对应 t = ，终 点对应 t =  ，则     + = +   P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt L ( , ) ( , ) [ ( ), ( )] '( ) [ ( ), ( )] '( ) 2 0 若平面有向曲线 L 由直角坐标系下的方程 y = y(x) 给出，L 的起点对应 t = ， 终点对应 t =  ，则     + = +   P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx L ( , ) ( , ) [ , ( )] [ , ( )] '( ) （Ⅴ）应用 质点沿有向曲线 L 从起点运动到终点时变力 F P x y z i Q x y z j R x y z k     = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 所做的功 W 为：  =  L W F dr   或 W P x y z dx Q x y z dy R x y z dz L = ( , , ) + ( , , ) + ( , , )  （VI）全微分式的积分 L 是以 A 为起点，B 为终点的分段光滑曲线，函数 P,Q, R 在 L 上连续，若存在可微函数 u(x, y,z) ,使得 du = Pdx + Qdy + Rdz ，则  + + = = − AB u B u A A B  Pdx Qdy Rdz u ( ) ( ) 平面曲线积分也有类似结论。 （VII）格林（Green）公式 设平面闭区域 D 的边界是分段光滑曲线 L，函数 P(x, y,),Q(x, y) 在 D 上有一阶连续偏 导数，则有：     −   + = D L dxdy y P x Q Pdx Qdy ( ) , 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。 （VIII）平面上曲线积分与路径无关的条件 设 D 是平面单连通域，函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 内有连续的一阶偏导数，则以下条件 互相等价。 （1）、对 D 中任一分段光滑曲线 L，积分  + L Pdx Qdy 与路径无关，只与 L 的起点和终 点有关。 （2）、沿 D 中任一分段光滑闭曲线 L 有：  + = L Pdx Qdy 0

(3)在D内每一点处有巴=即 (4、在D内存在u(x,),使得du=Pdk+O,且 功=P油+Q冰+c,这里的化)为D内任意-定点，c 为任意常数。 (X)两类曲线积分之间的联系 Pdx+Qdy+Rd=(Pcosa+OcosB+Rcosy)ds 其中{Cosa,cosB,cosy}为有向曲线L在点(x,y,)处的单位切线矢量。 3、第一型曲面积分（对面积的曲面积分） (I)定义 fx:5=m∑5,1,5，A,其中s是空间分片光滑的曲面， f(x,y,)是定义在S上的有界函数，△，△s2,△sn是将S划分成的n个小曲 面，(5，S)为小曲面△s上任意一点，△S,也表示其面积 =12,.,川），元=ma{As,的直径. (Ⅱ)可积性若fx,y,)在光滑曲面S上连续，则川fx,水，)dS存在。 (Ⅲ)性质 与第一型曲线积分性质相同。 (V)计算法则 (1)设曲面S有方程：=(x,y),它在xOy面上投影区域为D,则 ∬fcys=∬xy(x川++ (2)设曲面S有方程y=y(x,),它在xO面上投影区域为D,则 /xy=s=∬xx以h+2+g止 (3)设曲面S有方程x=x(,:),它在0z面上投影区域为D,=,则

41 （3）、在 D 内每一点处有 y P x Q   =   （4）、在 D 内存在 u(x, y) ，使得 du = Pdx + Qdy ，且  = + + ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y u x y P x y dx Q x y dy c ，这里的 ( , ) 0 0 x y 为 D 内任意一定点，c 为任意常数。 （IX）两类曲线积分之间的联系   + + = + + L L Pdx Qdy Rdz (Pcos Qcos  Rcos )ds 其中 cos,cos ,cos 为有向曲线 L 在点 (x, y,z) 处的单位切线矢量。 3、第一型曲面积分（对面积的曲面积分） （Ⅰ）定义 i n i i i i S f x y z dS =  f s  = → 1 0 ( , , ) lim ( , , )  ，其中 S 是空间分片光滑的曲面， f (x, y,z) 是定义在 S 上的有界函数， 1 s , 2 s ,., n s 是将 S 划分成的 n 个小曲 面 , ( , , )  i i  i 为小曲面 i s 上任意一点 , i s 也表示其面积 (i = 1,2,  ,n), in = 1  max { i s 的直径}。 （Ⅱ）可积性 若 f (x, y,z) 在光滑曲面 S 上连续，则  S f (x, y,z)dS 存在。 （Ⅲ）性质 与第一型曲线积分性质相同。 （Ⅳ）计算法则 (1)设曲面 S 有方程 z = z(x, y) ，它在 xoy 面上投影区域为 Dxy ，则  S f (x, y,z)dS = f x y z x y z z dxdy Dxy  + x + y 2 2 [ , , ( , )] 1 （2）设曲面 S 有方程 y = y(x,z) ，它在 xoz 面上投影区域为 Dxz ，则  S f (x, y,z)dS = f x y x z z y y dxdz Dxz  + x + z 2 2 [ , ( , ), ] 1 （3）设曲面 S 有方程 x = x( y,z) ，它在 yoz 面上投影区域为 Dyz ，则

∬fcys=∬0，yV++xt (V)应用 (1)计算曲面面积：S=小必 (2)计算曲面的质量：M=x,y,)d达，其中p(x,y,)为曲面S在(x,y,)处 的面密度。 (3)计算曲面的重心(G,y,) =川xh.=x地.=立达 (4)计算曲面的转动惯量： 1=j川0y2+:2)px,y)d,1,=j∬(x2+2)px,y=)d, 1.=∬(x2+y2)px,y=)d,10=川x2+y2+2)px,z) (5)类似三重积分计算曲面对质点的引力。 4、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分） (I)定义设P(x,y,)、Q(x,y,)、R(x八，)是定义在有向曲面Σ上的函数，记 F={P,2,R,i={cosa,cosB,cosy}为有向曲面Σ指定一侧在(x,y,=)处的单位 法矢量。若厂F.冰存在，则称它为矢量函数F(或函数组P,Q,R)在有向曲面习 上的第二型曲面积分。记cosads=dd止，cos=dkd，cos=d,分别表示曲 面d在o:面、or面、x0y面上的有向投影，则可记 [[F.nids=[(Pcosa+QcosB+Rcosy)ds=[Pdyd+Qddx+Rdxdy 因此，第二型曲面积分也称为对坐标的曲面积分。 (Ⅱ)可积性若P(x,y,=)、Q(x,y,)、R(x,y,)在光滑有向曲面Σ上连续，则 川Pddt+Qtd+Rd存在。 (Ⅲ)性质 (1)若记(-Σ)是Σ相反的一侧的有向曲面，则

42  S f (x, y,z)dS = f x y z y z x x dydz Dyz  + y + z 2 2 [ ( , ), , ] 1 （Ⅴ）应用 （1）计算曲面面积：  = S S ds （2）计算曲面的质量：  = S M (x, y,z)ds ，其中 (x, y,z) 为曲面 S 在 (x, y,z) 处 的面密度。 （3）计算曲面的重心 (x, y,z) :  = S x x y z ds M x ( , , ) 1  ,  = S y x y z ds M y ( , , ) 1  ,  = S z x y z ds M z ( , , ) 1  （4）计算曲面的转动惯量：  = + S I x (y z ) (x, y,z)ds 2 2  ,  = + S I y (x z ) (x, y,z)ds 2 2  ,  = + S I z (x y ) (x, y,z)ds 2 2  ,  = + + S I (x y z ) (x, y,z)ds 2 2 2 0  . （5）类似三重积分计算曲面对质点的引力。 4、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分） （Ⅰ）定义 设 P(x, y,z) 、Q(x, y,z)、 R(x, y,z) 是定义在有向曲面  上的函数，记 F = {P,Q, R}  , n = {cos,cos ,cos }  为有向曲面  指定一侧在 (x, y,z) 处的单位 法矢量。 若   F  nds   存在，则称它为矢量函数 F  （或函数组 P,Q, R ）在有向曲面  上的第二型曲面积分。记 cosds = dydz, cos ds = dzdx ,cosds = dxdy ,分别表示曲 面 ds 在 yoz 面、 zox 面、 xoy 面上的有向投影，则可记   F  nds   =   (Pcos + Qcos  + Rcos )ds =   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 因此，第二型曲面积分也称为对坐标的曲面积分。 （Ⅱ）可积性 若 P(x, y,z) 、Q(x, y,z)、 R(x, y,z) 在光滑有向曲面  上连续，则   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 存在。 （Ⅲ）性质 (1) 若记（-  ）是  相反的一侧的有向曲面，则

∬Pt+Qtk+Rh=-∬Pdt+Otk+Rd (2)若有向曲面Σ由Σ，和Σ，两部分组成，则 f∬Pdd+Qd-dx+Rkd =j∬Pdt+Qd-dx+R+j∬Pt+Qd-dx+Rkdy )小(a+-id=a∬F.id+pG-id,其中a,B为常数。 (4)当有向曲面Σ垂直于xoy面时川Rky=O: 当有向曲面Σ垂直于oz面时[P小k=0: 当有向曲面Σ垂直于ox面时川Qdk=0: 当有向曲面Σ平行于xoy面时「Pd止=「Qdk=0: 当有向曲面Σ平行于oz面时[Rky=Q本=0： 当有向曲面平行于ox面时Rtd=厂Pt=0: (N)计算法则 (I)由「P小t+Qk+Rk=「Pd止+「Q止dk+「Rkd,再将右式三个积分 分别化为二重积分计算。 1°设有向曲面Σ由方程：=(x,y)给出，工在xOy面上的投影区域为D,则有 ∬Rxy=±∬x,y(xkd D 当左端有向曲面Σ取上侧时，右端积分应取“+”号： 当左端有向曲面Σ取下侧时，右端积分应取“.”号： 2°设有向曲面Σ由方程y=(x,)给出，在x0面上的投影区域为D,则有 川0(x,y,)dd=±∬x,(x,btd 当左岩有向曲面Σ取右侧时，右瑞积分应取“+”号： 当左端有向曲面Σ取左侧时，右端积分应取“”号： 3°设有向曲面由方程x=x(y,)给出，Σ在o:面上的投影区域为D=,则 43

43  − Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   − Pdydz + Qdzdx + Rdxdy (2) 若有向曲面  由 1 和 2 两部分组成，则   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   + + 1 Pdydz Qdzdx Rdxdy +   + + 2 Pdydz Qdzdx Rdxdy (3)   F + G  nds    (  ) =   F  nds    +   G  nds    ，其中 ,  为常数。 (4) 当有向曲面  垂直于 xoy 面时   Rdxdy = 0 ； 当有向曲面  垂直于 yoz 面时   Pdydz = 0 ； 当有向曲面  垂直于 zox 面时   Qdzdx = 0 ； 当有向曲面  平行于 xoy 面时   Pdydz =   Qdzdx = 0 ； 当有向曲面  平行于 yoz 面时   Rdxdy =   Qdzdx = 0 ； 当有向曲面  平行于 zox 面时   Rdxdy =   Pdydz = 0 ； （Ⅳ）计算法则 （1）由   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   Pdydz +   Qdzdx +   Rdxdy ,再将右式三个积分 分别化为二重积分计算。 0 1 设有向曲面  由方程 z = z(x, y) 给出，  在 xoy 面上的投影区域为 Dxy ，则有 =   R(x, y,z)dxdy   Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy 当左端有向曲面  取上侧时，右端积分应取“+”号； 当左端有向曲面  取下侧时，右端积分应取“-”号； 0 2 设有向曲面  由方程 y = y(x,z) 给出，  在 xoz 面上的投影区域为 Dxz ，则有 =   Q(x, y,z)dzdx   Dzx Q[x, y(x,z),z]dzdx 当左端有向曲面  取右侧时，右端积分应取“+”号； 当左端有向曲面  取左侧时，右端积分应取“-”号； 0 3 设有向曲面  由方程 x = x( y,z) 给出，  在 yoz 面上的投影区域为 Dyz ，则

丁Px,ytd=±j∬PLxy,y,dt 当左端有向曲面Σ取前侧时，右端积分应取“+”号： 当左端有向曲面Σ取后侧时，右端积分应取“.”号： (2)由j∬Pdt+Otdk+Rky=j∬(Pcosa+QcosB+Rcosy)d达=j∬F.id 可先求出有向曲面Σ的单位法矢量，求出F,再按第一型曲面积分的计算方法 化为一个二重积分求之。 (V)两类曲面积分的联系 J∬Pdt+Od-dk+Rkd=j∬(Pcosa+QcosB+Rcosy)d 其中{cosa,cosB,cos}是有向曲面Σ在点(x,y,:)处的单位法线矢量。 (M)高斯(Gauss)公式设函数P(x,y,)、(x,y,)、R(x,y,)在空间有界闭区 域Ω上有一阶连续偏导数，Σ是2的分片光滑边界曲面外侧，则有 月+0点+陆叮装号+a (I)斯托克斯(Stokes)公式设有向分段光滑闭曲线L是有向曲面Σ的边界，且L的 方向与Σ的法矢量符合右手法则，函数P,Q,R在Σ（包括边界）上有连续偏导数 则 cosa cos B cosy t 0 ,Pdt+Q+Rt=川 R R (Ⅷ)空间曲线积分与路径无关的条件 设Q是空间单连通域，函数P,Q,R在Q内有一阶连续偏导数，则下列四条件互相 等价 1)在2内每点已 =0 R (2)对2内任一分段光滑曲线L,有∫P++Rt与路径无关，只与L的起

44 =   P(x, y,z)dzdx   Dyz P[x(y,z), y,z]dydz 当左端有向曲面  取前侧时，右端积分应取“+”号； 当左端有向曲面  取后侧时，右端积分应取“-”号； （2） 由   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   (Pcos + Qcos  + Rcos )ds =   F  nds   可先求出有向曲面  的单位法矢量 n  ，求出 F n    ，再按第一型曲面积分的计算方法 化为一个二重积分求之。 （Ⅴ）两类曲面积分的联系   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   (Pcos + Qcos  + Rcos )ds 其中 {cos,cos ,cos} 是有向曲面  在点 (x, y,z) 处的单位法线矢量。 （Ⅵ）高斯（Gauss）公式 设函数 P(x, y,z) 、Q(x, y,z)、 R(x, y,z) 在空间有界闭区 域  上有一阶连续偏导数，  是  的分片光滑边界曲面外侧，则有   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = dxdydz z R y Q x P     +   +   ( ) （Ⅶ） 斯托克斯(Stokes)公式 设有向分段光滑闭曲线 L 是有向曲面  的边界，且 L 的 方向与  的法矢量符合右手法则，函数 P,Q, R 在  （包括边界）上有连续偏导数， 则  + + L Pdx Qdy Rdz = ds P Q R x y z         cos cos  cos =         P Q R x y z dydz dzdx dxdy （Ⅷ）空间曲线积分与路径无关的条件 设  是空间单连通域，函数 P,Q, R 在  内有一阶连续偏导数，则下列四条件互相 等价： （1）在  内每点 = 0       P Q R x y z i j k    （2）对  内任一分段光滑曲线 L，有  + + L Pdx Qdy Rdz 与路径无关，只与 L 的起

点和终点有关。 (3)对2内任何分段光滑闭曲线有f,Pd+Q+R证=0 (4)在2内存在u(x,y,),使du=Pdk+Q+Rt,且 x,y)=jP+Q+Rt+C,其中(，)为Q内任意一定 点，C为任意常数。 5、场论初 (I)梯度、散度、旋度 ()数量场的梯度 设函数（数量场）M=(x,八，)具有一阶连续偏导数，则称矢量 为Hamiltion算子（读作“nable”)。 (2)矢量场的散度与旋度 设矢量场F=Px,八，)i+Q(x,八，)j+R(x,y,=)k的各分量有一阶连续偏导数， 则称数量dhF-P+卫+那-F为矢量场F的散度. ax+a+正 j 称矢量rolF= =V×F为矢量场F的旋度。 R (Ⅱ)高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes))公式的矢量形式 (1)高斯公式 月F.d达=川dF,其中F的各分量在空间闭区域2上有一阶 连续偏导数，Σ是Q的边界曲面外侧。 (2)斯托克斯公式于F,=厂(V×F)d。其中有向曲线L是有向曲面2的边 界且L的方向与Σ的法矢量方向符合右手法则，F的分量在UL上有一阶连续偏 导数。 (m)几个重要的场 (1)有势场：设F={P,Q,为空间区域内的矢量场。若在Q内存在数量函数

45 点和终点有关。 （3）对  内任何分段光滑闭曲线 L，有  + + L Pdx Qdy Rdz =0 （4）在  内存在 u(x, y,z) ，使 du = Pdx + Qdy + Rdz ，且  = + + + ( , , ) ( , , ) 0 0 0 ( , , ) x y z x y z u x y z Pdx Qdy Rdz C ，其中 ( , , ) 0 0 0 x y z 为  内任意一定 点,C 为任意常数。 *5、场论初步 （Ⅰ）梯度、散度、旋度 (1) 数量场的梯度 设函数（数量场） u = u(x, y,z) 具有一阶连续偏导数，则称矢量 k u z u j y u i x u gradu =    +   +   =    为数量场 u 的梯度。称 =    +   +   k z j y i x    为 Hamiltion 算子（读作“nable”）。 （2）矢量场的散度与旋度 设矢量场 F P x y z i Q x y z j R x y z k     = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 的各分量有一阶连续偏导数， 则称数量 F z R y Q x P divF   =    +   +   = 为矢量场 F  的散度。 称矢量 rotF =  F P Q R x y z i j k     =         为矢量场 F  的旋度。 （Ⅱ）高斯（Gauss）公式、斯托克斯(Stokes)公式的矢量形式 （1）高斯公式     F  nds = divFdv    ，其中 F  的各分量在空间闭区域  上有一阶 连续偏导数，  是  的边界曲面外侧。 （2）斯托克斯公式     =   L F dr F nds     ( ) 。其中有向曲线 L 是有向曲面  的边 界且 L 的方向与  的法矢量方向符合右手法则， F  的分量在  L 上有一阶连续偏 导数。 （Ⅲ）几个重要的场 （1）有势场：设 F = {P,Q, R}  为空间区域  内的矢量场。若在  内存在数量函数

(x,y,),使F=gradu,则称F为有势场或梯度场，且称(x,y,)为矢量场F的 势函数。若矢量场F的旋度为零，即OF=0,则称F为无旋场。若在2内曲线 积分∫，F,F只与曲线L的起点和终点有关，而与路径无关，则称矢量场F为保守 场。 定理：设2是空间单连通域，F={P,Q,R的分量在Q内有一阶连续偏导数，则以 下五个条件互相等价： 1°F为无旋场： 2户为保守场： 3”手，F.=0,其中L是2内任意逐段光滑闭曲线： 4F为有势场，即存在势函数u(x,y,=),使gradu=F 5F.而=Pk+Q+R止是某函数的全微分，即存在原函数(x,y,),使 du=Pdk+Q+R。 其中4、5的势函数（原函数）(x,y,)的表达式为 xx小一，P+Q+陆+C,其中化)是n内任意取定的 点，C为任意常数。 (2)管形场：若矢量场F的散度恒为0，即F=0,则称矢量场F为无源场或管形场。 (3)调和场：若矢量场F既是有势场又是管形场，即存在势函数(x,y,=)使F=grad 且dF=0,则称矢量场下为调和场。 定理：调和场F的势函数(x,y,:)满足拉普拉斯(Laplace)方程△1=0， 曾是-0种是茶+是不 82 四、思考题 1、两类曲线积分间有什么关系？

46 u(x, y,z) ，使 F = gradu  ，则称 F  为有势场或梯度场，且称 u(x, y,z) 为矢量场 F  的 势函数。若矢量场 F  的旋度为零，即 rotF = 0  ，则称 F  为无旋场。若在  内曲线 积分   L F dr   只与曲线 L 的起点和终点有关，而与路径无关，则称矢量场 F  为保守 场。 定理：设  是空间单连通域， F = {P,Q, R}  的分量在  内有一阶连续偏导数，则以 下五个条件互相等价： 1 0 F  为无旋场； 2 0 F  为保守场； 3 0   = L F dr 0   ，其中 L 是  内任意逐段光滑闭曲线； 4 0 F  为有势场，即存在势函数 u(x, y,z) ，使 gradu F  = ； 5 0 F  dr = Pdx + Qdy + Rdz   是某函数的全微分，即存在原函数 u(x, y,z) ，使 du = Pdx + Qdy + Rdz 。 其中 4 0、5 0 的势函数（原函数） u(x, y,z) 的表达式为  = + + + ( , , ) ( , , ) 0 0 0 ( , , ) x y z x y z u x y z Pdx Qdy Rdz C ，其中 ( , , ) 0 0 0 x y z 是  内任意取定的一 点，C 为任意常数。 （2）管形场：若矢量场 F  的散度恒为 0，即 divF = 0  ，则称矢量场 F  为无源场或管形场。 （3）调和场： 若矢量场 F  既是有势场又是管形场，即存在势函数 u(x, y,z) 使 F = gradu  且 divF = 0  ，则称矢量场 F  为调和场。 定理：调和场 F  的势函数 u(x, y,z) 满足拉普拉斯（Laplace）方程 u = 0， 即 0 2 2 2 2 2 2 =   +   +   z u y u x u ，其中 2 2 2 2 2 2 x y z  +   +    = 称为拉普拉斯算子。 四 、思考题 1、两类曲线积分间有什么关系？